江志強，范國良

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

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鞅差誤差下部分函數(shù)線性模型的經(jīng)驗似然推斷

江志強，范國良*

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

研究了誤差是鞅差序列下的部分函數(shù)線性回歸模型的經(jīng)驗似然估計問題．首先構(gòu)造了回歸系數(shù)的經(jīng)驗似對數(shù)似然比統(tǒng)計量，進一步證明了所提出的估計量漸近服從卡方分布．利用這一結(jié)果可以用來構(gòu)造相應(yīng)參數(shù)的置信域．

鞅差序列；部分函數(shù)線性模型；經(jīng)驗似然；置信域

由McGill大學(xué)的Ramsay和Bristol大學(xué)的Silverman[1]共同提出的函數(shù)型數(shù)據(jù)分析，現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用于生物學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、心理學(xué)、氣象學(xué)及其他領(lǐng)域．考慮部分函數(shù)線性模型

(1)

式中,Y是定義在概率空間(Ω,B,P)上的相應(yīng)變量；Z是取值于Rp上的可觀測隨機向量，并且期望值為0，二階矩有限；X(t)是定義在(Ω,B,P)上的隨機過程，E(x(t))=0，EX2(t)<∞對?t∈T，其所有的樣本函數(shù)都是T上的平方可積的函數(shù)，X(t)∈L2(T)；γ(t)是T上的平方可積函數(shù)；ε是鞅差誤差.為了方便起見，不妨設(shè)T=[0,1].

Ramsay和Silverman[1]在一個密集的網(wǎng)格均勻間隔時間點上函數(shù)預(yù)測值與反應(yīng)變量的關(guān)系建模中引入函數(shù)線性模型；Cardot[2]等、Cardot[3]等、Cai和Hall[4]、Hall和Horowitz[5]、Li和Hsing[6]以及Crambes[7]等使用函數(shù)的主成分分析研究函數(shù)線性模型；Shin[8]使用主成分基函數(shù)展開以及最小二乘研究部分函數(shù)線性模型；胡玉萍[9]等使用經(jīng)驗似然的方法研究部分函數(shù)線性模型.

以上研究都是在考慮誤差是獨立的條件下進行的.然而，經(jīng)濟、工程、自然科學(xué)中的數(shù)據(jù)經(jīng)常不是獨立的，因此，鞅差作為相依情形的一種被很多學(xué)者所研究.Chen and Cui[10]使用經(jīng)驗似然的方法研究誤差是鞅差序列的部分線性模型；Fan[11]等使用經(jīng)驗似然的方法研究誤差是鞅差序列的Errors-in-variables部分線性模型．

考慮誤差是鞅差序列的情形下函數(shù)線性模型的經(jīng)驗似然.構(gòu)造模型(1)中參數(shù)β的經(jīng)驗似然比統(tǒng)計量，在一定條件下證明該統(tǒng)計量具有漸近χ2分布，并利用所得結(jié)果構(gòu)造參數(shù)的置信域.

1 方法與主要結(jié)果

(2)

隨機誤差{εi}是關(guān)于一個增序列σ-域{Fi}的一個鞅差序列；即εi是Fi-可測的且E(εi|Fi-1)=0.符號·,·和‖·‖分別表示L2[0,1]空間的內(nèi)積和范數(shù)，用KX表示隨機過程X(t)的協(xié)方差函數(shù)，若KX在T×T上連續(xù)，使用Mercer's定理可以證明

式中，(λi,φi)是協(xié)方差算子KX的成對的特征值和特征函數(shù)，λ1≥λ2≥…，函數(shù)φ1,φ2,…為平方可積空間L2[0,1]的一組正交基.

式中，Y=(Y1,…,Yn)T，Z=(Z1,…,Zn)T，Um={}1≤i≤n,1≤j≤m,,γ=(γ1,…,γm)T,ε=(ε1，…，εn)T.首先假定β是已知的，由最小二乘可得γ的“偽估計”

此時可得

為了構(gòu)造β的經(jīng)驗似然比函數(shù)，引入輔助隨機變量

(3)

(4)

利用Lagrange乘子法，可得

(5)

式中，λ為Lagrange乘子，滿足

(6)

為了得到R(β)的漸近分布，需要以下條件：

C1平方可積的隨機函數(shù)X滿足E‖X‖4<∞.

C3對特征值λj都有C-1j-a≤λj≤Cj-a,λj-λj+1≥Cj-a-1,j≥1,a≥1.

C6對于調(diào)整參數(shù)m，假定m～n1/(a+2b).

