郭 德，陳國(guó)玉，孫 娜，曹 輝

(華北科技學(xué)院 環(huán)境工程學(xué)院，北京 101601)

煤炭可選性曲線數(shù)學(xué)模型的建立與應(yīng)用

郭 德，陳國(guó)玉，孫 娜，曹 輝

(華北科技學(xué)院 環(huán)境工程學(xué)院，北京 101601)

為了探索出一種簡(jiǎn)單、實(shí)用的煤炭可選性曲線數(shù)學(xué)模型，基于分形理論建立累計(jì)灰分與分選密度數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)多項(xiàng)式擬合建立累計(jì)產(chǎn)率與累計(jì)灰分?jǐn)?shù)學(xué)模型，兩個(gè)數(shù)學(xué)模型聯(lián)合應(yīng)用可替代可選性曲線，用于計(jì)算重力選煤過(guò)程中的各項(xiàng)理論分選指標(biāo)，這對(duì)于直接計(jì)算選煤理論指標(biāo)有著重要意義。

分形理論；可選性曲線；數(shù)學(xué)模型；理論分選指標(biāo)

煤炭可選性曲線是由煤炭密度組成的圖示，反映了其質(zhì)與量的關(guān)系，通常用于判斷煤炭的可選性，解決選煤工藝中的理論工藝指標(biāo)和分選條件等問(wèn)題。作為分析煤炭可選性和獲得理論分選指標(biāo)的一種手段，煤炭可選性曲線在選煤生產(chǎn)和設(shè)計(jì)中具有非常重要的作用。煤炭可選性曲線有兩種，即H-R曲線和M曲線，最常用的為H-R曲線。但這些可選性曲線在繪制與應(yīng)用過(guò)程中存在一些不足，根據(jù)原煤浮沉試驗(yàn)資料繪制可選性曲線時(shí)，不但繪制過(guò)程繁瑣，而且不夠準(zhǔn)確，也不易實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)處理，導(dǎo)致可選性曲線所查指標(biāo)與后續(xù)的工藝數(shù)質(zhì)量計(jì)算結(jié)果不能完全匹配。

現(xiàn)有的煤炭可選性曲線數(shù)學(xué)模型主要包括反正切模型、雙曲正切模型、復(fù)合雙曲正切模型[1]，而這些模型中各參數(shù)的物理意義不明確，獲取曲線參數(shù)和直接計(jì)算各工藝指標(biāo)均比較麻煩，有必要建立一種簡(jiǎn)單、實(shí)用的煤炭可選性曲線數(shù)學(xué)模型。為此，在對(duì)分形理論和累計(jì)產(chǎn)率與累計(jì)灰分關(guān)系研究的基礎(chǔ)上，探索性地建立了一種物理意義明確，且應(yīng)用簡(jiǎn)單的可選性曲線數(shù)學(xué)模型，并結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)闡述了該模型的應(yīng)用方法。

1 煤炭可選性曲線數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 分形理論

分形幾何學(xué)由法國(guó)數(shù)學(xué)家Mandelbrot B B于上世紀(jì)80年代初創(chuàng)立[2-3]，具有自相似性和標(biāo)度不變性的系統(tǒng)稱為分形系統(tǒng)[4]，分形理論主要研究?jī)?nèi)容是具有自相似性的不規(guī)則曲線和位線、具有自反演性的不規(guī)則圖形、具有自平方性的分形變換及具有自仿射的分形集等[5]。分形維數(shù)簡(jiǎn)稱分維，是描述分形的數(shù)量特征的主要參數(shù)，用于度量復(fù)雜形體的不規(guī)則性，也可以揭示復(fù)雜現(xiàn)象中深藏的有組織結(jié)構(gòu)[6-7]，該理論在物理化學(xué)、材料科學(xué)、信息科學(xué)、巖土、地質(zhì)等領(lǐng)域應(yīng)用十分活躍。

1.2 累計(jì)灰分與分選密度的數(shù)學(xué)模型

近年來(lái)，分形理論在一些領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。累計(jì)灰分與密度的關(guān)系符合分維特性，通過(guò)分形理論可以精確地反應(yīng)累計(jì)灰分與分選密度的數(shù)學(xué)關(guān)系。分形分布可采用冪指數(shù)分布定義為:

