曾奎 耿云海 陳炳龍

基于傅里葉級(jí)數(shù)的小推力航天器快速軌跡設(shè)計(jì)

曾奎1耿云海1陳炳龍2

為了滿足小推力航天器交會(huì)軌跡的快速性設(shè)計(jì)需求,基于形狀逼近理論,設(shè)計(jì)了一種三維軌跡模型.將軌跡設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)換為求解傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)問題,避免了軌跡運(yùn)動(dòng)方程非線性強(qiáng)、難以求解的難題,極大地提高了計(jì)算效率.考慮到推力加速度的限制,建立了加速度約束方程,并結(jié)合軌跡的運(yùn)動(dòng)方程,給出了傅里葉級(jí)數(shù)的求解過程.同時(shí)根據(jù)邊界條件和最大推力加速度值,定性地分析了傅里葉系數(shù)的存在條件.仿真驗(yàn)證了該方法的正確性和可行性,并從計(jì)算效率上與高斯偽譜法進(jìn)行了對(duì)比,結(jié)果表明本文的方法計(jì)算耗時(shí)僅為高斯偽譜法的0.67%.

快速性,小推力,軌跡設(shè)計(jì),推力限制,傅里葉級(jí)數(shù),航天器

航天器任務(wù)設(shè)計(jì)的初步階段,需要快速地設(shè)計(jì)出一條合理的初始軌跡并評(píng)估燃料的消耗量,然而由于小推力軌跡模型的非線性較強(qiáng),直接以解析解的形式求出運(yùn)動(dòng)軌跡非常困難,而且實(shí)際工程中推力具有最大限制,極大地增加了任務(wù)挑戰(zhàn)性[1].傳統(tǒng)的方法中一般將小推力軌跡設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題來求解,求解方法主要分為兩類[2?4]:直接法和間接法.但是這兩類方法對(duì)初始猜測(cè)值比較敏感,而且對(duì)于不同的初始值需要對(duì)全過程重新進(jìn)行數(shù)值積分,不能滿足任務(wù)初步階段的快速性需求.因此,尋找新的快速性軌跡設(shè)計(jì)方法非常重要.

為了解決任務(wù)設(shè)計(jì)初步階段的快速性需求, 1999年P(guān)etropoulos等[5]提出了一種形狀逼近法,為小推力軌跡設(shè)計(jì)問題打開了一扇新的大門.形狀逼近法是一種基于逆向設(shè)計(jì)的思想,它首先假設(shè)運(yùn)動(dòng)軌跡呈某一特定的曲線,然后用形狀曲線擬合的方法設(shè)計(jì)出滿足要求的轉(zhuǎn)移軌跡.由于該方法簡(jiǎn)單、快速,迅速引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注.Petropoulos等[6]用正弦指數(shù)函數(shù)模型設(shè)計(jì)了小推力攔截軌跡.Izzo[7]研究了基于正弦指數(shù)函數(shù)模型的多圈Lambert問題.然而,對(duì)于交會(huì)問題正弦指數(shù)函數(shù)模型不能滿足終端速度約束條件.隨后,Wall等[8?9]提出了一種6階逆多項(xiàng)式的方法,該方法雖然能滿足邊界條件約束,但是對(duì)于交會(huì)問題,只能通過增大轉(zhuǎn)移時(shí)間或增加軌跡的圈數(shù)來減小最大推力加速度值.為了解決推力約束的問題,Taheri等[10?11]引入了傅里葉函數(shù),設(shè)計(jì)了一種近似軌跡模型,但是該模型適合于轉(zhuǎn)移圈數(shù)給定的情況,而且文中沒有給出系數(shù)的存在條件,對(duì)于快速性軌跡設(shè)計(jì)需求存在一定的局限性.

