四川省資陽市外國語實驗學校 (641300)

蔡勇全●

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問診解三角形問題中的幾類高頻錯解

四川省資陽市外國語實驗學校 (641300)

蔡勇全●

解三角形是高中數(shù)學教學中的重點和難點，也是歷年高考的必考點和命題熱點，但面對利用正余弦定理或三角函數(shù)關(guān)系所產(chǎn)生的各類解，學生往往缺乏必要的甄別意識和區(qū)分技能，從而造成“會而不對，對而不全”的現(xiàn)象時有發(fā)生．本文結(jié)合實例辨析解三角形問題中的幾類高頻錯解，供大家參考．

一、忽視三角形三內(nèi)角關(guān)系而致錯

(Ⅰ)求sinB的值；

(Ⅱ)求sin(2B+30°)的值．

評注 “任意三角形中三內(nèi)角之和必為180°”是求解所有三角形問題時都應(yīng)重視的一個隱含條件，也往往是解決此類問題的關(guān)鍵．

二、忽視三角形角之間的內(nèi)在制約而致錯

例2 在△ABC中，c=4,C=60°，求△ABC周長的最大值．

評注 三角形角之間的內(nèi)在制約的前提是上文提到的內(nèi)角和定理，在此基礎(chǔ)上，如果已知某一個角，那么余下兩角之和必為定值，這就形成了一種制約關(guān)系．

三、忽視對解的個數(shù)的判斷而致錯

辨析 本題的根本錯因在于忽視了對三角形解的個數(shù)的判斷，因為已知兩邊長與其中一邊的對角解三角形可能出現(xiàn)兩解、一解、無解三種情況，因此在利用正弦定理解三角形時要根據(jù)解的個數(shù)進行判斷以避免出現(xiàn)錯誤．

評注 對三角形解的個數(shù)的判斷往往是建立在使用正余弦定理的基礎(chǔ)上，借助邊邊關(guān)系影響角角關(guān)系或角角關(guān)系影響邊邊關(guān)系來確定解的個數(shù)．

四、忽視三邊關(guān)系定理而致錯

例4 已知2a+1，a，2a-1是鈍角三角形的三邊長度，求a的取值范圍．

評注 三邊關(guān)系定理“任意三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”是解三角形問題的隱含條件，也是求解本題的關(guān)鍵．

變式 已知銳角三角形的三邊長分別為 1、3、a，求a的取值范圍．

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五、忽視三角形的內(nèi)角范圍而致錯

例5 在△ABC中，已知sin2A=sin2B，試判斷此三角形的形狀．

錯解 因為sin2A=sin2B，所以2A=2B,A=B，△ABC為等腰三角形．

辨析 上面由“sin2A=sin2B”到“2A=2B”不是等價轉(zhuǎn)化，因未考慮三角形中角的范圍而致錯．

評注 任意三角形中，正是因為三內(nèi)角之和等于180°，所以才會有三個內(nèi)角均介于0°～180°之間這樣的隱含信息．

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