劉小佑，劉桃花

(1.南華大學 數(shù)理學院，湖南 衡陽，421001)(2.中南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,湖南 長沙，410083)

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一類抽象分數(shù)階微分包含解的存在性

劉小佑1，劉桃花2

(1.南華大學 數(shù)理學院，湖南 衡陽，421001)(2.中南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,湖南 長沙，410083)

本文在Hilbert空間中討論了一類新的抽象分數(shù)階微分包含。我們給出了該類問題mild解的定義，利用分數(shù)階微積分，Clarke次微分和集值函數(shù)的不動點等相關理論，證明了該問題解的存在性。另外還證明了其解集是一個緊集。

分數(shù)階微分包含；存在性；解集；Clarke次微分

分數(shù)階微分方程在物理、力學、工程中具有廣泛的應用[1,2]。在最近十多年來，有大量作者研究了無窮維空間中的分數(shù)階微分方程，如文獻[3-5]考慮了分數(shù)階邊值問題解的存在性；文獻[6-10]就抽象分數(shù)階微分方程mild解的存在性進行了研究；而在文獻[11-13]中，討論了分數(shù)階發(fā)展微分方程或包含的控制理論。

最近，在文獻[8]和[11]中，研究了如下一類分數(shù)階半線性微分包含：

(1)

在本文中，設H是一個可分的Hilbert空間，I=[0,b](b>0)。

(2)

由Clarke次微分的性質[17]，我們知道?J(t,x(t))是取凸值的。但是它并不滿足文獻[8,11]中的對多值項F的假設要求，所以其結果并不能適用于問題(2)。

在本文中，我們將給出問題(2)mild解的定義，并利用分數(shù)階微積分,Clarke次微分和集值函數(shù)的不動點等相關理論證明該問題解的存在性以及其解集是空間C(I,H)中的一個緊子集。

1 預備知識與假設

在本文中，用‖·‖X表示Banach空間X中的范數(shù)，用X*表示空間X的對偶空間，用C(I,H)表示從I到H的所有連續(xù)函數(shù)組成的空間,賦予范數(shù)‖X‖C=supt∈I‖x(t)‖H。有關分數(shù)階積分、Riemann-Liouville型分數(shù)階導數(shù)、Caputo型分數(shù)階導數(shù)的定義，請參看文獻[1]。注意如果分數(shù)階微積分中被積函數(shù)f是一個取值于空間X中的抽象函數(shù)，那么其積分是Bochner意義下的積分。

設E是一個Banach空間，函數(shù)h:E→R是局部Lipschitz連續(xù)的。函數(shù)h在點x處沿方向v的廣義方向導數(shù)[17],記作h0(x,v)，定義為

函數(shù)h在點x處的廣義梯度(廣義次微分)，記為?h(x)，它是E*的一個子集，定義為?h(x)={ξ∈E*:?v∈E,h0(x,v)≥〈ξ,v〉}。

引理1.1(參看[17]) 設局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)h在點x附近有Lipschitz常微K。則有：(a)?h(x)是非空凸的、并且是空間E*中的弱星緊子集(weak*-compact)以及對任一ξ∈?h(x)有‖ξ‖E*≤K；(b) 對任一v∈E，有h0(x,v)=maxξ∈?h(x)〈ξ,v〉。

設X是一個Banach空間。稱集值函數(shù)F:X→2X是凸(閉)的，如果對任一x∈X，有F(x)是取凸(閉)值的。稱F是上半連續(xù)的，若對任一點x0∈X，F(xiàn)(x0)取非空閉集，且對空間X中的任意一個包含F(xiàn)(x0)的開集C，存在點x0的開領域N0滿足F(N0)?C。稱F是全連續(xù)的(completelycontinuous)，若對空間X中的任一有界集B，有F(B)是相對緊集的。

若F是取非空值的全連續(xù)集值函數(shù)，那么F是上半連續(xù)的當且僅當F具有閉圖像，即若有xn→x*，yn→y*和yn∈F(xn)，那么y*∈F(x*)。稱F具有不動點是指若存在x∈X滿足x∈F(x)。