針對(duì)空間小推力軌道交會(huì)問題,本文在前人的基礎(chǔ)上引入傅里葉級(jí)數(shù)模型,設(shè)計(jì)了一種基于傅里葉級(jí)數(shù)的空間小推力軌跡設(shè)計(jì)方法.通過軌跡模型,將小推力軌跡設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化成了求解傅里葉系數(shù)的問題.根據(jù)加速度約束方程和軌跡運(yùn)動(dòng)約束方程,結(jié)合序列二次規(guī)劃算法給出了系數(shù)的求解過程,并定性分析了傅里葉系數(shù)解的存在條件.最后仿真驗(yàn)證了該方法的正確性和可行性.本文所設(shè)計(jì)的方法可為工程設(shè)計(jì)初步階段提供一定的技術(shù)參考,或?yàn)楦M(jìn)一步的精確計(jì)算提供初值依據(jù).

1 基于傅里葉級(jí)數(shù)的軌跡模型

1.1 問題的提出

在軌道交會(huì)過程中,航天器在空間的轉(zhuǎn)移軌跡是一條滿足約束條件的空間曲線.通常情況下,對(duì)于任意給定的一條空間曲線都可以近似用一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)的形式來表示,所以航天器的軌跡設(shè)計(jì)問題可以轉(zhuǎn)化為傅里葉級(jí)數(shù)的設(shè)計(jì)問題,而傅里葉級(jí)數(shù)取決于多項(xiàng)式的系數(shù),因此,只要確定了多項(xiàng)式的系數(shù),就可以確定航天器在空間的運(yùn)動(dòng)軌跡.

為了便于分析和計(jì)算,本文以初始軌道平面為參考面,建立柱坐標(biāo)系,將航天器的軌跡表示為極角θ、半徑r和軌道面法向位置z的函數(shù),圖中x軸和y軸位于初始軌道面內(nèi),與z軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系,如圖1所示.

圖1 柱坐標(biāo)系Fig.1 Cylindrical coordinate system

根據(jù)牛頓引力定律,航天器的運(yùn)動(dòng)方程在柱坐標(biāo)系下可以表示為[9,12]

式中,z表示oz軸方向的位置,Tain表示航天器在oxy平面內(nèi)的推力加速度大小,Taz表示oz軸方向的推力加速度大小,α為oxy平面內(nèi)的推力方向角,μ為地心引力常數(shù),s表示地心距,其中

在柱坐標(biāo)系下,只要確定了航天器每個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)(r,θ,z),航天器的空間運(yùn)動(dòng)軌跡便可以唯一確定.下面采用傅里葉級(jí)數(shù)的設(shè)計(jì)思想,分別對(duì)oxy平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)和z向的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行建模分析.

1.2 模型的建立

1.2.1 oxy平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)

在平面內(nèi)航天器的位置是軌道半徑r和極角θ的函數(shù),r和θ可以表示成兩種函數(shù)形式[6,8],一種是以θ為自變量,用θ來表示函數(shù)r;另一種是將r和θ都表示成關(guān)于時(shí)間t的函數(shù).這里選取第二種形式,航天器在oxy平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡模型如下:

式中,T表示從離軌點(diǎn)到入軌點(diǎn)之間的飛行時(shí)間, a0,an,bn和c0,cn,dn為待定系數(shù),nr,nθ∈N且nr≥2,nθ≥2.

假設(shè)平面內(nèi)推力方向角等于飛行路徑角,即

式中,γ表示飛行路徑角,當(dāng)推力方向與速度方向相同時(shí)b等于1,相反時(shí)b等于0.

對(duì)式(1)中的第二項(xiàng)進(jìn)行整理可得

將上式代入式(1)中的第一項(xiàng),整理可得

將式(3)代入式(5)可得

根據(jù)切向速度與徑向速度之間的關(guān)系,可知推力方向角的表達(dá)式為

將式(7)代入式(6),可得oxy平面內(nèi)軌跡約束方程為

1.2.2 平面外的運(yùn)動(dòng)

平面外的運(yùn)動(dòng)即oz軸方向的運(yùn)動(dòng),考慮到轉(zhuǎn)移軌跡具有一定的周期性,為了盡量減少優(yōu)化參數(shù),同時(shí)提高軌跡模型的逼近能力,這里選取極角θ作為自變量,將平面外的運(yùn)動(dòng)表示成關(guān)于余弦函數(shù)和高階多項(xiàng)式的復(fù)合函數(shù)的形式

式中,az,bz,cz,dz為多項(xiàng)式的系數(shù),q為大于等于3的正整數(shù).由于平面外的運(yùn)動(dòng)邊界條件已知,即初始和末端時(shí)刻航天器z向運(yùn)動(dòng)的位置和速度參數(shù)是確定的,所以可以直接求出式(9)中的多項(xiàng)式系數(shù).

