蘇新衛(wèi)

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,北京100083)

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淺析數(shù)學(xué)物理方程求解中的延拓思想
——以波動(dòng)方程為例

蘇新衛(wèi)

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,北京100083)

應(yīng)用延拓方法和無界波動(dòng)方程定解問題的達(dá)朗貝爾公式，求解半無界波動(dòng)方程的定解問題，其中的邊界條件分別為第一類和第二類非齊次型.旨在拓寬學(xué)生的解題思路，使學(xué)生靈活掌握解題方法，并為《數(shù)學(xué)物理方程》課程的教學(xué)提供些許參考.

波動(dòng)方程； 達(dá)朗貝爾公式； 齊次化； 延拓

1 引 言

在很多有關(guān)數(shù)學(xué)物理方程的教材和偏微分方程求解的文獻(xiàn)中[1-8]，對(duì)三大類數(shù)學(xué)物理方程—波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和泊松方程的幾種重要求解方法作了詳盡的描述.其中，行波法主要用來求解無界波動(dòng)方程的初值問題.

首先，對(duì)于一維的問題

(1)

利用代換ξ=x+at,η=x-at將方程化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)型uξη=0，從而得到方程的通解為

u(x,t)=f1(x+at)+f2(x-at)，

(2)

進(jìn)而應(yīng)用初始條件得到上述問題(1)的解的公式—達(dá)朗貝爾公式

(3)

其次，應(yīng)用公式(3)推導(dǎo)三維無界波動(dòng)方程初值問題解的公式——泊松公式.最后，由泊松公式和降維法，得到二維無界波動(dòng)方程初值問題的求解公式.因此，問題(1)的求解即公式(3)在用行波法求解無界波動(dòng)方程的定解問題中起著至關(guān)重要的作用.為了加深對(duì)問題(1)及其求解公式(3)的理解和應(yīng)用，在有關(guān)的教材中[1-3]，利用奇延拓的方法求解了帶有齊次邊界條件的半無界問題

(4)

數(shù)學(xué)中的延拓法，即在保持問題本身不變的條件下，拓展到更廣的范圍內(nèi)討論問題，其應(yīng)用的廣泛性是不言而喻的.就求解數(shù)學(xué)物理方程的定解問題而言，除上述在行波法中可以應(yīng)用之外，在用積分變化法求解時(shí)，也可將有界或半無界問題延拓成無界問題再求解.在有關(guān)教材內(nèi)容安排上，問題(4)的求解無疑可以啟示學(xué)生用延拓法求解某些數(shù)學(xué)物理方程的定解問題，但僅此一例，對(duì)初學(xué)者來說稍有欠缺.

本文以半無界波動(dòng)方程定解問題為例，具體說明延拓法在解數(shù)學(xué)物理方程定解問題中的應(yīng)用，旨在拓寬學(xué)生的解題思路，使學(xué)生靈活掌握解題方法，并為《數(shù)學(xué)物理方程》課程的教學(xué)提供些許參考.不同于問題(4)，本文討論的問題分別具有第一和第二類非齊次邊界條件，從而更具一般性，應(yīng)用更廣.

2 第二類非齊次邊界條件的半無界問題

本部分求解問題

(5)

2.1 分析問題

在問題(4)的求解中，邊界條件齊次性是將函數(shù)φ(x),ψ(x)奇延拓，從而可以應(yīng)用公式(3)求解的關(guān)鍵所在.而在問題(5)中，g(t)≠0，最簡(jiǎn)單常用的奇延拓方法失效，應(yīng)該將函數(shù)φ(x),ψ(x)如何延拓呢？ 假設(shè)延拓后問題為

(6)

其中函數(shù)Φ(x)=φ(x),Ψ(x)=ψ(x),x≥0.由(3)可知(6)的解為

將(6)中邊界條件代入上式得

由此很難確定當(dāng)x<0時(shí)函數(shù)Φ(x),Ψ(x)的定義.

