◇ 貴州 羅 軒北京 童嘉森(特級教師)

把握本質(zhì),觸類旁通
——僅以2016年高考全國卷第23題的解法

◇ 貴州 羅 軒1北京 童嘉森2(特級教師)

雖然新課程實(shí)施已經(jīng)多年,但靠題海戰(zhàn)術(shù)學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的情況還是屢見不鮮.事實(shí)上,從近些年的高考試題來看,許多考題的解決是有規(guī)律可循的,關(guān)鍵在于我們能否揭示其內(nèi)在規(guī)律,并按照一定的解題程序,同時(shí)再輔以正確的類比、猜想、發(fā)散、推理和運(yùn)算等.本文從不同角度和方法試圖通過探析2016年高考全國卷第23題選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程,從而揭示出該類問題的相應(yīng)解法和內(nèi)在規(guī)律.

(1)說明C1是哪種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程;

(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0,其中α0滿足tanα0＝2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a.

方法1是在極坐標(biāo)下,利用2曲線C1、C2的公共點(diǎn)在直線C3上且與C3具有相同極角的特點(diǎn),借助直線C3已知的極角,從而有效解決了此問題,體現(xiàn)了極徑和極角的幾何意義的重要性.

方法2 將曲線C2:ρ＝4cosθ化為直角坐標(biāo)方程,即為(x－2)2＋y2＝4,可知曲線C2為以C2(2,0)為圓心,以2為半徑的圓,則圓C2一定過原點(diǎn).因?yàn)橹本€C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0且tanα0＝2,則直線C3的直角坐標(biāo)方程為y＝2x,該直線過原點(diǎn).

又由題意知直線C3與圓C2相交,除了原點(diǎn)O外,還有另一個(gè)交點(diǎn),設(shè)此交點(diǎn)為A.由于圓C1與圓C2的公共點(diǎn)都在直線C3上,則直線C3是2圓的公交線,2圓相減所得的方程就是直線C3方程,即為(x2＋y2－2y＋1－a2)－(x2＋y2－4x)＝0,化簡得4x－2y＋1－a2＝0.又直線C3方程為y＝2x,所以1－a2＝0,解得a＝±1.經(jīng)驗(yàn)證a＝1符合題意,故a＝1.

方法2是在直角坐標(biāo)系下,利用2圓相交的性質(zhì)特征,把2圓的方程相減,就得到公共直線的方程.該題的公共直線方程已知,反過來求圓C1中的a,不失為一種重要的解題方法.

方法3是利用圓和直線的參數(shù)方程解決問題的,尋求它們參數(shù)的幾何意義以及各參數(shù)之間的聯(lián)系作為解題的突破口,從中理解參數(shù)所代表的幾何意義和功能是解題的關(guān)鍵所在.

例2 (2016年全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25.

(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求圓C的極坐標(biāo)方程;

(1)將ρ2＝x2＋y2,x＝ρcosθ代入圓C的方程(x＋6)2＋y2＝25中,得極坐標(biāo)方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.

(2)方法1 在(1)中建立的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R).設(shè)A、B2點(diǎn)所對應(yīng)的極徑分別為ρ1、ρ2,將l的極坐標(biāo)方程θ＝α(ρ∈R)代入C的極坐標(biāo)方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0中得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是有ρ1＋ρ2＝－12cosα,ρ1ρ2＝11.由極徑的幾何意義|AB|＝|ρ2－ρ1|＝所以直線l的斜率為

方法1充分運(yùn)用極徑和極角的幾何意義,把求弦長恰好轉(zhuǎn)化為2極徑之差,體現(xiàn)了極坐標(biāo)的內(nèi)在威力.

方法2充分運(yùn)用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義,把求弦長恰好轉(zhuǎn)化為A、B2點(diǎn)分別對應(yīng)的參數(shù)t1、t2之差的絕對值,即為|AB|＝|t2－t1|,體現(xiàn)了直線參數(shù)方程中參數(shù)t所代表的形與數(shù)的內(nèi)在轉(zhuǎn)化規(guī)律,所以理解t的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵,實(shí)際上此解法的參數(shù)t與方法1中的極徑ρ本質(zhì)上是一致的.

方法3是在直角坐標(biāo)系下先考查了直線與圓的位置關(guān)系,充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)中的垂徑定理,直接建立弦長、半徑和圓心到直線的距離之間的關(guān)系,從而得到了直線的斜率,體現(xiàn)了垂徑定理解決問題的優(yōu)越性.

例3 (2016年全國卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為

(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上,點(diǎn)Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).

本題可按上述方法求解,過程略.

以上3例雖然形式不一樣,但實(shí)質(zhì)是相通的.既可以從極坐標(biāo)系中利用極徑和極角的幾何意義去解決,也可以用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義去解決,還可以在直角坐標(biāo)下,利用普通方程中所表示的幾何特征去解決,甚至可以把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)來解決.考生在通性通法中可擇優(yōu)選取,以達(dá)到做一題通一類的目的,真正做到突破本質(zhì),觸類旁通.

(作者單位:1.貴州貴陽實(shí)驗(yàn)三中2.北京市第八十中學(xué))