黃永忠，劉繼成

(華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 武漢430074)

?

與Wallis不等式有關(guān)的兩個(gè)數(shù)列的單調(diào)性

黃永忠，劉繼成

(華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 武漢430074)

利用Wallis 不等式正面回答了《大學(xué)數(shù)學(xué)》 2016, 32(1)：101-104文末提出的猜想，并證明了該猜想的一個(gè)推廣形式.

Wallis不等式； 單調(diào)數(shù)列； 夾擠原理

1 問(wèn)題的提出

文獻(xiàn)[1]證明了數(shù)列

(1)

的奇數(shù)項(xiàng)子列和偶數(shù)項(xiàng)子列分別為單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列

(2)

(3)

該文獻(xiàn)最后提出猜想：數(shù)列(1)為嚴(yán)格單調(diào)遞增的，數(shù)列(2)為單調(diào)遞減的.本文利用Wallis 不等式對(duì)該問(wèn)題給出正面的回答，并給出文獻(xiàn)[1]中所有結(jié)論的簡(jiǎn)化證明.最后，我們證明數(shù)列

當(dāng)0≤a≤1/2時(shí)是嚴(yán)格遞增的，當(dāng)1/2

2 結(jié)果及證明

回顧基本等式(見(jiàn)文獻(xiàn)[2]P230)

(4)

及Wallis 不等式(見(jiàn)文獻(xiàn)[2]P231)

(5)

文獻(xiàn)[3]得到如下加強(qiáng)版本的Wallis 不等式

(6)

我們將用(5)和(6)來(lái)證明本文的結(jié)論.

證 由(4)的第一個(gè)等式及(6)的第二個(gè)不等式可得

由(4)的第二個(gè)等式及(5)的第一個(gè)不等式可得

因此

由(5)的第一個(gè)不等式可得

由(6)的第二個(gè)不等式可得

綜上，不等式(3)成立.

即要證

亦即要證

由(6)式知第一個(gè)不等式成立.

即要證

第一個(gè)不等式與前面一樣，第二個(gè)不等式可由

及(6)式知結(jié)論成立.

由定理1、定理2的結(jié)論，以及單調(diào)收斂定理知，數(shù)列(1)和數(shù)列(2)都存在極限.事實(shí)上，由不等式(3)和夾擠原理立即可得下面的推論.

接下來(lái), 秉承定理2的證明思路將數(shù)列(1)和(2)的嚴(yán)格單調(diào)性推廣到較一般的結(jié)論.

定理4 定義

也即證明

(7)

容易直接驗(yàn)證(由2n+a關(guān)于a單增知, 僅需驗(yàn)證a=1/4情形)

(8)

由(6)式的第二個(gè)不等式及(8)式知，(7)式的第二個(gè)不等式成立. 同樣，容易直接驗(yàn)證

由(6)式的第一個(gè)左邊不等式知，(7)式的第一個(gè)不等式成立.

(9)

因?yàn)?/p>

解得

(10)

解得

(11)

(12)

其中

所以由(12)式, 僅需對(duì)正整數(shù)n分別證明

(13)

和

(14)

對(duì)(13)式兩邊平方, 整理后得到

于是上式左邊減去右邊, 有

由此得證(13)式.(14)式由下列推算得到

其中

f(x)

因?yàn)樵趨^(qū)間[0,1]上

所以在區(qū)間[0,1]上，有

因此, 定理得證.

證 由定理4的證明過(guò)程知, 我們僅需要證明(9)式成立.由(12)式, 僅需分別證明

(15)

和

(16)

經(jīng)計(jì)算，由(15)式平方后得到

于是

(17)

同理，由(16)式平方后得到

由此得到

(18)

[1] 楊天虎，岳志明.兩個(gè)極限相等的有趣數(shù)列[J].大學(xué)數(shù)學(xué), 2016, 32(1)：101-104.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].4版.北京：高等教育出版社， 2010.

[3] Gurland J. On Wallis’ formula [J]. Amer. Math. Monthly, 1956, 63(9):643-645.

[4] 周玲.數(shù)論中切比雪夫不等式的一點(diǎn)補(bǔ)充[J].大學(xué)數(shù)學(xué), 2013, 29(6)：39-43.

[5] Lin L. Further refinements of Gurland’s formula[J]. Journal of Inequalities and Applications, 2013, 2013(48): 1-11.

The Monotonicity of Two Sequences Associated with Wallis Inequality

HUANGYong-zhong，LIUJi-cheng

(School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China)

By using the Wallis inequality, we give a positive answer to a conjecture of the paper published in the journal of the "College Mathematics" 2016, 32 (1):101-104, moreover we obtain a general version of the conjecture.

Wallis inequality; monotone sequence; squeezing principle

2016-04-07； [修改日期]2016-04-26

湖北省教學(xué)研究項(xiàng)目(2013052)； 華中科技大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目(2015067)

黃永忠(1965-),男，博士，副教授，從事數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)研究.Email:huangyz@hust.edu.cn

劉繼成(1976-),男，博士，教授，從事數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)研究.Email: jcliu@hust.edu.cn

O178

C

1672-1454(2016)05-0076-05