肖 燏，黃愛武，孫桂秋

(湖南中醫(yī)藥大學數(shù)理教研室，長沙410208)

?

關于《線性代數(shù)》中術語等標準化問題的探討

肖 燏，黃愛武，孫桂秋

(湖南中醫(yī)藥大學數(shù)理教研室，長沙410208)

基于國內各高等院校所使用的線性代數(shù)教材編寫不規(guī)范、缺乏統(tǒng)一性和通用性的現(xiàn)狀，收集了各種版本中出現(xiàn)的非標準實例，參照國內外數(shù)學史和國際通用標準，按術語、譯名、符號、格式四類分類加以標準化.

標準化； 術語； 譯名； 符號； 格式

教材是承載教學內容和信息的載體，教材的標準化體現(xiàn)了教學內容和信息的統(tǒng)一性、通用性、嚴謹性和傳承性.雖然近幾年對于教材標準化問題的探討已有不少，但國內對于高等院校線性代數(shù)教材的標準化問題討論極少，以致現(xiàn)在各版本的教材仍然編寫很不規(guī)范，缺乏統(tǒng)一性和通用性[1-8].本文選用了當前各高校較常使用的教材版本，通過收集和對比，并參照國內外數(shù)學史和國際通用標準，按術語、譯名、符號、格式的標準化來做詳細地討論.

1 術語的標準化

術語使用混亂是國內線性代數(shù)教材中一個很嚴重的問題.帶有歧義的表述、詞序的邏輯錯誤、過于簡單化的外文直譯和較為主觀的概念定義，給教師講授和學生理解帶來很大的困難，亟待規(guī)范使用.以下就幾個常見問題總結出來并加以標準化.

1.形與型

形和型，是線性代數(shù)的術語里，經常會出現(xiàn)的兩個字，然而有部分教材在這兩個字的使用上卻并不規(guī)范.

形和型是有區(qū)別的：型，“筑器之法也”——《說文》.指類型、樣式，是同類事物共同具有的特征；形，“象形也”——《說文》.指實體、樣子、狀況、表現(xiàn)等，是個體事物區(qū)別于其他事物的不同特征.

因此，在教材所涉及的術語中，規(guī)范的文字使用應該是：行階梯形矩陣、矩陣的行最簡形和標準形；二次型的規(guī)范形、標準形；矩陣同型.

2.線性齊次、非齊次方程組 / 齊次、非齊次線性方程組

方程(組)有線性和非線性的.在線性的前提下，我們把常數(shù)項為零的方程稱為齊次的，常數(shù)項不為零的方程稱為非齊次的.而在非線性方程里，齊次的含義和線性方程里齊次的含義不一樣.比如二次齊次方程：x2-xy+2y2=0，此處的齊次是指同次.

多數(shù)教材在講述線性方程組的時候，由常數(shù)項為零或不為零，將其分類定義為齊次線性方程組和非齊次線性方程組，這種表述顯然在詞序和意義上是邏輯錯誤的.

標準的定義陳述應該是，交代前提再分類.因此，當線性方程組常數(shù)項為零時，稱為線性齊次方程組；當常數(shù)項不為零時，稱為線性非齊次方程組.這種定義也與它們的英文表述一致：homogeneous system of linear equations(線性齊次方程組)，nonhomogeneous system of linear equations (線性非齊次方程組).

3.分塊對角矩陣/對角分塊矩陣

各教材都會對分塊矩陣加以介紹，并討論幾種特殊的分塊陣.而“對角分塊矩陣”、“上(下)三角形分塊矩陣”等名稱在某些版本的教材中出現(xiàn)，如[4].這種定義既忽略了塊矩陣的本質，也容易引起歧義.比如，對角分塊矩陣，更容易讓人誤以為是對角陣，再進行分塊操作.

標準術語應該先強調分塊、再描述分塊后的特點，結合簡潔性，所以應該是：塊對角陣、塊三角陣等.常見的特殊分塊陣英漢對照列舉如下：

block diagonal matrix 塊對角陣；block triangular matrix 塊三角陣；block tri-diagonal matrix 塊三對角陣；block diagonal sparse matrix 塊對角稀疏陣；block bordered diagonal matrix 塊對角加邊陣；block diagonal similarity matrix 塊對角相似度陣.

