趙清海， 陳瀟凱， 林逸

(北京理工大學 機械與車輛學院，北京電動車輛協(xié)同創(chuàng)新中心，北京 100081)

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基于有限體積法的穩(wěn)態(tài)熱傳導結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化

趙清海， 陳瀟凱， 林逸

(北京理工大學 機械與車輛學院，北京電動車輛協(xié)同創(chuàng)新中心，北京 100081)

針對散熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計的研究現(xiàn)狀，提出一種基于有限體積法的穩(wěn)態(tài)熱傳導結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設(shè)計，構(gòu)建兩種區(qū)域離散策略，即內(nèi)節(jié)點法和外節(jié)點法. 借助變密度法拓撲優(yōu)化理論，建立以散熱弱度為目標函數(shù)的穩(wěn)態(tài)熱傳導結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化數(shù)學模型，研究在第一、二和三類邊界條件下的優(yōu)化問題. 算例計算結(jié)果表明，基于不同區(qū)域離散格式外節(jié)點法和內(nèi)節(jié)點的拓撲優(yōu)化設(shè)計均能有效改善結(jié)構(gòu)的散熱效果，且能獲得良好的拓撲優(yōu)化構(gòu)型，對微熱源的影響也能識別最佳的散熱路徑.

拓撲優(yōu)化；熱傳導；有限體積法；變密度法

結(jié)構(gòu)散熱設(shè)計廣泛存在于電子設(shè)備、航空航天、汽車等多個工程領(lǐng)域，通過合理設(shè)計結(jié)構(gòu)的拓撲構(gòu)型，有效改善結(jié)構(gòu)的散熱效果，從而保證關(guān)鍵零部件工作的可靠性. 國內(nèi)外已有相關(guān)學者對熱傳導結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題進行研究[1-7]. Zhuang等[1]針對瞬態(tài)熱傳導問題進行拓撲優(yōu)化研究，尋求最優(yōu)的熱傳導路徑. Akihiro等[2]研究熱-固耦合物理場作用下，以結(jié)構(gòu)強度和導熱系數(shù)為約束條件的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計問題. 孫士平等[3]針對熱彈性連續(xù)體拓撲優(yōu)化存在的中間密度問題，分析了熱力耦合場作用下的結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型設(shè)計.

基于上述工作基礎(chǔ)，文中針對基于有限體積法的穩(wěn)態(tài)熱傳導結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設(shè)計問題，提出兩種區(qū)域離散策略，即內(nèi)節(jié)點法和外節(jié)點法，采用變密度法拓撲優(yōu)化理論，建立以散熱弱度為目標函數(shù)的穩(wěn)態(tài)熱傳導結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化數(shù)學模型，研究在第1、2和3類邊界條件下的優(yōu)化問題，最后通過兩個算例驗證文中模型和方法的有效性.

1 熱傳導方程數(shù)學模型

熱傳導是典型的熱能傳遞方式，由能量守恒定律和傳熱問題的Fourier定律，可得瞬態(tài)熱傳導問題的場變量T(x，y，z，t)應滿足的守恒型控制方程為

(1)

式中：λ為熱傳導系數(shù)；ρ為材料密度；c為材料比熱容；S為結(jié)構(gòu)內(nèi)部熱源強度.

對微分方程的求解，須提供相應的定解條件. 初始條件為

T|t=0=φ(x,y,z).

(2)

邊界條件為

(3)

式中：邊界ΓD上給定溫度函數(shù)值；邊界ΓN上給定熱流密度函數(shù)值；n為邊界外法線方向；邊界ΓR上給定熱對流換熱函數(shù)值；a與Tf分別為換熱系數(shù)與流體溫度.

2 有限體積法

2.1 控制容積的確定

采用互不重迭的子區(qū)域?qū)υO(shè)計區(qū)域進行網(wǎng)格劃分，此時，確定節(jié)點在子區(qū)域中的位置有兩種方式：外節(jié)點法與內(nèi)節(jié)點法. 外節(jié)點法如圖1(a)所示，節(jié)點位于子區(qū)域的角頂位置；內(nèi)節(jié)點法如圖1(b)所示，節(jié)點位于子區(qū)域的中心. 節(jié)點位置及控制容積模型如圖1所示，其中，P、W、E、N、S為節(jié)點，界面線所圍區(qū)域w-e-n-s為節(jié)點P的控制容積，即陰影區(qū)域，控制容積we、ns之間的距離分別記為Δx、Δy，控制容積體積為ΔV=ΔxΔy. 節(jié)點P到W、E、N、S的距離分別為δxWP、δxPE、δxPN、δxSP.

2.2 控制方程離散格式

按照有限體積法的基本思想，對式(1)在控制體積內(nèi)對其進行積分，借助Green散度定理和中心差分格式，系數(shù)歸一化處理并整理為矩陣形式，得到

(4)

界面上當量導熱系數(shù)的確定方法主要有兩種：算術(shù)平均法與調(diào)和平均法. 本例選用基于線性插值的算術(shù)平均法，得到

綜上所述，建立微分方程組

(5)

式中：K為熱傳導系數(shù)矩陣；T為節(jié)點溫度列陣；Q為溫度載荷列陣.

3 拓撲優(yōu)化數(shù)學模型

3.1 穩(wěn)態(tài)熱傳導結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化模型

基于變密度法模型[4]，建立單元密度與子區(qū)域中的導熱系數(shù)矩陣的對應關(guān)系為

(6)

式中：ρe為設(shè)計變量，服從0-1分布；P為懲罰因子，一般取值為3；k0為子區(qū)域單元的熱傳導系數(shù)矩陣.