將式(9)代入式(1)中的第三項(xiàng)得z軸方向推力加速度值為

由式(4)和式(10)可得總的推力加速度大小為

由于實(shí)際工程中,發(fā)動(dòng)機(jī)的推力是有限制的,所以在軌跡設(shè)計(jì)中還需要考慮如下約束方程

式中,Ta,max表示軌道機(jī)動(dòng)過程中允許的最大推力加速度值.

2 傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的求解

由于傅里葉級(jí)數(shù)各項(xiàng)系數(shù)的好壞直接影響著軌跡模型的逼近能力,因此求解滿足邊界條件和約束方程的最優(yōu)系數(shù)是本文設(shè)計(jì)方法的關(guān)鍵.

將式(2)和(9)代入式(8)和(12),可以得到一組僅與未知系數(shù)和時(shí)間變量相關(guān)的非線性代數(shù)方程

式中,j=0,···,m,k=0,···,n.式(13)和(14)即為各個(gè)時(shí)刻航天器的運(yùn)動(dòng)軌跡需要滿足的所有約束函數(shù).求解未知系數(shù)至少需要2(nr+nθ+1)個(gè)方程.為了得出約束方程,需要先對(duì)軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間進(jìn)行離散化,然后針對(duì)每一個(gè)離散點(diǎn)建立滿足約束函數(shù)的方程.

通常情況下,nr和nθ取10以內(nèi)的值即可達(dá)到較高的精度.對(duì)于帶推力約束的軌跡設(shè)計(jì)問題,nr和nθ的取值大于等于3才能保證推力在約束范圍以內(nèi),為了保證邊界點(diǎn)處的位置和速度精度,未知系數(shù)分兩部分求取.

2.1 由邊界條件直接確定的系數(shù)

令初始時(shí)刻t0=0,將初始時(shí)刻t0和末端時(shí)刻tf的狀態(tài)參數(shù)分別代入式(13),可得式(2)中函數(shù)r的可確定系數(shù)為

式中,λ1≥3,λ1為奇數(shù),λ2≥4,λ2為偶數(shù).r0和 rf分別為初始和末端時(shí)刻軌道半徑,和分別為初始和末端時(shí)刻徑向速度.

同理,將初始時(shí)刻t0和末端時(shí)刻tf的狀態(tài)參數(shù)分別代入式(13),可得式(2)中函數(shù)θ的可確定系數(shù)為

式中,τ1≥3,τ1為奇數(shù),τ2≥4,τ2為偶數(shù).θ0和 θf分別為初始和末端時(shí)刻的極角,0和分別為初始和末端時(shí)刻極角的變化率.

同理,將t0和tf時(shí)刻的狀態(tài)參數(shù)分別代入式(2)和式(9),整理得

z0和zf分別為初始時(shí)刻oz軸方向的位置,和分別為末端時(shí)刻oz軸方向的速度值.

圖2 極角的定義Fig.2 Definitions of angles

2.2 待優(yōu)化系數(shù)的求解

2.2.1 優(yōu)化算法和求解步驟

為了使計(jì)算過程盡量簡(jiǎn)單,本文選用序列二次規(guī)劃(Sequential quadratic programming,SQP)[10]的方法對(duì)待求系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解.在計(jì)算的過程中為了避免有多個(gè)極值點(diǎn)和陷入局部極小值的情況,采用了Lagrange乘子法,對(duì)Lagrange函數(shù)取二次逼近,將帶有非線性約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為二次規(guī)劃問題,通過求解指標(biāo)函數(shù)的最小值來獲得待求系數(shù)的最優(yōu)值.本文以燃料消耗作為優(yōu)化指標(biāo)函數(shù)