4.行階梯陣、行最簡陣、矩陣的標準形 / 矩陣的等價標準形、階梯形矩陣、簡化階梯形矩陣

在矩陣的初等變換中，會出現(xiàn)如下兩種矩陣：

在國外的文獻中，我們見到的表述確實是matrixAin echelon form(階梯形矩陣)和 matrixBin reduced echelon form(簡化的階梯形矩陣).有些版本的教材會照搬直譯過來，而這種直譯式術語造成了概念的模糊不清，只做到了翻譯的“信”，卻不“達”：(i)沒有交代是行變換還是列變換；(ii)沒有交代簡化到何種程度.至于某些教材中給出的“等價標準形”，基于變換本身就是等價的，此為定義重復，不可取.

綜上，標準的術語應為：行階梯陣、行最簡陣和矩陣的標準形.既點明了是行變換，又給出了變換后矩陣的確切形狀.

5.向量組的極大無關組 / 最大無關組

英文表述maximal system of linear independence，或者maximal linearly independent subset，在各版本的教材中叫法不一，有的稱為向量組的極大無關組，有的稱為向量組的最大無關組.

在高等數(shù)學的教材中，我們明確區(qū)分過極值和最值：在問題所討論的區(qū)域內，若最值存在必唯一，是一個整體概念；而極值可以有多個，是一個局部概念.同理，當我們在一個關于向量組的問題中需要考察個數(shù)最多的線性無關組時，因為向量組常被加以擴充或刪減，這個“最多個數(shù)”在此問題中并非唯一.例如：

為了判定線性方程組Ax=β的解，需求出系數(shù)矩陣所對應的列向量組A:α1,α2,…,αn和增廣矩陣所對應的列向量組B:α1,α2,…,αn,β的秩，顯然，向量組A,B中個數(shù)最多的線性無關組不一定相同.因此，我們對這一概念的命名必須為向量組中向量的增刪留有余地.

因此，標準的術語應為：向量組的極大無關組.

6.線性非齊次方程組Ax=β對應的線性齊次方程組/ 導出組Ax=0

英文表述derivedsystemoflinearequationsAx=β，有些教材稱為導出組，有些稱為對應的線性齊次方程組，還有些二者都加以引入.

顯然，由方程組Ax=β得到方程組Ax=0，并不需要任何計算導出的過程，“導出組”表述晦澀，含義不明.而“對應的線性齊次方程組”則概念直觀，清晰明了.

因此，標準的名稱應首選為：對應的線性齊次方程組，導出組作為次選.

7.線性方程組的通解、全部解 / 一般解

當線性方程組有無窮多個解時，解的名稱在各教材中是最混亂的.比如：

由線性方程組

解得

(1)

令x3=c，得方程組的解為

(2)

有教材將(1)定義為一般解而(2)為通解，通解=全部解；有教材將(2)定義為一般解，一般解=通解=全部解；也有教材略去一般解和通解的概念，直接將(2)定義為全部解.

一般解的概念不少版本的教材已不采納，屬于過時不常用的，應該廢棄.通解在微分方程里是一直存在的概念，其特點是帶有任意常數(shù)c(其個數(shù)和微分方程的階數(shù)相同)；而(2)同樣由任意常數(shù)c來表示，從數(shù)學概念的一致性來說，也應該被稱為通解.雖然在微分方程里，通解≠全部解，而在線性方程里，通解=全部解，這正是由方程類別的不同而造成的，教師在講授時理應加以甄別.

由此看來，(2)的標準名稱應為通解.可在此定義上作進一步說明：在線性方程組里，求出了通解就求出了全部解.

8.唯一 / 惟一

這是討論線性方程組的解的時候經常出現(xiàn)的術語：唯一(惟一)解.另外，在向量的線性組合里，也有關于“表達式唯一(惟一)”的闡述.

依據(jù)2011年發(fā)行的《現(xiàn)代漢語異形詞規(guī)范詞典》[9]，“唯一”視為規(guī)范詞.因此在教材編寫時，規(guī)范的文字使用是：

線性方程組的唯一解；表達式唯一等.

9.標準 / 規(guī)范

“標準”和“規(guī)范”在線性代數(shù)教材中被頻繁引用，以給出某類代數(shù)名詞、形式和操作的規(guī)范性參照.然而，對這二詞的使用各教材卻標準不一，這是不嚴謹?shù)?比如，到底是作向量組的標準正交化還是規(guī)范正交化？二次型的標準形和規(guī)范形到底是何種形式？各版本教材應該有統(tǒng)一明確的解釋.

