朱小扣●

安徽省無(wú)為縣牛埠中學(xué)(238351)

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解決立體幾何的三種方法

朱小扣●

安徽省無(wú)為縣牛埠中學(xué)(238351)

立體幾何是高考的重要考點(diǎn)之一，筆者現(xiàn)對(duì)其解答方法做如下探討：

一、顛倒法

解 根據(jù)題設(shè)條件，可以將圖1顛倒成圖2.首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿(mǎn)足的方程，據(jù)此再判斷是否存在的兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩點(diǎn)距離的和為定值.

按題意有A(-2，0)，B(2，0)，C(2，4a)，D(-2，4a)

直線(xiàn)OF的方程為：

2ax+(2k-1)y=0

①

直線(xiàn)GE的方程為：

-a(2k-1)x+y-2a=0

②

從①，②消去參數(shù)k，得點(diǎn)P(x,y)坐標(biāo)滿(mǎn)足方程2a2x2+y2-2ay=0后面過(guò)程略.

筆者參加過(guò)2003年安徽高考，發(fā)現(xiàn)原圖是圖1，而后的各種參考資料都直接把圖2放在題目的后面，這就會(huì)讓學(xué)生認(rèn)為這題很簡(jiǎn)單，其實(shí)，學(xué)生要用圖1做的話(huà)難度會(huì)加大，又如例二.

例2 (2013年安徽卷理科19題)

如圖3，圓錐頂點(diǎn)為P.底面圓心為O，其母線(xiàn)與底面所成的角為22.5°.AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60°，

(Ⅰ)證明：平面PAB與平面PCD的交線(xiàn)平行于底面；

(Ⅱ)求cos∠COD.

解析 可以將圖3顛倒成圖4，這個(gè)問(wèn)題就很簡(jiǎn)單.我考試后也找學(xué)生了解過(guò)，做不出來(lái)主要是倒的圓錐在平時(shí)考試中沒(méi)見(jiàn)過(guò).通過(guò)顛倒法就可以讓學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)將題目進(jìn)行化歸從而找到解答的方法.

評(píng)析 從2003到2013年，真是十年相似兩茫茫.筆者估計(jì)以后的高考也會(huì)出類(lèi)似的考題.雖然顛倒法簡(jiǎn)單，但是想到的卻不多，真是大道無(wú)門(mén)??！顛來(lái)倒去是本身，只有充分理解事物的本質(zhì)，才能運(yùn)用好顛倒法.

二、補(bǔ)形法

例3 (2013年全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷理科7題)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為( )

解

將其補(bǔ)出正方形框架(虛線(xiàn))，則它在zOx平面的投影為

，故答案A.又如下例：

例4 (2012年安徽“江南十?！崩砜?9題)如圖6，在多面體ABCDEFG中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面ABG,平面ADF,平面CDE都與平面ABCD垂直，且ΔABG,ΔADF,ΔCDE都是正三角形.

(Ⅰ)求證：AC//EF

(Ⅱ)求多面體ABCDEFG的體積

只要將原圖補(bǔ)成長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1如圖7就可以秒殺這一題

解 依題意可將原圖補(bǔ)成長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1,可得，E,F,G是所在棱的中點(diǎn).

(1)證：連接A1C1,∵ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，E，F(xiàn)分別是C1D1,A1D1的中點(diǎn),

∴EF//A1C1.

又∵A1C1//AC,∴EF//AC.

V多面體ABCDEFG=V長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1

-V三棱柱BB1G-CC1E-V三棱錐D-D1EF-V三棱錐A-A1C1F

此題給的標(biāo)準(zhǔn)答案雖然不是用補(bǔ)形法做的，但是命題者應(yīng)該是從長(zhǎng)方體的角度構(gòu)建的，補(bǔ)形之后這題一目了然.

評(píng)析 通過(guò)補(bǔ)形法可以彌補(bǔ)學(xué)生空間想象能力的不足，讓學(xué)生充分理解局部和整體的聯(lián)系，必須見(jiàn)微知著，做到窺一斑而知全豹,這樣才能更好理解題目，才能更好的運(yùn)用補(bǔ)形法.

三、旋轉(zhuǎn)法

例5 點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),若PA=1,PB=2,PC=3,求正方形ABCD的邊長(zhǎng).

解析 只要將ΔBPC繞著B(niǎo)點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900到ΔBP′A就可以做出來(lái)了，這是在平面的應(yīng)用，在空間中舉例如下

例6 一個(gè)三棱錐棱長(zhǎng)分別為1，1，1，1，1，a.求a的范圍.

通過(guò)旋轉(zhuǎn)這一題就完美的解決了，又如例7.

例7 (2010年遼寧卷理科12)有四根長(zhǎng)都為2的直鐵條，若再選兩根長(zhǎng)都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是( )

用這種方法還可以解決如下題：

評(píng)析 通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以達(dá)到動(dòng)態(tài)與靜態(tài)的結(jié)合，平面與立體的結(jié)合.所謂的一靜一動(dòng)謂之道，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中我們才能更好發(fā)覺(jué)題目的內(nèi)涵，才能更好的認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)與規(guī)律.

遇到立體幾何問(wèn)題時(shí)，原則上可以用上面三種方法解決.三種方法的運(yùn)用能很好的鍛煉學(xué)生的思維.與此同樣重要的是，要能靈活運(yùn)用，不能刻板，知識(shí)多是交織的，所以有時(shí)要用多種方法結(jié)合才能解決，正所謂：“知之者不如好之者，好之者不如樂(lè)之者”.要想學(xué)好數(shù)學(xué)我們還是要做一名樂(lè)之者.

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