張玉林， 孟 程， 趙茂先， 董曉敏， 葛曉晶

(1.山東科技大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，山東青島266590； 2.山東科技大學信息科學與工程學院，山東青島266590)

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p-達朗貝爾判別法及其應用

張玉林1， 孟 程2， 趙茂先1， 董曉敏1， 葛曉晶1

(1.山東科技大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，山東青島266590； 2.山東科技大學信息科學與工程學院，山東青島266590)

對正項級數(shù)的達朗貝爾判別法作了推廣，提出并證明了p-達朗貝爾判別法，擴大了其使用范圍.進一步利用數(shù)列和子列的收斂關系，證明了其與柯西判別法之間的關系.最后通過例子對p-達朗貝爾判別法進行了驗證.

正項級數(shù)； 達朗貝爾判別法； 柯西判別法； 收斂性

1 引 言

在級數(shù)理論中，研究正項級數(shù)，特別是判別其收斂性或發(fā)散性有很多方法，如達朗貝爾判別法，柯西判別法，拉貝判別法與對數(shù)判別法[1]，或將達朗貝爾判別法及柯西判別法結合起來得到新的判別法，如D-C判別法[2]和Z判別法[3].這些方法從不同角度探討了如何判斷正項級數(shù)的斂散性.本文針對達朗貝爾判別法的不足，提出了一種改進的p-達朗貝爾判別法，并證明了p-達朗貝爾判別法與柯西判別法的關系，最后給出了相關的例子進行了驗證.

在判定正項級數(shù)的斂散性時，這兩種方法經(jīng)常要用到.但是，柯西判別法的適用范圍要比達朗貝爾判別法的適用范圍更廣[4].即凡能用達朗貝爾判別法判定出斂散性的正項級數(shù)，用柯西判別法也一定能判定.反之，用柯西判別法能判定出斂散性的正項級數(shù)，用達朗貝爾判別法卻未必能判定.

解 用柯西判別法判定,因為

這個例子啟發(fā)我們，能否對達朗貝爾判別法進行推廣，用來判別類似于上述例1形式的正項級數(shù)的斂散性.

2 推廣的達朗貝爾判別法

3 p-達朗貝爾判法與柯西判別法的關系

當p=1時，達朗貝爾判別法與柯西判別法的關系見參考文獻[4]，下面對p>1時，對p-達朗貝爾判別法與柯西判別法的關系予以證明.在證明的過程中，要用到數(shù)列和子列的收斂關系，故給出引理，利用子列的收斂性判斷數(shù)列的收斂性.利用該引理，證明了p-達朗貝爾判別法與柯西判別法的關系.

定義1[5]對于非空集合S， 設S1,S2,…,Sn是其一系列非空子集，滿足

則稱S1,S2,…,Sn是集合S的一個n類分劃.

定義2[5]設無限集合N1,N2,…,Np是自然數(shù)集合+的一個p類分劃，且這些集合N1,N2,…,Np中的元素均為從小到大排列，則對于數(shù)列，以N1,N2,…,Np為下標集，構成了數(shù)列的p個子列，分別記為}，稱為分數(shù)列的p類子數(shù)列.

同理，可得

UN+2p+1

同理，得

解 令p=2，則

由定理4得

這也驗證了定理4的正確性.

解 令p=2，則

則由定理3，無法判斷此正項級數(shù)的斂散性.事實上，用比較判別法的極限形式，可以得出該級數(shù)是發(fā)散的.因為

4 結 論

[1] 李亞蘭. 正項級數(shù)拉阿貝判別法等價形式及其應用[J]. 大學數(shù)學, 2011, 27(4):192-195.

[2] 張永明. 正項級數(shù)的D—C判別法[J].大學數(shù)學,2002,18(2):95-96.

[3] 張國銘.“正項級數(shù)收斂性的一種新的判別法”的注記[J].大學數(shù)學, 2010,26(4):200-201.

[4] 曹學鋒,孫幸榮.D′Alembert判別法與Cauchy判別法的強弱比較[J].長春理工大學學報(高教版).2008,3(1):173-174.

[5] 錢云.“數(shù)列的子列及其分類”[J].高等數(shù)學研究，1999,2(3):7-8.

Thep-D’Alembert Method and its Application

ZHANGYu-lin1,MENGCheng2,ZHAOMao-xian1,DONGXiao-min1,GEXiao-jing1

(1. College of Mathematics and System Science, Shandong University of Science and Technology, Qingdao Shandong 266590, China;2. College of Information Science and Engineering, University of Science and Technology Qingdao Shandong 266590, China)

D′Alembert discriminance is promoted to thep-D′Alembert discrimination for positive series, and then the correspondingp-D′Alembert discrimination is proved. Further convergence relation of sequence and its sub-sequence is used to discuss the relationship between the discrimination and Cauchy discrimination. Finally, some examples of this method are verified.

positive series; D’Alembert Discrimination; Cauchy discrimination; convergence

2015-10-19； [修改日期]2016-06-02

山東科技大學人才引進科研啟動基金(2014RCJJ033);國家自然科學基金(61572128)

張玉林(1979-),男，博士，講師，從事機器學習方面的研究.Email:zhangyulin@sdust.edu.cn

O174

C

1672-1454(2016)05-0071-05