(1)

式中:r為特征線度；N為與r有關(guān)的數(shù)量；C為待定常數(shù)；D為分維數(shù)。

累計(jì)灰分與分選密度的關(guān)系見(jiàn)下式：

A=f(δ),

(2)

式中:A為累計(jì)灰分，%；δ為分選密度，g/cm3。

如果將其轉(zhuǎn)換為變維分形模型，可得

(3)

聯(lián)立式(2)與式(3)可得：

(4)

分維數(shù)D為：

(5)

分維數(shù)D可以統(tǒng)一寫為如下冪級(jí)數(shù)形式：

D=a0+a1δ+a2δ2+……+anδn,

(6)

根據(jù)式(2)可以計(jì)算出若干個(gè)已知數(shù)據(jù)組，結(jié)合式(3)，通過(guò)求解方程組來(lái)確定變維分形模型。將式(6)帶入式(3)后，對(duì)等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，可得：

lnA=C1-(a0+a1δ+a2δ2+……+anδn)lnδ,

(7)

C1=lnC。

式(7)是關(guān)于n個(gè)未知數(shù)的線性方程組，將n個(gè)已知數(shù)據(jù)組的坐標(biāo)代入其中求解線性方程組，即可確定變維分形模型的各個(gè)參數(shù)[8-9]。

現(xiàn)以表1中的0.5～50 mm粒級(jí)煤炭浮沉試驗(yàn)綜合數(shù)據(jù)[10]為例，進(jìn)一步說(shuō)明累計(jì)灰分與分選密度的數(shù)學(xué)模型建立過(guò)程。

將表1中的累計(jì)灰分與分選密度代入式(7)，可得：C1=-3.941 8，a0=-79.814 7，a1=66.371 0，a2=-15.576 8，則有

lnA=-3.941 8-(-79.814 7+
66.371 0δ-15.576 8δ2)lnδ，

(8)

由式(8)可推算出A值，

(9)

表1 0.5～50 mm粒級(jí)煤炭浮沉試驗(yàn)綜合表

式(9)即為所建的累計(jì)灰分與分選密度數(shù)學(xué)模型，為驗(yàn)證模型的精確性，將實(shí)際浮沉灰分與模型計(jì)算灰分進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2所示。

表2 實(shí)際浮沉灰分與模型計(jì)算灰分對(duì)比結(jié)果

1.3 累計(jì)產(chǎn)率與累計(jì)灰分的數(shù)學(xué)模型

研究發(fā)現(xiàn)，累計(jì)產(chǎn)率與累計(jì)灰分、分選密度與累計(jì)產(chǎn)率之間不存在顯著的分維特性，故不能采用分形理論建立二者之間的數(shù)學(xué)模型。在對(duì)大量資料統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)，累計(jì)產(chǎn)率與累計(jì)灰分之間的關(guān)系可以用多項(xiàng)式表達(dá)，具體表達(dá)式為：

γ=aA3+bA2+cA+d，

(10)

式中:γ為累計(jì)產(chǎn)率，%；A為對(duì)應(yīng)的累計(jì)灰分，%；a、b、c、d為關(guān)系式的系數(shù)。

以表1中的數(shù)據(jù)為例，所建的累計(jì)產(chǎn)率與累計(jì)灰分?jǐn)?shù)學(xué)模型為：

γ=0.024 1A3-1.310 5A2+
24.517 0A-59.829。

(11)

R2是擬合程度的指標(biāo)，其數(shù)值大小可以反映估計(jì)值與對(duì)應(yīng)的實(shí)際數(shù)據(jù)之間的擬合程度，擬合程度越高，可靠性就越高。當(dāng)R2等于1或接近1時(shí)，可靠性最高；反之，可靠性較低。式(11)的R2為0.998，說(shuō)明所建數(shù)學(xué)模型的精度很高。