對(duì)于給定的軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間T和極角θf、傅里葉級(jí)數(shù)nr和nθ,以及離散點(diǎn)DP的個(gè)數(shù),待優(yōu)化多項(xiàng)式系數(shù)的計(jì)算步驟如下:

2)結(jié)合離散點(diǎn)DP的個(gè)數(shù),將軌道交會(huì)時(shí)間區(qū)間0～tf,離散成(DP?1)個(gè)區(qū)間,利用步驟1)中給出參考軌跡模型,計(jì)算出每個(gè)節(jié)點(diǎn)i處的狀態(tài)參數(shù)將這些狀態(tài)參數(shù)代入式(13)中,通過等式約束方程初步估算出多項(xiàng)式系數(shù)的猜測(cè)值;

3)在猜測(cè)值的基礎(chǔ)上,根據(jù)每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的約束方程,采用序列二次規(guī)劃的方法,優(yōu)化求解出滿足所有約束方程(13)和(14)的一組最優(yōu)解,所得的最優(yōu)解即為所求的待優(yōu)化多項(xiàng)式系數(shù).

2.2.2 待優(yōu)化系數(shù)的初值猜測(cè)

在用SQP方法求解待優(yōu)化系數(shù)時(shí),首先要給出一組初始猜測(cè)值.為了避免自主猜測(cè)的盲目性,本文采用初始值自主給定的方式,首先假設(shè)存在一條滿足等式(13)約束的參考軌跡,然后根據(jù)參考軌跡上的離散點(diǎn),擬合出初始猜測(cè)值.文獻(xiàn)[8,10]給出了逆多項(xiàng)式法和指數(shù)正弦函數(shù)兩種參考軌跡模型,但是文獻(xiàn)中的模型都是以極角θ作為自變量,而本文的模型是以時(shí)間為自變量,為了能夠簡(jiǎn)單、快速地得出初始參考軌跡,這里選用了立方多項(xiàng)式的方法.

r和θ的參考軌跡模型如下

式中,a,b,c,d和e,f,g,h均為常值,其值可由初始和末端邊界狀態(tài)參數(shù)直接得出.

2.3 待優(yōu)化系數(shù)的存在條件

待優(yōu)化系數(shù)的存在性,決定著是否存在滿足設(shè)計(jì)要求的軌跡曲線,在有推力約束軌跡的設(shè)計(jì)任務(wù)中,軌跡設(shè)計(jì)的難點(diǎn)是尋找滿足推力加速限制的曲線.對(duì)于本文的方法,影響軌跡曲線性能的因素,除了軌跡模型的逼近能力外,主要的影響因素就是轉(zhuǎn)移軌跡的圈數(shù)Nrev.本節(jié)將定性給出Nrev的確定方法.

對(duì)于給定的軌道交會(huì)任務(wù),交會(huì)時(shí)間是確定的,軌道交會(huì)時(shí)間T滿足以下約束

式中Pt0和Ptf分別表示初始和目標(biāo)軌道的周期(這里假設(shè)Pt0＜Ptf).

為了保證算法的收斂、避免軌跡發(fā)生奇異現(xiàn)象,由式(20)可得轉(zhuǎn)移軌跡的圈數(shù)Nrev取值范圍為

此外,為了保證在推力約束范圍以內(nèi)存在滿足邊界條件的最優(yōu)解,除了θf≥以外,還應(yīng)滿足以下條件

式中v0和vf表示離軌點(diǎn)和入軌點(diǎn)的速度大小,a0和af表示初始軌道和目標(biāo)軌道的半長(zhǎng)軸.

對(duì)于不同的軌道交會(huì)任務(wù),根據(jù)給定的設(shè)計(jì)參數(shù)Nrev可能存在多個(gè)可行值,由于Nrev的值越大,所需離散點(diǎn)的個(gè)數(shù)就越多,直接會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量增大,為了滿足快速性設(shè)計(jì)需求,在計(jì)算過程中選取Nrev的最小值作為最優(yōu)值.

3 數(shù)值分析

為了論證本文所設(shè)計(jì)的方法的可行性和有效性,選取如下算例進(jìn)行仿真驗(yàn)證.仿真電腦為Windows 7系統(tǒng),內(nèi)存(RAM)4GB,仿真平臺(tái)為Matlab2014a.