2.2 邊界條件齊次化

顯然，為應(yīng)用延拓方法，應(yīng)先將問題(5)進(jìn)行處理.注意到第一類齊次邊界條件可奇延拓，不妨先將(5)邊界條件齊次化.引入輔助函數(shù)w(x,t)滿足wx(0,t)=g(t)，令v(x,t)=u(x,t)-w(x,t),則問題(5)化為

(7)

為求解(7)方便，讓輔助函數(shù)同時(shí)滿足wtt(x,t)=a2wxx(x,t),wx(0,t)=g(t).由(2)可知我們?cè)诤瘮?shù)類f1(x+at)+f2(x-at)中找一個(gè)滿足wx(0,t)=g(t)的函數(shù)即可.不妨令f2(x-at)=0，即

w(x,t)=f1(x+at), wx(0,t)=g(t).

(8)

易知(8)的一個(gè)解為

(9)

將(9)代入(7)可得

(10)

具有齊次邊界條件的問題(10)就可以延拓了.

2.3 齊次邊界條件問題的解

設(shè)將問題(10)延拓成無界問題

(11)

由達(dá)朗貝爾公式(3)和(11)中的邊界條件可得

由此易知函數(shù)Φ和Ψ應(yīng)該是偶函數(shù)，即(11)是將問題(10)進(jìn)行的偶延拓， 因此

(12)

由(3)可知(11)的解為

其中函數(shù)Φ和Ψ如(12)式定義.將解函數(shù)u(x,t)中的變量x限制到x≥0上，從而可得半無界問題(10)的解為

最后，得到問題(5)的解為u(x,t)=w(x,t)+v(x,t)，即

3 第一類非齊次邊界條件的半無界問題

對(duì)于第一類非齊次邊界條件問題

4 結(jié) 語

本文用延拓法求解了具有非齊次邊界條件的半無界波動(dòng)方程的定解問題，是對(duì)教材有關(guān)內(nèi)容的補(bǔ)充和深入推廣.為方便問題的求解，在闡釋延拓法重要性的同時(shí)，展現(xiàn)了邊界條件齊次化技巧.延拓法不僅可以用來求解半無界問題，有些有界問題，用延拓法也可以求解.例如對(duì)于x∈[0,l]上的波動(dòng)方程的定解(混合、初邊值)問題，可以先將問題延拓到x∈[-l,l]上，然后再進(jìn)行周期延拓到x∈上成為無界問題，無界問題的解在x∈[0,l]上的限制既是原問題的解.當(dāng)然，對(duì)于有些問題用延拓法求解未必方便簡(jiǎn)單.因此，在求解數(shù)學(xué)物理方程時(shí)應(yīng)根據(jù)問題本身靈活選用不同的方法.

[1] 梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M]. 3版. 北京：高等教育出版社，2010.

[2] 谷超豪，等.數(shù)學(xué)物理方程[M]. 3版. 北京: 高等教育出版社，2012.

[3] 季孝達(dá)，等.數(shù)學(xué)物理方程[M]. 2版. 北京: 科學(xué)教育出版社，2009.

[4] 王元明.數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)[M]. 3版. 北京：高等教育出版社，2004.

[5] 王志軍,郭城.非線性波動(dòng)方程的各向異性有限元方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27(3): 150-152.

[6] 齊遠(yuǎn)節(jié),劉利斌.求解二階波動(dòng)方程的三次樣條差分方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011, 27(1): 59-64.

[7] Pikulin V, Pohozaev S. Equations in Mathematical Physics [M]. New York: Springer, 2001.

[8] Kirkwood J. Mathematical Physics with Partial Differential Equations[M]. Amsterdam: Elsevier, 2013.

Analysis on the Extension Method of Solving Mathematical Physics Equations

SUXin-wei

(Department of Mathematics, School of Science, China University of Mining and Technology, Beijing 100083,China)

Applying the extension method and D′Alembert formula about the unbounded problem of wave equations, we solve the wave equations on semi-infinite interval, in which the boundary conditions are non-homogeneous types of the first and the second class respectively. The aims of this paper are to broaden the students′ problem-solving ideas and enable students to master the problem-solving methods. We expect that this paper can offer some advice for the teaching of mathematical physics equations.

wave equation; D’Alembert formula; homogenization; extension

2016-04-29； [修改日期]2016-06-15

中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)課程建設(shè)與教改項(xiàng)目(K150702)；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11371364)

蘇新衛(wèi)(1971—)，女，碩士，副教授，從事微分方程定性理論研究.Email:kuangdasuxinwei@163.com.

O175.24

C

1672-1454(2016)05-0092-04