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        論述高中數(shù)學(xué)數(shù)列學(xué)習(xí)中換元法的應(yīng)用

        2016-12-16 08:19:59胡遠(yuǎn)晨
        數(shù)理化解題研究 2016年28期
        關(guān)鍵詞:解題

        胡遠(yuǎn)晨●

        湖南省長沙市一中(410000)

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        論述高中數(shù)學(xué)數(shù)列學(xué)習(xí)中換元法的應(yīng)用

        胡遠(yuǎn)晨●

        湖南省長沙市一中(410000)

        換元法在高中數(shù)學(xué)數(shù)列的學(xué)習(xí)中占有很重要的地位,數(shù)列又是我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn),就數(shù)列本身而言,它與其它章節(jié)的知識點(diǎn)又具有十分密切的聯(lián)系,是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種特殊的函數(shù),也就成為我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一.換元法的使用可以使問題變得標(biāo)準(zhǔn)化、簡單化,為我們解決數(shù)列問題提供極大的方便.

        高中數(shù)學(xué);數(shù)列;換元法;應(yīng)用

        換元法又可以稱為輔助元素法或變量代換法,它通過構(gòu)造元和設(shè)元、等量替換等方法引入新的變量將問題中分散的條件聯(lián)系起來,暗含的條件顯露出來,轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式,使問題變得標(biāo)準(zhǔn)化、簡單化,變得容易處理.

        換元法的種類有:等參量換元、非等參量還原.使用換元法時(shí),一定要注意,簡便,準(zhǔn)確的原則,進(jìn)行有利運(yùn)算,還要注意的是,換元后所選取的新變量的范圍.必須在新取值范圍對應(yīng)原數(shù)值變量的取值范圍.換元法可以解決不等式、方程、函數(shù)、數(shù)列核三角函數(shù)等問題,同學(xué)們通過使用換元法解決數(shù)學(xué)問題,一方面可以提高解題的效率,另一方面可以培養(yǎng)我們解題的能力.本文就換元法在數(shù)列學(xué)習(xí)中的應(yīng)用進(jìn)行簡單的論述.

        1.換元法求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式

        通常數(shù)列{an}的遞推式為pan+1+qan+ran-1+s=0(p、q、r≠0),在解題時(shí),(1)p+q+r=0的情況,通過變形用換元法易求得該數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)p+q+r≠0的情況,①當(dāng)s=0時(shí),在原遞推式的兩邊同時(shí)加上λan進(jìn)行求解,②當(dāng)s≠0時(shí),在原遞推式的兩邊同時(shí)加上λan+μ,然后再經(jīng)過各種變形整理求得該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

        例1 解方程(x2-2x)2-3(x2-2x)-4=0.

        解 設(shè)x2-2x=y,則原方程變?yōu)閥2-3y-4=0,(y-4)(y+1)=0,y-4=0或y+1=0,y1=4,y2=-1.

        當(dāng)y=-1時(shí),x2-2x=-1,解得x3=x4=1.

        2.整體換元思想在數(shù)列中的應(yīng)用

        整體換元思想在數(shù)列中結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)對于題目中給出條件較少的,或者無法直接進(jìn)行求解的,可以利用換元法將局部構(gòu)造成便于求解的式子或?qū)⒁蟮氖阶佑妙}目中已知的式子整體表示出來對題目進(jìn)行解答.還有一種就是直接對前n項(xiàng)的和進(jìn)行整體換元,例如將a1+a2+a3+……+an設(shè)為x后再對題目進(jìn)行解答.在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,整體換元的思維解題能力十分重要,通過整體換元思想可以降低題目的分析難度,大大縮短解題所用的時(shí)間,使同學(xué)們在整個(gè)題的思維進(jìn)行分析和把握,思維能力更加靈活.

        例2 已知等差數(shù)列{an} 的前12項(xiàng)和為354,前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比為27∶32,求公差d.

        所以S奇-S偶=6d=30,解的d=5.

        3.用結(jié)論換元法求三角數(shù)列的和與積

        (1)用結(jié)論換元法求三角數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的基本步驟:首先將結(jié)果設(shè)為Sn,然后將S0和Sn-Sn-1求出來,再把Sn-Sn-1中的n分別令為1,2, 3,…,n,最后將上一步所有式子加起來即為所求的三角數(shù)列前n項(xiàng)的和.

        (2)用結(jié)論換元法求三角數(shù)列前n項(xiàng)積的公式的基本步驟:首先將結(jié)果設(shè)為Sn,然后將Sn/Sn-1求出來,再把Sn/Sn-1中的n分別令為1,2, 3,…,n,最后將上一步所有式子乘起來即為所求的三角數(shù)列前n項(xiàng)的積.

        例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2,某三角形三邊之比為a2∶a3∶a4,求該三角形最大角.

        綜上所述,換元法在解一些復(fù)雜的因式分解問題,即對結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的多項(xiàng)式,若把其中某些部分看成一個(gè)整體,用新字母代替(即換元),則能使復(fù)雜的問題簡單化,明朗化,在減少多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù),降低多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度等方面有獨(dú)到作用,數(shù)列學(xué)習(xí)階梯比較復(fù)雜,使用換元法能夠使數(shù)列解法更加簡單,解題便捷.

        [1] 張煥明.用結(jié)論換元法求三角數(shù)列的和[J].浙江安吉中學(xué),2005(6)

        [2] 陳健.還原法求一類遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式[J].福建莆田第五中學(xué),2004

        [3] 戴元濤.整體換元思維在數(shù)列中的應(yīng)用[J].深證市坪山高級中學(xué),2010(3)

        G632

        B

        1008-0333(2016)28-0026-01

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