假設(shè)航天器初始軌道參數(shù)和目標(biāo)軌道參數(shù)如表1所示,表中的a、e、i、ω、?和f分別為軌道半長(zhǎng)軸、偏心率、軌道傾角、近地點(diǎn)幅角、升交點(diǎn)赤經(jīng)和真近點(diǎn)角.輸入?yún)?shù)nr=4,nθ=5, q取9,離散點(diǎn)數(shù)DP 取22,整個(gè)軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間為17449s,初始質(zhì)量為4000kg,發(fā)動(dòng)機(jī)的比沖為 3000m/s.根據(jù)式(21)和(23)計(jì)算可得1.9306＜Nrev＜2.8830,由于Nrev為正整數(shù),所以Nrev取2.為了便于計(jì)算,仿真中將參數(shù)進(jìn)行無量綱化,選取參考長(zhǎng)度為DU,1DU=6378.1km,參考時(shí)間為發(fā)動(dòng)機(jī)的推力限制設(shè)為Ta,max=0.014DU/TU2.

表1 輸入狀態(tài)參數(shù)Table 1 Input boundary parameters

由前文可知,本文方法中設(shè)計(jì)參數(shù)有q、離散點(diǎn)個(gè)數(shù)DP、nr和nθ,為了分析各設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)計(jì)算效率和精度的影響,這里結(jié)合仿真算例,在給定的設(shè)計(jì)參數(shù)基礎(chǔ)上,分別以某一設(shè)計(jì)參數(shù)作為變量進(jìn)行仿真.從仿真結(jié)果來看,初始和末端的速度、位置計(jì)算精度均在10?16量級(jí),由于篇幅有限,表2～4給出了部分仿真結(jié)果,其中?v表示燃料消耗,Tmax表示最大推力加速度值,?t表示仿真時(shí)間.

表2 q取不同值時(shí)的仿真結(jié)果Table 2 Results with different q

表3 DP取不同值時(shí)的仿真結(jié)果Table 3 Results with different DP

表4 nr,nθ取不同值時(shí)的仿真結(jié)果Table 4 Results with different nrand nθ

從表2～4中的數(shù)據(jù)分析可知,單獨(dú)改變q和DP的值對(duì)最大推力加速度值Tmax的影響不是很明顯.當(dāng)q較小或過大時(shí),軌跡模型的逼近能力較差,計(jì)算耗時(shí)長(zhǎng),而且精度下降.q直接影響的是軌跡模型的逼近能力,根據(jù)多項(xiàng)式的特性可知,q取7附近的值時(shí),式(9)的逼近能力最強(qiáng),所以q一般取7附近的值.對(duì)于轉(zhuǎn)移軌跡,當(dāng)每圈離散點(diǎn)的個(gè)數(shù)在10以上時(shí),可以達(dá)到較高的計(jì)算精度,對(duì)于本文的算例當(dāng)每圈離散點(diǎn)的個(gè)數(shù)超過60時(shí),計(jì)算精度基本保持不變,但是由于計(jì)算量增加,計(jì)算效率明顯下降.nr和nθ的取值對(duì)Tmax影響比較明顯,隨著nr、nθ的增大,Tmax和?v逐漸下降,并趨于穩(wěn)定,當(dāng)nr、nθ增大到一定值時(shí),計(jì)算精度趨于飽和,由于模型中多項(xiàng)式的系數(shù)增加,計(jì)算時(shí)間快速上升.同時(shí),由表2和表4對(duì)比分析可知,在軌跡設(shè)計(jì)過程中選定q,將nr和nθ作為優(yōu)化變量,更容易快速得出精確的計(jì)算結(jié)果.

令柱坐標(biāo)系下初始軌道面內(nèi)的x軸、y軸與地心慣性坐標(biāo)系在赤道面內(nèi)的兩個(gè)坐標(biāo)軸重合,算例的仿真結(jié)果如圖3～5所示.考慮到逆多項(xiàng)式設(shè)計(jì)法(Inverse polynomial,IP method)是形狀逼近法中最經(jīng)典的方法,為了直觀地分析本文方法(Proposed method)的合理性,仿真中同時(shí)給出了逆多項(xiàng)式設(shè)計(jì)法的仿真結(jié)果.

