寧榮健，周 玲

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

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條件分布計(jì)算的幾個(gè)問(wèn)題研究

寧榮健，周 玲

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

主要通過(guò)舉例，介紹二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)當(dāng)fY(y)=0或fX(x)=0時(shí)相應(yīng)的條件分布的幾種情況.其結(jié)論表明條件分布可能是連續(xù)型分布，也可能是離散型分布，甚至還可能是非連續(xù)型非離散型分布，以此加深對(duì)條件分布的認(rèn)識(shí).

二維連續(xù)型隨機(jī)變量； 條件分布； 條件密度函數(shù)； 條件分布函數(shù)

1 問(wèn)題的提出

在諸多概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材中，關(guān)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的條件分布的概念描述為

設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為f(x,y)，如果已知Y的取值為Y=y，且fY(y)>0，就稱

為在條件Y=y下X的條件密度函數(shù).

同理，如果已知X的取值為X=x，且fX(x)>0，就稱

為在條件X=x下Y的條件密度函數(shù).

問(wèn)題是，當(dāng)Y=y時(shí)，如果fY(y)=0，那么在條件Y=y下，X的條件分布可能會(huì)怎么樣？同理，當(dāng)X=x時(shí)，如果fX(x)=0，在條件X=x下，Y的條件分布也可能會(huì)怎么樣？

對(duì)此問(wèn)題，教材中并沒(méi)有作進(jìn)一步描述.因此，有人認(rèn)為上述條件分布不存在，這是不正確的.

事實(shí)上，當(dāng)Y=y或X=x時(shí)，盡管有fY(y)=0或fX(x)=0，但此時(shí)的條件分布也可能存在，除非條件Y=y或X=x不成立.例如，設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域D:0

本文通過(guò)舉例介紹當(dāng)fY(y)=0或fX(x)=0時(shí)條件分布的幾種情況，以豐富對(duì)條件分布的認(rèn)識(shí).

2 主要舉例

1.當(dāng)fY(y)=0或fX(x)=0時(shí)，條件分布可能為連續(xù)型的分布

例1 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為

求在X=0條件下Y的條件分布.

解 計(jì)算得

由于f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X和Y相互獨(dú)立，其條件分布就是其無(wú)條件分布，故在X=0條件下Y的條件密度為

例2 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為

求在X=0條件下Y的條件分布.

解 對(duì)任意的ε(0<ε<1)，有

當(dāng)-∞

圖1 圖2

當(dāng)1≤y<+∞時(shí)，有P{Y≤y,-ε

綜上可得

由此可知，此條件分布為[-1,1]上的均勻分布，其條件密度函數(shù)為

顯然，例1和例2中相應(yīng)的條件分布都是連續(xù)型的分布.需要指出的是，例1也可以利用條件分布函數(shù)求出Y的條件密度函數(shù)，其結(jié)果完全一樣.

2.當(dāng)fY(y)=0或fX(x)=0時(shí)，條件分布可能為離散型的分布

例3 設(shè)平面區(qū)域

隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，求在X=0條件下Y的條件分布.

故也不能按照

解 對(duì)任意的ε(0<ε<1)，由幾何概型計(jì)算得

當(dāng)-∞

當(dāng)1≤y<+∞時(shí)，有P{Y≤y,-ε

綜上可得

圖3 圖4 圖5 圖6

由此可得出，當(dāng)X=0時(shí)，Y的條件分布是離散型的分布.且其條件分布律為

3.當(dāng)fY(y)=0或fX(x)=0時(shí)，條件分布可能為非離散型，也非連續(xù)型的分布

例4 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為

求在X=0條件下Y的條件分布.

解 對(duì)任意的ε(0<ε<1)，計(jì)算得

由于

所以當(dāng)ε→0+時(shí)，

當(dāng)-∞

所以

圖7 圖8 圖9

當(dāng)2≤y<+∞時(shí)，有P{Y≤y,-ε

綜上可得

由此發(fā)現(xiàn)，該例中，當(dāng)X=0時(shí)Y的條件分布既不是離散型，也不是連續(xù)型的分布.

3 結(jié)束語(yǔ)

條件分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)過(guò)程等分支的重要內(nèi)容之一.本文通過(guò)實(shí)例，分析和介紹了基于二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布求邊緣分布的常見(jiàn)方法和相關(guān)類型，供讀者交流和參考.對(duì)于二維非連續(xù)型非離散型隨機(jī)變量，其邊緣分布也有類似的問(wèn)題.由于內(nèi)容比較復(fù)雜，此處不再多述.

[1] 陳希孺.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,1992：73-78.

[2] 茆詩(shī)松,等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社,2007：185-192.

[3] 盛驟,等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社,2010：90-110.

[4] 杜雪樵，凌能祥，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2009：110-130.

Study on Several Problems of Conditional Distribution Calculation

NINGRong-jian,ZHOU-ling

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

The paper introduces several cases of two-dimensional continuous random variable (X,Y)’s conditional distribution when fY(y)=0 or fX(x)=0 through examples. The conclusion shows that conditional distribution may be continuous distribution, may also be a discrete distribution, it may even be non continuous non discrete distribution.We may deepen the understanding of conditional distributions by it.

two dimensional continuous random variable; conditional distribution; conditional density function; conditional distribution function

2015-10-12； [修改日期] 2016-06-12

合肥工業(yè)大學(xué)教學(xué)改革研究項(xiàng)目(重點(diǎn)項(xiàng)目) YJG2015Z01

寧榮健(1962-)，男，副教授，從事計(jì)算數(shù)學(xué)研究. Email:nrjian@126.com

周玲(1970-)，女，副教授，從事概率統(tǒng)計(jì)方面研究.Email:hfdxsx@163.com

O211.3

C

1672-1454(2016)05-0061-06