事實上“標準”是比“規(guī)范”更嚴格的形式，具有形式最簡性或唯一性.據(jù)此，相關標準術語列舉如下：

向量組的標準正交化；向量空間的標準正交基；矩陣的標準形.特別指出二次型

經正交變換我們可將其化為只含有完全平方項

(3)

進一步化為系數(shù)只取1，-1或0

(4)

依據(jù)之前的命名標準，(3)應該叫做二次型的規(guī)范形，(4)應該叫做二次型的標準形.

10.基本單位向量組、標準單位向量組 / 單位向量組、單位坐標向量組、初始單位向量組

標題列舉的名稱均是各版本教材對向量組

給出的定義.

由于模為1的向量都稱為單位向量，所以將其定義為單位坐標向量組或者單位向量組等都是不嚴謹?shù)?基于它是生成n維向量空間的向量組中最基本的一組，從這一本質屬性考慮，其標準稱謂應該是基本單位向量組.而將標準單位向量組作為次選.

11.分拆/ 分解

分拆和分解含義不同，分拆是一種形式上的操作，分解是一種數(shù)學運算，二者不可混淆.比如：

λ2+3λ+2=(λ+1)(λ+2)，此為二次多項式的分解.

2 譯名的標準化

依據(jù)《中華人民共和國國家通用語言文字法》之規(guī)定，教材作為文化載體，編寫時理應使用規(guī)范文字.同時，各教材使用規(guī)范通用的外語譯名也是非常重要的.比如，在線性代數(shù)課程里講授的克拉默法則，在其它數(shù)學課程中以克萊姆法則出現(xiàn)時，學生常常不知所云.以下就教材中經常使用的外文譯名，依據(jù)有影響的典籍和其它權威詞典，并參考數(shù)學史中的習慣用法，加以標準化.另外，有些教材在介紹外文譯名時沒有中外對照給出，這一點也是不周全的.

1.Vandermonde determinant

教材中常見的譯名有：范德蒙(范德蒙德、范得蒙)行列式.

規(guī)范的譯名為：范德蒙(Vandermonde)行列式[10,14].范德蒙德是次選擇法.不譯成范得蒙.

2.Cramer’s rule

有的教材中翻譯作：克拉默法則，實為不妥.文獻[14]對此有專門的論述.克拉默是另外一位數(shù)學家，不可混淆.

規(guī)范的譯名為：克萊姆(Cramer)法則[14].

3.Jordan canonical form

教材中常見的譯名有：約旦(約當、約爾當、若當、若爾當、若爾丹)標準形.另外，現(xiàn)在的大眾媒體通常將其翻譯作“喬丹”.文獻[11]中譯為約當，可作為次選擇法.第一個字譯成“若”，則與原發(fā)音相差遠矣.這一點的詳細解釋可參看文獻[14]中的“顏森”條.

規(guī)范的譯名為：約旦(Jordan)標準形[10].

4.Cauchy-Schwarz inequality

有時被譯作：柯西—許瓦茲(施瓦茲)不等式.

規(guī)范的譯名為：柯西—施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式[12,13].

3 符號的標準化

線性代數(shù)教材中的符號使用，可以說是大學數(shù)學各門類教材中最雜亂、最讓教師和學生無所適從的.這一節(jié)從各版本教材中總結出一些使用頻率很高、但符號不標準的問題，逐一闡述并標準化.

1.行列式、矩陣的行列式符號

因為AA*=(detA)E，所以det(AA*)=det((detA)E)=(detA)ndetE=(detA)n，…

這樣的運算式看得人眼花繚亂.所以標準的符號使用是很有必要的.列舉如下：

2.轉置行列式、轉置矩陣的符號

轉置行列式在教材里常被記作D′或DT，而轉置矩陣相應地被記作A′或AT.

D′或A′的記號易與求導符號混淆，不可取.而由轉置行列式和轉置矩陣的英文名：transposed determinant & transposed matrix，取首字母大寫則含義清晰，便于聯(lián)想到原義.

因此，轉置行列式應記作DT，轉置矩陣應記作AT.

