◇ 黑龍江 王萌萌

立體幾何綜合題的解法探究

◇ 黑龍江 王萌萌

近幾年高考立體幾何中的綜合問題,集中體現(xiàn)在立體幾何問題的定性與定量的研究.定性研究表現(xiàn)為平行與垂直關(guān)系的推理論證.定量研究表現(xiàn)為垂直、夾角與距離、幾何體體積的計(jì)算等,著重考查考生的空間概念、分析與判斷、推理與證明以及代數(shù)運(yùn)算的能力,設(shè)問由淺入深,得分相對容易,但也需要一定量訓(xùn)練才能完成.

例 (2016年全國卷Ⅲ)如圖1所示,四棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,PA＝BC＝4,M為線段AD上一點(diǎn),AM＝2MD,N為PC的中點(diǎn).

圖1

(1)證明MN∥平面PAB;

(2)證明CM⊥平面PAD(改編);

(3)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

1 熟練把握平行原理突破線面平行

空間中的平行關(guān)系包括:線線平行、線面平行、面面平行,解題中要熟練把握三者之間的關(guān)系,如證線面平行,既可從線線平行入手,也可從面面平行入手.前者是在已知面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行;后者是證明已知線所在的面與已知面平行.

(1)方法1 如圖2所示,取PB的中點(diǎn)G,連接AG.因?yàn)镹為PC的中點(diǎn),所以GN為△PBC的中位線,所以GN∥BC且GN＝BC/ 2＝2.因?yàn)锳D＝3,AM＝2AD,所以AM＝2.又因?yàn)锳D∥BC,所以GN∥AM,且GN＝AM,所以四邊形AGNM為平行四邊形,所以GA∥NM.因?yàn)锳G?面PAB,所以MN∥面PAB.

圖2

方法2 如圖3所示,取BC的中點(diǎn)E,連接EM.因?yàn)镹是PC的中點(diǎn),所以EN是△PBC的中位線,所以EN∥PB.

圖3

因?yàn)锽C＝2,所以BE＝2.因?yàn)锳D＝3,AM＝2AD,所以AM＝2.又因?yàn)锳D∥BC,所以BE∥AM,且BE=AM,所以四邊形ABFM為平行四邊形,AB∥FM.所以面PAB∥面EMN,MN∥面PAB.

無論是證明線面平行,還是證明面面平行,均需從線線平行入手,解題中準(zhǔn)確構(gòu)造特殊的平行關(guān)系,如平行四邊形、三角形中位線等.

2 借助等價(jià)轉(zhuǎn)化巧證垂直關(guān)系

空間中的3種垂直關(guān)系:線線垂直、線面垂直、面面垂直,無論證明哪種垂直關(guān)系,均須從線線垂直入手.解題中熟練利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)、菱形對角線互相垂直、勾股定理等是解題的關(guān)鍵.

所以CM⊥面PAD

方法2 取BC的中點(diǎn)E,連接AE.因?yàn)锳B＝AC,所以AE⊥BC.因?yàn)锳M＝EC＝2,且AM∥EC,所以四邊形AECM為矩形,AM⊥MC.因?yàn)镻A⊥底面ABCD,所以PA⊥CM.所以CM⊥面PAD.

方法1利用余弦定理、角的轉(zhuǎn)化以及逆用勾股定理證明出線線垂直.方法2借助等腰三角形三線合一性構(gòu)造出矩形證明出線線垂直.

3 靈活運(yùn)用幾何、代數(shù)2種方法求解線面角

空間角問題的求解,主要有幾何和代數(shù)兩種視角.幾何法:通過引入輔助線,構(gòu)造相應(yīng)空間的平面角,將其置于某個(gè)三角形中,利用解三角形相關(guān)方法求解.代數(shù)法:通過建立空間直角坐標(biāo)系,引入點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面的法向量、直線的方向向量,再利用兩向量的數(shù)量積求解.

(3)方法1 由(2)CM⊥PAD,得平面PNM⊥平面PAD.如圖4所示,在平面PAD內(nèi),過點(diǎn)A作AT⊥平面PM,交PM于點(diǎn)T,連接NT,則∠ANT為直線AN與平面PMN所成角.

圖4

在Rt△PAC中,由N是PC的中點(diǎn),得

在Rt△ANT中,由 PA·AM＝

方法2 取BC的中點(diǎn)E,連接AE.由AB＝AC得AE⊥BC,從而AE⊥AD,且

以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖5所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,易知

圖5

方法1對學(xué)生空間想象能力要求較高,方法2對計(jì)算能力要求較高.因此在平時(shí)的解題訓(xùn)練中處理空間角的相關(guān)問題時(shí)要善于從上述2種視角來分析、解答問題,不可顧此失彼.

(作者單位:黑龍江省哈爾濱市木蘭縣新民鎮(zhèn)新勝學(xué)校)