劉欽記，彭建華

(1.深圳大學(xué)光電工程學(xué)院，廣東深圳518060； 2.深圳大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣東深圳518060)

?

用Cesàro方法計算等時擺及擺繩等分點的運動軌跡

劉欽記1，彭建華2

(1.深圳大學(xué)光電工程學(xué)院，廣東深圳518060； 2.深圳大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣東深圳518060)

基于等時性和利用微分幾何中的Cesàro方法，解析地確定等時擺球的運動軌跡以及限制擺繩運動的曲線，同時還獲得擺繩上不同等分點運動曲線的一般解析式. 所得結(jié)果將有助于全面認(rèn)識此等時擺系統(tǒng)的運動學(xué)規(guī)律.

等時性； 旋輪線； 微分幾何； Cesàro方法

1 引 言

1656年，惠更斯將單擺運動的等時性原理引入時鐘設(shè)計發(fā)明了著名的擺鐘.實際上，他在研究擺鐘的過程中發(fā)現(xiàn)：伽利略發(fā)現(xiàn)的單擺等時性現(xiàn)象，即擺的運動周期與擺動的幅度無關(guān)，只有在擺角較小的范圍內(nèi)存在；而當(dāng)擺角范圍大了，擺動則不嚴(yán)格等時.惠更斯進一步研究得到結(jié)論：若能使擺的軌跡呈旋輪線，在可擺動的范圍內(nèi)，無論擺角多大，擺的運動都具有等時性.惠更斯的擺線理論不僅為當(dāng)時設(shè)計和制作擺鐘提供了重要的依據(jù)，也為后來在科學(xué)和技術(shù)發(fā)展和應(yīng)用方面都產(chǎn)生了積極的作用[1，2].在已報道的有關(guān)等時性的研究中，許多作者利用不同的方法,主要集中研究了等時條件下擺球的運動學(xué)方程和擺繩被約束的曲線方程[3,4].實際上，除了這兩條曲線方程外，擺繩上其他動點的運動學(xué)方程：如擺動過程中，受到限制的擺繩中點；或中點至擺球間的系列點，所有這些點的運動學(xué)方程的解析表達式為何？目前尚未見報道.若能確定出這些點的運動學(xué)方程，對于全面研究此系統(tǒng)的運動規(guī)律是有意義的.與其他作者研究方法不同的是，本文從物理上物體做簡諧運動的物理條件出發(fā)，利用微分幾何中的Cesàro方法[6]，解析研究在等時條件下，擺繩各等分動點對應(yīng)的曲線方程，進而也可求出擺球運動曲線和約束擺繩的曲線.

2 等時性運動的重要條件

單擺在大幅度擺動的過程中周期不是常量而只能用橢圓積分表示[5]，但可采用某種補償?shù)姆绞?，以實現(xiàn)等時的目標(biāo).具體的設(shè)計方案如圖1所示，在擺繩的兩側(cè)對稱加裝具有某類曲線狀的限制片，限制片的作用是：擺球在擺動過程中，擺繩貼到限制片上相當(dāng)于繩的“懸掛點”遷移，原長為l0的繩擺動部分的長度逐漸變短，直至達最短；而繩脫離限制片后，擺動部分的繩又逐漸變長，在平衡點處恢復(fù)至原長l0.加裝的簡單限制器唯一限制的參量是擺繩的長度.一個自然的問題是，限制片應(yīng)采用何種形狀才能獲得等時的效果.

我們將圖1簡化為圖2，曲線C1為限制片的形狀，曲線C為擺球的運動軌跡.通過可擺動部分的繩長即C上各點的曲率半徑，一一建立曲線C1和C上點與點的對應(yīng)關(guān)聯(lián).在自然坐標(biāo)系下，根據(jù)牛頓第二定律建立擺球沿軌線切向的動力學(xué)方程，具體為

(1)

圖1 圖2

s=Ksinφ,

(2)

其中K為待定常數(shù)，(1)可轉(zhuǎn)化為

(3)

(4)

當(dāng)φ=0時, 對應(yīng)擺線處于豎直位置，恢復(fù)為原長的情況, 有

ρ(0)=K=l0，

也就是

運動為等時.不難看出(2)或(4)式是等時性成立的重要條件.進一步可利用常規(guī)方法導(dǎo)出擺球運動方程和限制器的曲線方程.在切點附近

(5)

聯(lián)立式(4)和式(5)，并積分得

(6)

