四川省資陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (641300)
蔡勇全●
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問診解三角形問題中的幾類高頻錯(cuò)解
四川省資陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (641300)
蔡勇全●
解三角形是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn),也是歷年高考的必考點(diǎn)和命題熱點(diǎn),但面對(duì)利用正余弦定理或三角函數(shù)關(guān)系所產(chǎn)生的各類解,學(xué)生往往缺乏必要的甄別意識(shí)和區(qū)分技能,從而造成“會(huì)而不對(duì),對(duì)而不全”的現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生.本文結(jié)合實(shí)例辨析解三角形問題中的幾類高頻錯(cuò)解,供大家參考.
(Ⅰ)求sinB的值;
(Ⅱ)求sin(2B+30°)的值.
評(píng)注 “任意三角形中三內(nèi)角之和必為180°”是求解所有三角形問題時(shí)都應(yīng)重視的一個(gè)隱含條件,也往往是解決此類問題的關(guān)鍵.
例2 在△ABC中,c=4,C=60°,求△ABC周長(zhǎng)的最大值.
評(píng)注 三角形角之間的內(nèi)在制約的前提是上文提到的內(nèi)角和定理,在此基礎(chǔ)上,如果已知某一個(gè)角,那么余下兩角之和必為定值,這就形成了一種制約關(guān)系.
辨析 本題的根本錯(cuò)因在于忽視了對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷,因?yàn)橐阎獌蛇呴L(zhǎng)與其中一邊的對(duì)角解三角形可能出現(xiàn)兩解、一解、無(wú)解三種情況,因此在利用正弦定理解三角形時(shí)要根據(jù)解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷以避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.
評(píng)注 對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷往往是建立在使用正余弦定理的基礎(chǔ)上,借助邊邊關(guān)系影響角角關(guān)系或角角關(guān)系影響邊邊關(guān)系來確定解的個(gè)數(shù).
例4 已知2a+1,a,2a-1是鈍角三角形的三邊長(zhǎng)度,求a的取值范圍.
評(píng)注 三邊關(guān)系定理“任意三角形中,兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”是解三角形問題的隱含條件,也是求解本題的關(guān)鍵.
變式 已知銳角三角形的三邊長(zhǎng)分別為 1、3、a,求a的取值范圍.
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例5 在△ABC中,已知sin2A=sin2B,試判斷此三角形的形狀.
錯(cuò)解 因?yàn)閟in2A=sin2B,所以2A=2B,A=B,△ABC為等腰三角形.
辨析 上面由“sin2A=sin2B”到“2A=2B”不是等價(jià)轉(zhuǎn)化,因未考慮三角形中角的范圍而致錯(cuò).
評(píng)注 任意三角形中,正是因?yàn)槿齼?nèi)角之和等于180°,所以才會(huì)有三個(gè)內(nèi)角均介于0°~180°之間這樣的隱含信息.
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1008-0333(2016)22-0021-03