2 數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用

根據(jù)式(9)和式(11)，可方便地求出煤炭各項(xiàng)理論分選指標(biāo)，并判斷煤炭的可選性。現(xiàn)以表1數(shù)據(jù)為例，說(shuō)明兩個(gè)模型相結(jié)合的具體應(yīng)用方法。當(dāng)要求精煤灰分為10%時(shí)，由式(9)可求出原煤理論分選密度為1.52 g/cm3，根據(jù)式(11)得到的精煤理論產(chǎn)率為78.39%。

2.1 計(jì)算分界灰分

設(shè)δ1為比理論分選密度低0.01 g/cm3的密度、δ2為比理論分選密度高0.01 g/cm3的密度、A1為與δ1對(duì)應(yīng)的累計(jì)灰分、A2為與δ2對(duì)應(yīng)的累計(jì)灰分、r1為與A1對(duì)應(yīng)的累計(jì)產(chǎn)率、r2為與A2對(duì)應(yīng)的累計(jì)產(chǎn)率、Δr為r1、r2兩個(gè)產(chǎn)率之差、λ為邊界灰分。λ的具體計(jì)算方法為：

(1)由于理論分選密度為1.52 g/cm3，故δ1=1.51 g/cm3、δ2=1.53 g/cm3時(shí)，根據(jù)式(9)計(jì)算出的A1=9.83%、A2=10.20%；根據(jù)式(11)計(jì)算出的對(duì)應(yīng)產(chǎn)率r1=77.43%、r2=79.48%；

(2)依據(jù)Δr=r2-r1，可得出Δr=2.05%；根據(jù)r1A1+Δrλ=r2A2，結(jié)合上述相關(guān)數(shù)據(jù)可得出λ=24.18%。

2.2 計(jì)算δ±0.1含量

設(shè)r-2.0為<2.00 g/cm3密度級(jí)的產(chǎn)率、r1.62為比分選密度1.52 g/cm3高0.10 g/cm3密度級(jí)對(duì)應(yīng)的產(chǎn)率、r1.42為比分選密度1.52 g/cm3低0.10 g/cm3密度級(jí)對(duì)應(yīng)的產(chǎn)率、r±0.1為δ±0.1含量。δ±0.1含量的具體計(jì)算方法為：

(1)當(dāng)分選密度為2.00 g/cm-3時(shí)，根據(jù)式(9)可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的灰分為12.93%，通過(guò)式(11)可計(jì)算出r-2.0=90.18%。

當(dāng)要求的矸石分選密度已知時(shí)，采用式(9)和式(11)即可求出精煤和中煤的數(shù)質(zhì)量，也能求出相應(yīng)的矸石的數(shù)質(zhì)量。

3 結(jié)論

(1)通過(guò)分形理論和多項(xiàng)式擬合建立了累計(jì)灰分與分選密度、累計(jì)產(chǎn)率與累計(jì)灰分的數(shù)學(xué)模型，該建模方法簡(jiǎn)單，物理意義明確。

(2)應(yīng)用實(shí)例說(shuō)明，兩個(gè)數(shù)學(xué)模型聯(lián)合應(yīng)用，不僅便于確定重力選煤的各項(xiàng)理論分選指標(biāo)，還能有效判斷煤炭的可選性，且進(jìn)一步驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性和實(shí)用性。

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Development and application of the coal washability-curve mathematical model

GUO De, CHEN Guo-yu, SUN Na, CAO Hui

(College of Environmental Engineering, North China Institute of Science & Technology, Beijing 101601, China)

To simple yet practical coal washability-curve mathematical models have been developed. One is the fractal theory-based cumulative ash-separating density model while the other is the cumulative yield-cumulative ash model established through polynomial fitting. When used in combination, the 2 models can replace the washability curve for calculating the various theoretical separation indices in coal gravity separation process. This is of great significance for the direct estimation of theoretical indices in coal separation.

fractal theory; washability curve; mathematical model; theoretical separation indices

1001-3571(2016)01-0001-03

TD94

A

2016-01-30

10.16447/j.cnki.cpt.2016.01.001

郭 德(1964—)，男，山東省成武縣人，教授，從事礦物加工工程方面的教學(xué)與科研工作。

E-mail: guode@ncist.edu.cn Tel: 13785657868