鄭秀華

摘 要：在三尖擺線泵的設(shè)計(jì)中，由于擺線屬于異形曲線，計(jì)算不便。因此文章提出了用圓弧來代替擺線進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算的方法，且通過幾何計(jì)算和Auto CAD軟件對(duì)其準(zhǔn)確性進(jìn)行了證明。在證明過程中根據(jù)圓弧推導(dǎo)出了型腔最大面積的計(jì)算公式。

關(guān)鍵詞：三尖擺線泵 圓弧 型腔最大面積

中圖分類號(hào)：THl37.51 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2016）07（c）-0028-03

Abstract：In the design of Tritubercular Cycloid Pump， because cycloid was abnormal curve， the calculation became inconvenient. So this paper presented the calculation method of insteading cycloid with circular， its veracity was proved with geometry calculation and the software of Auto CAD. In the course of proving， according to circular arc the formula of cavitys maximal area was deduced.

Key Words：Trtubercular cycloid pump； Circular arc； Cavitys maximal area

目前國內(nèi)外對(duì)三尖擺線泵的研究，正在不斷深入。型腔最大面積是三尖擺線泵排量計(jì)算中的關(guān)鍵參數(shù)，對(duì)此雖然也有了一些研究，但還存在著問題。如計(jì)算復(fù)雜，其結(jié)果不便于應(yīng)用等。基于這一原因，文中對(duì)三尖擺線的近似展開了研究。

1 三尖擺線簡(jiǎn)介

1.1 擺線的形成及三尖擺線的方程

當(dāng)動(dòng)圓與定圓相切，動(dòng)圓在定圓上做純滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓上一點(diǎn)走出的軌跡稱為擺線[1]。根據(jù)動(dòng)圓上的點(diǎn)到動(dòng)圓中心的距離小于、等于或大于其半徑，擺線分為短幅、等幅或長幅擺線。人們常稱定圓與動(dòng)圓的半徑之比為整數(shù)k的等幅擺線為k尖擺線。

1.2 三尖擺線的性質(zhì)

（1）定圓與動(dòng)圓半徑之比為3與其比為3/2時(shí)的三尖擺線的形狀大小完全相同。

（2）三尖擺線尖點(diǎn)處兩段曲線相切。

（3）當(dāng)定動(dòng)圓半徑之比為時(shí)，動(dòng)圓直徑始終與擺線的某段相切。

（4）當(dāng)定動(dòng)圓半徑之比為時(shí)，動(dòng)圓直徑的端點(diǎn)始終在擺線上。

（5）三尖擺線上動(dòng)徑除在三尖點(diǎn)外，把三尖擺線型腔分為3部分，且隨動(dòng)徑的轉(zhuǎn)動(dòng)3部分的面積由零到最大值之間變化。

1.3 三尖擺線的包絡(luò)及三尖擺線泵的原理

如圖2所示，動(dòng)徑經(jīng)圓包絡(luò)后作為轉(zhuǎn)子，三尖擺線經(jīng)圓包絡(luò)后形成的型腔作為定子，做平面運(yùn)動(dòng)的葉片（轉(zhuǎn)子）把定子的型腔分為3部分，假設(shè)轉(zhuǎn)子逆時(shí)針公轉(zhuǎn)順時(shí)針自轉(zhuǎn)，即從圖2（a）所示的情形向圖2（b）的情形變化，隨著轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)，三腔從零到最大值之間變化，如果應(yīng)用為油泵，隨著轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)，三腔實(shí)現(xiàn)交替吸、排油，且無殘留面積。

2 擺線的近似

2.1 擺線的近似

在Auto CAD中實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，過擺線一支上任意3點(diǎn)所做的圓弧與擺線基本重合，圖3是過P、A、R3點(diǎn)所做的圓弧。那么在設(shè)計(jì)計(jì)算中，設(shè)想是否可以用該段圓弧來代替擺線。隨即對(duì)這一圓弧進(jìn)行了研究。

2.2 求解近似圓

設(shè)中心距為a=r，由于3段擺線完全相同，所以這里只計(jì)算擺線PR段。通過已知條件，可得P，A，R3點(diǎn)的坐標(biāo)為，A （-r，0），。根據(jù)這3點(diǎn)的坐標(biāo)求出該圓弧所在圓的圓心為（-8r，0），可得該圓方程為，則近似圓半徑R=7r=7a，即是中心距的7倍。

2.3 型腔最大面積近似計(jì)算公式

根據(jù)近似圓弧推導(dǎo)出未包絡(luò)擺線圖形面積、未包絡(luò)型腔最大面積、包絡(luò)后圖形面積，進(jìn)而得到包絡(luò)后型腔最大面積，即三尖擺線泵型腔最大面積。

（1）未包絡(luò)擺線圖形的面積。

3 證明近似的準(zhǔn)確性

3.1 從面積上證明近似圓弧的準(zhǔn)確性

Auto CAD中無法直接畫出擺線，通過二次開發(fā)得到擺線的標(biāo)準(zhǔn)模型[2]，因此由CAD中擺線得出的結(jié)果真實(shí)可靠。從面積上對(duì)近似性進(jìn)行證明主要是通過對(duì)比由公式（5）、（6）、（7）、（8）算出的面積與CAD中測(cè)出的標(biāo)準(zhǔn)面積，算出其相對(duì)誤差，得到結(jié)論。表1是所選取的擺線的原始數(shù)據(jù)，表中數(shù)據(jù)均以毫米（mm）為單位。

第1、2、3組數(shù)可產(chǎn)生的擺線1、2、3，在CAD里測(cè)出它們的各項(xiàng)面積——未包絡(luò)擺線圖形面積S1，未包絡(luò)型腔最大面積S2，包絡(luò)后圖形面積S及型腔最大面積Smax。然后根據(jù)公式（5）、（6）、（7）、（8）可分別計(jì)算出擺線1、2、3所對(duì)應(yīng)的面積。如表2、3、4所示。

表中誤差為相對(duì)誤差。根據(jù)表2、3、4將S1、S2、S及Smax的誤差分別繪制成折線圖來分析，如圖6所示。通過誤差圖可發(fā)現(xiàn)，各組誤差變化都很平緩，且均在0.007范圍之內(nèi)。

3.2 誤差補(bǔ)償

因?yàn)閦2與B都是常數(shù)，所以排量只受Smax影響，Smax誤差在0.007范圍之內(nèi)，為了保險(xiǎn)起見，將誤差值擴(kuò)大搭到0.010，則真實(shí)排量為，且最后可在泵容積效率上減去此誤差值，即，以補(bǔ)償近似計(jì)算誤差。

4 結(jié)語

綜上所述，在三尖擺線泵的設(shè)計(jì)計(jì)算中，可用半徑為擺線中心距7倍的圓弧來代替擺線。經(jīng)證明圓弧的近似程度高，誤差很小，且誤差可以補(bǔ)償?shù)?。由圓弧推導(dǎo)出的公式（5）、（6）、（7）、（8），只與中心距與包絡(luò)圓直徑有關(guān)，公式簡(jiǎn)潔易用，在三尖擺線的應(yīng)用中可以使用。

參考文獻(xiàn)

[1] 白海清.三尖擺線的形成及應(yīng)用[J].機(jī)械，2002，29（S1）： 73-74.

[2] 劉林.AUTOCAD 2004高級(jí)應(yīng)用教程[M].2版.華南理工大學(xué)出版社，2006.