黃 瓊

(廣東省陽江市陽西縣第二中學(xué)，529800)

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一類二項(xiàng)式展開式問題的解法探究

黃 瓊

(廣東省陽江市陽西縣第二中學(xué)，529800)

一、問題的提出

2016年廣州市一模給出如下一道試題：

問題1 在(x2-x-2)4的展開式中,x3的系數(shù)為______.(用數(shù)字填寫答案)

分析1 為了能夠使用二項(xiàng)式定理,因此可以考慮將x2-x-2分解因式,再用分類討論.

解法1 由于(x2-x-2)4=(x+1)4(x-2)4,因此(x2-x-2)4的展開式中x3的系數(shù)應(yīng)為(x+1)4的展開式中的x3的系數(shù)與(x-2)4的常數(shù)項(xiàng)的乘積,加上(x+1)4的展開式中的x2的系數(shù)與(x-2)4展開式中的x的系數(shù)的乘積,加上(x+1)4展開式中的x的系數(shù)與(x-2)4的展開式中的x2的系數(shù)的乘積,加上(x+1)4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)與(x-2)4的展開式中的x3的系數(shù)的乘積的和，最后算出結(jié)果為-40.

評注 方法1通過分解因式,將一個陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二項(xiàng)式定理問題.但是,求解過程用到分類討論,學(xué)生往往會漏掉或者算錯某一種情況，最重要的一點(diǎn)是并不是每次遇到同類問題都能將括號的式子分解因式,這是方法1的缺點(diǎn).

分析2 將x2-x-2=x2-(x+2)當(dāng)作兩個數(shù)x2、x+2的差,兩次應(yīng)用二項(xiàng)式定理,從而使問題得到解決.

評注 方法2用局部的整體思想將式子x2-x-2看作兩項(xiàng),應(yīng)用二項(xiàng)式定理后,再對(x+2)4-k使用二項(xiàng)式定理,最后比較系數(shù),從而使問題得以解決.

二、問題的拓展

上面我們用兩種方法解決了一個括號內(nèi)是三個數(shù)的二項(xiàng)式定理問題,但是它畢竟太特殊了.我們不妨考慮它的一般情形,并且試圖從中得出一般結(jié)論類比二項(xiàng)式定理,我們可以提出以下一個問題:

問題2 對于給定的正整數(shù)n,求式子(x+y+z)n的展開式.

定理

證明 由二項(xiàng)式定理，可得

所以有

令n3=n-n1-n2,

所以(x+y+z)n

證畢.

三、應(yīng)用舉例

例1 (2015年全國高考題)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為( )

(A) 10 (B) 20

(C) 30 (D) 60

評注 上述定理將例1轉(zhuǎn)化為解三元一次非負(fù)整數(shù)方程組的問題,而解方程從初中就開始學(xué)了,因此用此定理解決這類問題,學(xué)生比較容易上手,而且不易算錯.

例2 在(x2-x+1)5的展開式中x3的系數(shù)為( )

(A)-30 (B)-24

(C)-20 (D)20

解 由上述定理可知(x2-x+1)5的展開式的通項(xiàng)公式為

評注 從例2可以看出,上述定理無非是二項(xiàng)式定理的推廣而已.由數(shù)學(xué)歸納法,我們還可以得到(x1+x2…+xk)n的展開式，這一點(diǎn)留給讀者自己探討.