圖3為軌道交會(huì)過程中航天器的軌跡變化,從圖中可以看出采用本文的設(shè)計(jì)方法,在離軌第一圈時(shí)間內(nèi),軌跡變化較平緩,基本沿著初始軌道附近運(yùn)動(dòng),隨著時(shí)間的推進(jìn),z方向的運(yùn)動(dòng)逐漸變快,隨后平滑地切入到目標(biāo)軌道交會(huì)點(diǎn),進(jìn)入目標(biāo)軌道.仿真得到的離軌點(diǎn)狀態(tài)值為(1.1254, 1.2034E–18,2.0311E–18,–3.0251E–19,0.8376, 4.3610E–18),入軌點(diǎn)的狀態(tài)值為(1.4842,3.1415,–0.0518,–1.5261E–18,0.5501, 1.3892E–19),與初始給定的狀態(tài)值誤差均小于10?17量級(jí),表明所得軌跡曲線能很好地滿足邊界約束條件.

為了更直觀地分析軌跡變化情況,圖4給出了軌道交會(huì)過程中航天器地心距的變化曲線,從曲線的變化趨勢(shì)可以看出在軌跡末端實(shí)線和虛線完全重合,兩種方式都能保證航天器精確地到達(dá)交會(huì)點(diǎn),但是相比于逆多項(xiàng)式設(shè)計(jì)法,本文方法在離軌和入軌區(qū)間段軌跡變化更為平緩.

圖4 地心距的變化Fig.4 Geocentric distance profiles

圖5給出了推力加速的變化曲線,由于本文方法在算法中考慮了推力加速度的限制,推力加速度的最大值保持在給定的范圍以內(nèi).而逆多項(xiàng)式方法假定運(yùn)動(dòng)軌跡為某一特定的曲線,限制了模型的逼近能力,最大推力加速度值超出了允許的范圍.

圖5 推力加速度變化曲線Fig.5 Thrust acceleration profiles

考慮到高斯偽譜法是最優(yōu)控制方法中精度非常高的一種算法,最后采用高斯偽譜法對(duì)算例進(jìn)行了仿真.由表5中的數(shù)據(jù)可知本文的方法燃料消耗非常接近高斯偽譜法,說明本文方法燃料預(yù)估精度較高,而且明顯高于逆多項(xiàng)式方法.同時(shí)本文方法計(jì)算得出的Tmax值小于0.014,進(jìn)一步表明本文的方法具有滿足推力加速度約束的能力.從仿真時(shí)間來看,由于逆多項(xiàng)式是以解析解的形式給出的結(jié)果,計(jì)算時(shí)間最短,但是相比于逆多項(xiàng)式算法僅多了0.2789s;相比于高斯偽譜法,本文方法避免了反復(fù)迭代尋找初始協(xié)態(tài)變量的過程,計(jì)算時(shí)間減少了61.488s,僅為高斯偽譜法的0.67%,極大提高了計(jì)算效率.

表5 三種方法計(jì)算結(jié)果比較Table 5 Comparison of the results using three methods

4 結(jié)論

本文針對(duì)小推力航天器空間交會(huì)軌跡設(shè)計(jì)問題,提出了一種基于傅里葉級(jí)數(shù)的快速軌跡設(shè)計(jì)方法,并通過仿真驗(yàn)證了該方法的正確性和可行性.本文的方法主要有以下3個(gè)優(yōu)點(diǎn):1)模型簡(jiǎn)單、計(jì)算快速:通過形狀曲線擬合運(yùn)動(dòng)軌跡,克服了非線性運(yùn)動(dòng)方程難以求解的困難,直接將軌跡設(shè)計(jì)問題簡(jiǎn)化成了求解傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的問題,提高了計(jì)算效率;2)求解精度較高:避免了建模時(shí)假設(shè)運(yùn)動(dòng)軌跡成某一特定形狀曲線的限制,增強(qiáng)了形狀曲線的逼近能力,改善了求解精度;3)可用性好:設(shè)計(jì)過程中考慮了發(fā)動(dòng)機(jī)的推力限制,所得結(jié)果不僅能滿足邊界條件,而且還能滿足推力加速度約束條件.本文方法可為小推力航天器任務(wù)設(shè)計(jì)初步階段的交會(huì)軌跡設(shè)計(jì)和燃料預(yù)估提供一定的參考,或?yàn)楦M(jìn)一步的精確計(jì)算提供可靠的初始值.