定理1 假設(shè)條件C1～C9成立，如果β是參數(shù)真值，則

根據(jù)定理1，構(gòu)造β的(1-α)-水平的置信域：

2 定理的證明

引理 1 假設(shè)條件C1～C9成立，若β是參數(shù)的真值，則有

對于A2和A3，注意到E(εj)=E(E(εj|Fj-1))=0，由文獻[8]中定理3.1的證明可知：

其中后面一個條件暗含了：A3=op(1).

因此，為了得到結(jié)果，只需證明

(7)

對所有的δ>0,

(8)

使用條件C4②，有

結(jié)合上式、條件C4①以及Markov不等式，對任意的δ>0，有

所以，可以得到式(8).引理得證.

引理2 假設(shè)條件C1～C9成立，若β是參數(shù)的真值，則有

證明:由引理1可知，

因此，

D1+D2+D3+D4+D5+D6+D7+D8+D9.

注意到B的定義以及條件C4②，對于D1，有

(9)

進一步，對于任意p-維實向量c，將證明：

(10)

這表明式(10)成立.由式(9)和式(10)有

這表明D9=Op(1).類似可證D2、D3、D4、D5、D6、D7、D8均為Op(1).綜上所述，引理得證.

引理3 在定理1的條件下，若β是真實參數(shù)，則

(11)

(12)

證明：由引理2可知，

因此，有

由Shin[8]可知:

以及

結(jié)合條件C4①可得‖R1‖=op(n-1/2)，‖R3‖=op(n-1/2).因此，有

利用引理2并類似于Owen的方法，可以證明式(12).

定理1的證明 對式(5)使用Taylor展開式，并且結(jié)合引理1～3，可得：

(13)

通過式(6)，有：

(14)

由引理2和引理3，對于式(14)中最后一項，有

結(jié)合式(14)，有

因此，使用式(13)可以得到

最后使用引理1和2完成證明.

[1] J O Ramsay,B W Silverman.Functional Data Analysis[M].New York：Springer,1997.

[2] H Cardot,F Ferraty,P Sarda.Functional Linear Model[J].Statist.Probab.Lett.,1999(45):11-22.

[3] H Cardot,F Ferraty,P Sarda.Spline Estimators for the Functional Linear Model[J].Statist.Sinica,2003(13):571-591.

[4] T T Cai,P Hall.Prediction in Functional Linear Regression[J].Ann.Statist.,2006(34):2 159-2 179.

[5] P Hall,J L Horowitz.Methodology and Convergence Rates for Functional Linear Regression[J].Ann.Statist.,2007,(35):70-91.

[6] Y Li,T Hsing.On Rates of Convergence in Functional Linear Regression[J].J.Multivariate Anal.，2007(98):1 782-1 804.

[7] C Crambes,A Kneip,P Sarda.Smoothing Splines Estimators for Functional Linear Regression[J].Ann.Statist.,2009,37:35-72.

[8] H Shin.Partial Functional Linear Regression[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2009(139):3 405-3 418.

[9] 胡玉萍,馮三營,薛留根. 部分函數(shù)線性模型的經(jīng)驗似然推斷[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計. 2015,31(2)：146-157.

[10] X Chen,H J Cui.Empirical Likelihood Inference for Partial Linear Models under Martingale Difference Sequence[J].Statistics and Probability Letters,2008(78):2 895-2 901.

[11] G L Fan,H X Xu,H Y Liang.Empirical Likelihood Inference for Partially Time-varying Coefficient Errors-in-variables Models[J].Electronic Journal of Statistics,2012(6): 1 040-1 058.

Empirical Likelihood Inference for Partial Functional Linear Models under Martingale Difference Sequence

JIANG Zhi-qiang， FAN Guo-liang*

(College of Mathematics and Physics，Anhui Polytechnic University, Wuhu 241000, China)

This paper,studies the empirical likelihood estimation for partial functional linear models under martingale difference sequence.First of all,the regression coefficient of experience logarithmic likelihood ratio statistics was constructed and it was proven that the proposed estimator asymptotically obeys the chi-square distribution.The results can be used to construct the corresponding parameter confidence regions.

martingale difference sequence;partial functional linear models;empirical likelihood;confidence regions

1672-2477(2016)05-0075-06

國家統(tǒng)計局基金資助項目 (2015LY55)

江志強(1992-),男，安徽宿州人，碩士研究生．

范國良(1981-)，男，安徽黃山人，副教授，博士．

O212.8

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