以結(jié)構(gòu)散熱弱度為目標函數(shù)，體積為約束條件，建立穩(wěn)態(tài)熱傳導結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化模型為

(7)

式中：c為結(jié)構(gòu)散熱弱度；ve為單元體積；V0為設(shè)計區(qū)域體積；f為體積比；N為離散設(shè)計區(qū)域的子區(qū)域單元數(shù)；ρmin為單元密度下限值，防止出現(xiàn)總剛度矩陣的奇異，取值為10-3.

文中采用優(yōu)化準則法更新設(shè)計變量，其具有求解速度快，計算規(guī)模對設(shè)計變量數(shù)目的增加不敏感，適用于約束條件不多的優(yōu)化問題求解.

3.2 子區(qū)域?qū)嵯禂?shù)矩陣

優(yōu)化準則法基于靈敏度信息對設(shè)計變量進行更新，求解目標函數(shù)c相對于設(shè)計變量ρe的敏度為

(8)

因此，子區(qū)域?qū)嵯禂?shù)矩陣k0的求解至關(guān)重要.

對于外節(jié)點法，子區(qū)域單元模型如圖2所示.

矩形單元中含有4個溫度節(jié)點，對4個控制容積的界面系數(shù)產(chǎn)生影響，假設(shè)子區(qū)域?qū)嵯禂?shù)為λ. 建立子區(qū)域?qū)嵯禂?shù)矩陣為

k0Te=

(9)

對于內(nèi)節(jié)點法，子區(qū)域單元模型如圖3所示.

因此，子區(qū)域?qū)嵯禂?shù)λ對周圍4個控制容積產(chǎn)生影響，建立與子區(qū)域?qū)嵯禂?shù)λ相關(guān)系數(shù)矩陣為

式中：

4 算 例

如圖4所示平面結(jié)構(gòu)，幾何尺寸為120m×120m，離散為120×120個矩形平面單元，邊界條件包括為給定恒溫邊界條件ГD=0 ℃有三處為右邊界中間位置、上邊界最右端與下邊界最右端，以及熱流密度邊界條件ГN=1W/m在左邊界中間位置，其余為絕熱邊界條件ГR. 整個區(qū)域包含兩處內(nèi)熱源強度Q=0.1W/m2，位置為左上端與左下端. 為了便于計算，采用熱導率λ=1W/(m·K)各向同性材料填充. 且給定體積分數(shù)f為0.4. 基于外節(jié)點法和內(nèi)節(jié)點法的散熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化結(jié)果分別如圖5和圖6所示. 不同節(jié)點設(shè)置方式的計算結(jié)果包含散熱弱度和優(yōu)化迭代次數(shù)列于表1.

類型散熱弱度/W優(yōu)化迭代次數(shù)/次外節(jié)點法18.6939677內(nèi)節(jié)點法17.5901806

由算例計算結(jié)果可知，基于不同區(qū)域離散格式外節(jié)點法和內(nèi)節(jié)點的拓撲優(yōu)化設(shè)計均能有效改善結(jié)構(gòu)的散熱效果，且能獲得良好的拓撲優(yōu)化構(gòu)型，對微熱源的影響也能識別最佳的散熱路徑，充分表明算法的有效性. 由表1結(jié)果可得，對于此類散熱結(jié)構(gòu)設(shè)計，比較于外節(jié)點法，內(nèi)節(jié)點法能獲得較優(yōu)的散熱構(gòu)型，散熱弱度降低6%，但收斂速度降低19%.

5 結(jié) 論

基于變密度法并結(jié)合有限體積理論，實現(xiàn)了穩(wěn)態(tài)熱傳導連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設(shè)計. 針對有限體積法的計算格式，提出兩種區(qū)域離散策略，即外節(jié)點和內(nèi)節(jié)點法. 建立以散熱弱度為目標函數(shù)，體積為約束條件的穩(wěn)態(tài)熱傳導結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化數(shù)學模型. 數(shù)值算例對不同邊界條件下的拓撲優(yōu)化結(jié)果進行對比分析，結(jié)果表明：相較于外節(jié)點法，內(nèi)節(jié)點法能獲得較優(yōu)的散熱構(gòu)型，但具有較低的收斂速度.

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(責任編輯：孫竹鳳)

Topology Optimization for Steady-State Heat Conduction Structure Based on Finite Volume Method

ZHAO Qing-hai， CHEN Xiao-kai， LIN Yi

(Collaborative Innovation Center of Electric Vehicles in Beijing， School of Mechanical Engineering，Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China)

Considering the current status of heat dissipation structure topology optimization design, a topology optimization method was proposed based on finite volume method for the steady-state heat conduction structure design. A strategy was proposed to simulate two typical regional discrete, including the internal and the external node methods. Based on the density approach, a topology optimization mathematics model was developed with the dissipation of heat potential capacity as objective function to deal with optimization problem in three boundary conditions. Results show that, the heat dissipation of the structure can be improved effectively with both the regional discrete optimization design methods, internal and the external node methods. The topology optimization mathematics model can also identify optimal heat dissipation route for tepid influence.

topology optimization; heat conduction; the finite volume method; density approach

2015-05-20

國家自然科學基金資助項目(51275040)

趙清海(1985—)，男，博士生，E-mail:zqhbit@163.com.

陳瀟凱(1977—)，男，副教授，E-mail:chenxiaokai@263.net.

TH 122

A

1001-0645(2016)11-1117-05

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.11.004