在本文中，我們作如下假設。

H(A)：算子A是強連續(xù)算子半群T(t)，t≥0的無窮小生成元，存在常數(shù)MA≥1滿足supt∈[0,+)‖T(t)‖≤MA。對t>0，算子T(t)是緊的。

H(J)：函數(shù)J:I×H→R滿足：(1)對所有x∈H，函數(shù)t→J(t,x)可測；(2)對a.e.t∈I，函數(shù)x→J(t,x)是局部Lipschitz連續(xù)的；(3)對a.e.t∈I，任給x∈H和任給 η∈?J(t,x)，有‖η‖H≤a(t)+c‖x‖H，其中a∈L1/β(I,R+)，c>0和β∈(0,α)。

利用文獻[6,11]中所得到的結果，我們給出問題(2)mild解的定義。

定義1.1(參看文獻[6,7]) 函數(shù)x∈C(I,H)稱為是問題(2)的mild解，如果x(0)=x0且存在η∈L1(I,H)，其中對a.e.t∈I，有η(t)∈?J(t,x(t))滿足

(3)

sin(nπα)，θ∈(0,)，

其中ξα(θ)是定義在(0,)上的概率密度函數(shù)，即有

另外，可以證明

(4)

引理1.3(見[6,7]) 設H(A)滿足，那么算子Pα和Qα具有以下性質：

(1)對任意t≥0，Pα和Qα是線性有界算子，且有對任意x∈H有，

‖Pα(t)x‖H≤MA‖x‖H，

(2){Pα(t),t≥0}和{Qα(t),t≥0}是強連續(xù)的；

(3)對任意t>0，Pα(t)和Qα(t)是緊算子。

2 主要結果

用Su(x0)表示問題(2)的解集。在本節(jié)中，在假設條件H(A)和H(J)滿足的前提下，將證明問題(2)至少有一個mild解，即解集Su(x0)非空，以及Su(x0)是空間C(I,H)中的一個緊子集。首先，給出問題(2)的解的一個先驗估計。

引理2.1.設x∈C(I,H)是問題(2)的任意一個mild解，那么存在常微L滿足‖x‖C≤L。

證明：設x∈C(I,H)是問題(2)的任意一個mild解。由定義1.1知，存在η(t)∈?J(t,x(t))，a.e.t∈I且滿足

由引理1.3，H(J)(3)以及Hǒlder不等式，我們有

‖x(t)‖H≤MA‖x0‖H+

(5)

由上述不等式以及奇異型(singular-version)Gronwall不等式可知，存在常數(shù)L，滿足‖x‖C≤L。證畢。

由引理2.1，不妨假設對a.e.t∈I，任給x∈H以及任給η∈?J(t,x)有

‖η‖H≤κ(t)=a(t)+cL，

其中κ∈L1/β(I,R+)。

(6)

此時，由上式以及不等式(5)可知，對問題(2)的任何可能mild解x有

(7)

現(xiàn)在，我們按下式定義算子

N:L1/(1-β)(I,H)→2L1/β(I,H)，

N(v)={w∈L1/β(I,H):w(t)∈?J(t,v(t)),a.e.t∈I}，v∈L1/(1-β)(I,H)。

引理2.2(見文獻[16]中引理11) 若H(J)滿足，那么算子N具有性質：若在空間L1/(1-β)(I,H)中，vn→v，在空間L1/β(I,H)中，wnw，以及有wn∈N(vn)，那么有w∈N(v)。(這里“” 表示弱收斂)。

設κ由式(6)定義，引入集合

Xκ={f∈L1/β(I,H):‖f(t)‖H≤κ(t)a.e.t∈I}

(8)

以及由下式定義的算子

S:L1/β(I,H)→C(I,H)，

引理2.3.算子S:Xκ→C(I,H)是從空間w-Xκ到空間C(I,H)中的連續(xù)算子。(這里 w-Xκ表示Xκ是取的弱拓撲)。

該引理的證明類似于文獻[10]中的引理3.2的證明(或參看文獻[12]中引理3.2的證明)。下面我們給出本文的主要結果。

定理2.1.問題(2)至少有一個mild解，即解集Su(x0)非空。

證明：引入集值函數(shù)R:C(I,H)→2C(I,H)，其定義為對任給x∈C(I,H)有，

注意到C(I,H)?L1/(1-β)(I,H)，因此上述定義是合理的。另外顯然集值函數(shù)R的所有不動點都是問題(2)的mild解。接下來，將證明集值函數(shù)R滿足引理1.2所有的假設條件。