若取r=K/4和Φ=2φ, 式(6)正是旋輪線的參數(shù)方程.注意到本模型中伴隨曲線C1上的點(x1,y1)與原曲線C上的對應(yīng)點(x,y)有如下關(guān)系

(7)

聯(lián)立式(6)和式(7),可得C1的參數(shù)方程

(8)

這就是在等時條件下對限制片形狀的要求.式(6)和式(8)的結(jié)果是我們熟知的旋輪線.但是僅利用上述常規(guī)方法是難以求出擺繩不同等分點的運動軌跡的，而利用微分幾何中的Cesàro方法則是一個很好的方法，它僅需利用等時性的重要條件——(4)式，即可求出擺球運動的參數(shù)方程、約束擺繩的參數(shù)方程，擺繩不同等分點的運動軌跡.

2 用Cesàro方法計算擺繩不同等分點運動軌跡

圖3 等分曲率半徑的圖示

(9)

其中

(10)

曲率半徑為

(11)

設(shè)伴隨曲線相對于絕對坐標(biāo)系的切角為β，其變化率為[6]

(12)

由此得β與φ的關(guān)系為

(13)

(14)

和

(15)

故

(16)

和

(17)

在與C曲線對應(yīng)的伴隨曲線的切點附近，有

(18)

聯(lián)立式(11)，(13)，(16)，(17), 并分別積分得伴隨曲線的參數(shù)方程為

(19)

(20)

整理式(19)和(20)，得

(21)

當(dāng)n=1時，由(21)得

(22)

這顯然是限制器的曲線形狀，與式(8)是吻合的.

當(dāng)n→∞時，由(21)得

圖4 對應(yīng)曲線C的伴隨曲線族部分成員

(23)

這是擺球的運動軌線，與式(6)也是吻合的.

另外在n∈[1,∞)內(nèi)取不同的數(shù)時可以得到不同等分點的軌跡，如取n=2，可由式(21)得

(24)

擺繩l(t)中點的運動軌線；

取n=3，由(21)得

(25)

利用Matlab軟件繪制n=1,2,3,6,10,100情況下的幾條伴隨曲線[7].如圖4所示.

上述所討論的結(jié)果也可做進一步推廣,如可應(yīng)用到小滑塊沿對稱的凹型滑道往復(fù)運動的問題中，欲使滑塊的運動具有等時性，類似上述操作過程,可分別確定小滑塊運動軌道等規(guī)律，本文不再做討論.

3 結(jié) 論

利用等時性條件(2)或(4)，我們通過Cesàro方法不僅給出等時擺軌線和限制器曲線形狀的又一種解法，同時還解析求出擺繩等分點的運動軌跡.我們的這一工作是將微分幾何中Cesàro方法應(yīng)用于物理學(xué)中的范例.所獲得的結(jié)果也豐富了關(guān)于等時問題的研究.

[1] 劉延柱.趣味振動力學(xué)[M].北京：高等教育出版社, 2012.

[2] 武際可.力學(xué)引領(lǐng)下改變?nèi)祟惿畹娜棸l(fā)明[J]. 科技導(dǎo)報，2015，33：109.

[3] 舒幼生.趣味滾輪線[J]. 科學(xué),2000,05:58-60.

[4] 陳鋼. 惠更斯擺及嚴(yán)格等時性[J].大學(xué)物理,2003,22(11):15-17.

[5] 胡紹宗. 橢圓積分的計算及其應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué), 2013,29(1):111- 115.

[6] 佐佐木重夫, 微分幾何學(xué)[M]. 蘇步青譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社, 1963.

[7] 段俊生,安建業(yè),徐立. Matlab 曲面繪制中的挖補方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué), 2006,22(4):36-39.

Calculate the Trajectory of Moving Points in the Isochronal Pendulum Using Cesàro’s Method

LIUQin-ji1,PENGJian-hua2

(1.College of Optoelectronic Engineering , Shenzhen University , Shenzhen Guangdong 518060, China;2. College of Physics and Technology , Shenzhen University , Shenzhen Guangdong 518060, China)

Using Cesàro’s method in differential geometry, the trajectory of an isochronous pendulum ball and the shape of the limiter are determined analytically. General analytical expressions of the trajectories of the swinging rope at equal division points are further derived.

isochronous ; cycloid ; differential geometry ; Cesàro’s method

2016-03-10； [修改日期]2016-04-04

國家自然科學(xué)基金(11205104；70571053)

劉欽記(1994-),男, 2013級本科生,光電信息科學(xué)與工程專業(yè).Email:2013800345@email.szu.edu.cn

O29

A

1672-1454(2016)05-0025-05