3.矩陣與矩陣相乘

矩陣Am×n乘以矩陣Bn×s，大多數(shù)教材記作C=AB，也有教材記作C=A·B. 后者顯然是不對的.比如，當A，B都為1×n的行矩陣(n維行向量)時，此記號有歧義：可理解為矩陣與矩陣相乘，則運算不可行；亦可理解為向量的內積(點積)，此時運算可行.

因此，矩陣Am×n乘以矩陣Bn×s應記作C=AB.

4.單位矩陣

英文名identity matrix，常見的記號為E或者I. 按取首字母原則本應記作I，但I與數(shù)字1太形似，很容易混淆和誤讀，引起不必要的錯誤.因此，單位矩陣記作E. 這里的“E”可看作是“I”的修飾結果，正如空集符號“?”是由“○”添加一斜線修飾而成一樣.順便說一下，空集符號不能用希臘字母“Φ”來表示.

5.初等矩陣

初等矩陣的符號可以說是一版教材一個記號，都是帶有臨時說明性和編者的部分主觀性的.按初等對調、初等數(shù)乘、初等倍加列舉幾個版本：

因為初等矩陣是由單位矩陣經過一次初等變換得到，所以前面的大寫英文字母應該與單位矩陣的記號一致，即E；初等對調和初等數(shù)乘符號的爭議性不大，取多數(shù)教材認可的版本.所以，初等對調矩陣和初等數(shù)乘矩陣的標準符號分別為E(i,j)，E(i(k)).

而初等倍加矩陣不可避免地行列讀法不通用，規(guī)定符號時，讀法上不能只體現(xiàn)行變換，如E(i+j(k))；也不能只乘不加，如E(i,j(k)). 所以，我們鄭重地推薦下面的符號：

E(j+i,(k)). 其中，正讀為行，表示：單位矩陣E經(ri+rj×k)的變換所得到的初等陣；逆讀為列，表示：單位矩陣E經(cj+ci×k)的變換所得到的初等陣.該符號在包括求逆在內的一系列推導中明顯具有優(yōu)越性.

6.矩陣等價、矩陣相似、矩陣合同

矩陣A與B等價教材中常用的符號有：A?B，A→B，A～B；矩陣A與B相似常用的符號為A～B(或無記號，文字描述)；矩陣A與B合同常用的符號為A?B(或無記號，文字描述).

依據(jù)矩陣A與B等價的定義，是指A(本陣)能夠通過有限次初等變換化成B(目的陣)，此處符號應?。篈→B.

類同于幾何里圖形相似的記號，矩陣A與B相似的記號為：A～B.

矩陣A與B合同宜記作：A?B.

7.向量的記號

向量在各教材中一般用小寫加黑的希臘字母或英文字母來表示，如向量α，β，γ或向量a，b，c等，零向量用數(shù)字零加黑“0”來表示.而從多年的教學經驗來看，字母或數(shù)字加黑是很考驗眼力和手法的，不可取.希臘字母可直接用于表示向量，并不致引起混淆和歧義.而英文字母和數(shù)字零，用幾何里的標準記法，加箭頭表示向量.所以向量的標準記號是：

8.矩陣、向量組的秩

矩陣和向量組的秩有的教材中用r或R來表示.在數(shù)學分析與復變函數(shù)論里，當我們把一個函數(shù)首字母大寫，或者對應取多值，如Arcsinx；或者對應在復數(shù)范圍內取值，如Logax. 當矩陣的元素皆在實數(shù)范圍內取值時，矩陣的秩rank若取首字母，則需小寫.同時，基于求秩是一種運算，運算符應取正體.所以矩陣和向量組的秩應以正體小寫的英文字母r來表示.即：矩陣A的秩記為r(A)，向量組α1α2…,αn的秩記為r(α1α2…,αn).

另一種寫法就是寫全rank，這也是線性代數(shù)論文中常見的寫法.

9.向量的內積

10.向量的模(長度)

(5)

只是范數(shù)的一種，稱為歐氏范數(shù)或歐氏長度，直接將其定義為向量的范數(shù)，涵蓋的范圍太廣.

所謂“定義”，是對于一種事物的本質特征或一個概念的內涵和外延所作的確切而簡要的說明.簡言之，定義不應越級.把“一個人走過來”說成“一個生物走過來”就是越級.所以，(5)式標準的名稱應該是：向量的模，或者長度.范數(shù)的符號“‖·‖”不應取，因此向量α的模記作：|α|.