證明分成四個步驟進行。

步驟1.對每一個x∈C(I,H)，R(x)是取凸值的。

設y1，y2∈R(x)，那么存在η1，η2∈N(x)滿足

由引理1.1可知，?J(t,x(t))是取凸值的。因此對λ∈[0,1]，有λη1+(1-λ)η2∈N(x)。由于

s)α-1Qα(t-s)(λη1(s)+(1-λ)η2(s))ds，可知λy1+(1-λ)y2∈R(x)。另外由集值函數(shù)及次微分的性質可知R(x)≠φ。

步驟2.存在非空、有界、閉凸集D?C(I,H)滿足R(D)?D。

步驟3.R(D)?C(I,H)是等度連續(xù)的并且對任意t∈I。W(t)={y(t):y∈R(D)}是空間H中的相對緊集。

因為對任給x∈D和任給η∈N(x)，由式(6)可以推出‖η‖L1/β(I,H)具有界‖κ‖L1/β(I)。由文獻[10]中引理3.2的證明過程可知，步驟3成立。

步驟4.R具有閉圖像。

設在空間C(I,H)中，xn→x*，yn→y*并且有yn∈R(xn)，n≥1。

需要證明 y*∈R(x*)。由于yn∈R(xn)，可知存在ηn∈N(xn)滿足

(9)

ηnη*，η*∈L1/β(I,H)。

(10)

此時由式(9)，式(10)和引理2.3可知有

(11)

注意到在空間C(I,H)中，xn→x*以及ηn∈N(xn)。由引理2.2和式(10)，可以推出η*∈N(x*)。至此證明了y*∈R(x*)。

由以上步驟1到步驟4以及Arzelà-Ascoli定理，可知集值函數(shù)R是完全連續(xù)的，并且它是上半連續(xù)的、取凸閉值的。至此證明了R滿足引理1.2的所有假設條件，因此R具有不動點。該不動點就是問題(2)的mild解。證畢。

定理2.2.問題(2)的解集Su(x0)是空間C(I,H)中的一個緊子集。

由式(6)知，可取序列ηn(n≥1)的子序列ηnk(k≥1)，使其滿足下式

ηnk。

(12)

記

那么由引理2.3，我們有

(13)

3 結論

在本文中，我們利用分數(shù)階微積分、集值函數(shù)的不動點以及Clark次微分等相關理論討論了一類定義在Hilbert空間上的抽象分數(shù)階微分包含解的存在性及其解集的一個拓撲性質。本文中，所要求的假設條件都是非常普通的，有關問題(2)的控制理論研究將是我們以后要做的工作。

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Existence results for a new class of abstract fractional differential inclusions

LIU Xiaoyou1,LIU Taohua2

(1.School of Mathematics and Physics,University of South China,Hengyang 421001,China；2.School of Mathematics and Statistics,Central South University,Changsha 410083,China)

In this paper,we consider a new class of abstract fractional differential inclusions in a Hilbert space.We first introduce the concept of mild solutions for this problem.Then the existence results are obtained by using techniques from fractional calculus,fixed points of multivalued maps and the theory of Clarke subdifferential.Finally,we prove that the solution set of the problem is a compact set.

fractional differential inclusions;existence;solution set;Clarke subdifferential

1672-7010(2016)03-0010-06

2016-04-08

國家自然科學基金青年項目(11501284);湖南省自然科學基金青年項目(2015JJ6095)

劉小佑(1983-)，男，湖南耒陽人，副教授，博士,從事抽象算子方程、微分包含與控制理論研究通信作者：劉桃花(1987-)，女，湖南邵陽人，在讀博士生，從事數(shù)據(jù)挖掘、智能計算研究;E-mail:27132033@qq.coom

O175.1

A