本文方法旨在為任務(wù)設(shè)計(jì)初步階段小推力軌跡設(shè)計(jì)問題提供一種新思路,對(duì)于如何定量地選擇設(shè)計(jì)參數(shù)(q、nr、nθ和DP)、考慮攝動(dòng)干擾和常值小推力等軌跡設(shè)計(jì)問題,將在后續(xù)的工作中做進(jìn)一步的深入研究.

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曾 奎 哈爾濱工業(yè)大學(xué)衛(wèi)星技術(shù)研究所博士研究生.主要研究方向?yàn)樾⊥屏教炱鬈壽E設(shè)計(jì).

E-mail:zenghit@126.com

(ZENG Kui Ph.D.candidate at the Research Center of Satellite Technology,Harbin Institute of Technology. His research interest covers low-thrust spacecraft trajectory design.)

耿云海 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院教授.主要研究方向?yàn)轱w行器動(dòng)力學(xué)與控制.本文通信作者.

E-mail:gengyh@hit.edu.cn

(GENG Yun-HaiProfessor at the Astronautics School,Harbin Institute of Technology. His research interest covers astrodynamics and control.Corresponding author of this paper.)

陳炳龍 博士,上海微小衛(wèi)星工程中心工程師.主要研究方向?yàn)楹教炱鲃?dòng)力學(xué)與控制.

E-mail:chenbinglonghit@163.com

(CHEN Bing-Long Ph.D.,engineer at Shanghai Engineering Center for Micro-Satellite.His research interest covers spacecraft dynamic and control.)

Rapid Design of Low-thrust Rendezvous Trajectory with Fourier Series

ZENG Kui1GENG Yun-Hai1CHEN Bing-Long2

Trajectory design with low-thrust propulsion needs a method for quickly approximating the spacecraft′s trajectory during the preliminary stage phase.To address this requirement,a 3D rendezvous trajectory design model is proposed based on the shape-based theory,by which the trajectory design problem is simplified into solving the coefficients of Fourier series.In the process of solving coefficients,thrust constraint is considered,and the existence conditions of the coefficients are qualitatively analyzed.Finally,the correctness and feasibility of this approach are verified through a numerical example.Results show that the proposed method can not only satisfy the boundary conditions and thrust constraint,but also has a good computational efficiency.Its computation time is only 0.67%of that of the Gauss pseudospectral method.

Quickly approximating,low-thrust,trajectory design,thrust constraint,Fourier serious,spacecraft

曾奎,耿云海,陳炳龍.基于傅里葉級(jí)數(shù)的小推力航天器快速軌跡設(shè)計(jì).自動(dòng)化學(xué)報(bào),2016,42(11):1641?1647

Zeng Kui,Geng Yun-Hai,Chen Bing-Long.Rapid design of low-thrust rendezvous trajectory with Fourier series.Acta Automatica Sinica,2016,42(11):1641?1647

2015-12-21 錄用日期2016-04-28

Manuscript received December 21,2015;accepted April 28, 2016

國(guó)家自然科學(xué)基金(61473096)資助

Supported by National Natural Science Foundation of China (61473096)

本文責(zé)任編委崔平遠(yuǎn)

Recommended by Associate Editor CUI Ping-Yuan

1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)衛(wèi)星技術(shù)研究所 哈爾濱150001 2.上海微小衛(wèi)星工程中心上海201210

1.Research Centre of Satellite Technology,Harbin Institute of Technology,Harbin 150001 2.Shanghai Engineering Center for Micro-Satellite,Shanghai 201210

DOI 10.16383/j.aas.2016.c150859