11.向量正交(垂直)

這是同一個概念在不同維數(shù)空間中的不同說法.在不超過3維時，常用“垂直”這個詞，在3維以上時，就用“正交”這個詞了.空間解析幾何里通常稱為向量垂直，線性代數(shù)中通常稱為向量正交.從標準性表述來說，“正交”是規(guī)范的數(shù)學用語，而“垂直”是通俗的名詞，可作為對“正交”的通俗解釋.因此，在編寫線性代數(shù)教材和教師授課時，我們應以正交為首選概念.

在各版本的教材中，只有使用了“垂直”這一概念的，才會引入記號“⊥”. 正確直觀的符號可以簡潔數(shù)學語言和推導，基于以上的討論，向量正交應給以記號“⊥”. 即，向量α與β正交，記作α⊥β.

4 格式的標準化

1.矩陣的初等變換

由第3節(jié)6.中對于矩陣等價符號的討論，作矩陣初等變換時，變換前矩陣和變換后矩陣之間的標準銜接格式是：→.

2.行列式和矩陣的變換步驟

當我們在計算行列式，或者對矩陣作初等變換時，在推算過程中要求寫出具體步驟.而各教材的步驟格式五花八門，標準不一.比如：

r1+r2+r3+r4或r1+(r2+r3+r4).

標準的格式列舉如下(以行為例)：

對調第i行和第j行：ri?rj；將第i行乘以非零常數(shù)k：ri×k；將第j行乘以非零常數(shù)k加到第i行：ri+rj×k. 特別指出，在此種情形里，若把第2，3，4行同時加到第1行，標準的格式應為：r1+r2,r3,r4. 這種格式才能清楚地表出被加行，即變化的到底是哪一行.

3.線性方程組的解

不少教材在求n元線性方程組時，其解的格式是x1= ,x2= , …,xn= . 這種格式在邏輯關系上是錯誤的，沒有表示出n個結論須同時成立.

標準的格式應為

4.不等式的表示

[1] Lee W. Johnson等.Introduction to Linear Algebra[M].5版.北京：機械工業(yè)出版社，2002.

[2] 同濟大學數(shù)學系.工程數(shù)學：線性代數(shù)[M].6版.北京：高等教育出版社，2013.

[3] 邱森.線性代數(shù)[M].2版.武漢：武漢大學出版社，2013.

[4] 趙樹嫄.線性代數(shù)[M].4版.北京：中國人民大學出版社，2013.

[5] 王尚平，李艷麗.線性代數(shù)[M].2版.北京：機械工業(yè)出版社，2006.

[6] 高宗升，周夢，李紅裔.線性代數(shù)[M].2版.北京：北京航空航天大學出版社，2009.

[7] 許彪，謝巍，蘭恒友.線性代數(shù)[M].成都：西南交通大學出版社，2012.

[8] 徐愛華.線性代數(shù)[M].上海：同濟大學出版社，2015.

[9] 李行健.現(xiàn)代漢語異形詞規(guī)范詞典[M].2版.上海：上海辭書出版社，2011.

[10] 武漢大學數(shù)學系數(shù)學專業(yè).線性代數(shù)[M].北京：人民教育出版社，1977.

[11] 卡茲V J.數(shù)學史通論[M].2版.李文林，等譯.北京：高等教育出版社，2004：507-547.

[12] 張鴻林.英漢數(shù)學詞匯[M].2版.北京：清華大學出版社，2010.

[13] 王有志.漢英數(shù)學詞匯[M].北京：清華大學出版社，2008.

[14] 孫桂秋.數(shù)學、物理學中人名譯名的標準化[J].中國科技翻譯，2013(1)：15-18.

The Discussion on the Standardization of Terminology in Linear Algebra

XIAOYu,HUANGAi-wu,SUNGui-qiu

(Department of Mathematics and Physics, Hunan Traditional Chinese Medicine University, Changsha 410208，China)

Based on the actualities that the domestic textbooks of linear algebra are compiled non-standardly and absent of uniformity and universality, we collect nonstandard examples in kinds of versions, and referring to the history of mathematics and to the international universal standard, discuss in detail the standardization of terminology, translated name, symbol and format.

standardization; terminology; translated name; symbol; format

2016-04-08； [修改日期]2016-05-22

肖燏(1974-)，女，碩士，講師，從事線性代數(shù)研究. Email:2649237123@qq.com

O151.2

C

1672-1454(2016)05-0054-07