甘肅省積石山縣積石中學(xué)(731700)

韓義成●

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含有函數(shù)符號(hào)“f(x)”有關(guān)問題解法淺談

甘肅省積石山縣積石中學(xué)(731700)

韓義成●

函數(shù)概念比較抽象，學(xué)生對(duì)解有關(guān)函數(shù)記號(hào)f(x)的問題感到困難.學(xué)好這部分知識(shí)，能加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，更好地掌握函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生靈活性，提高解題能力，對(duì)優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維素質(zhì)具有重要意義.現(xiàn)將常見解法及意義談以下看法.

一、求表達(dá)式

1.換元法

即用中間變量u表示原自變量x的代數(shù)式，從而求出f(x)，這也是證某些公式或等式常用的方法，此解法培養(yǎng)學(xué)生的靈活性及變形能力.

2.湊合法

在已知f(g(x))=h(x)的條件下，把h(x)并湊成以g(x)表示的代數(shù)式，再利用代換即可求f(x).此解法簡潔，還能進(jìn)一步復(fù)習(xí)代換法.

∴f(x)=x(x2-3)=x3-3x(|x|≥2).

3.待定系數(shù)法

先確定函數(shù)類型，設(shè)定函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件，定出關(guān)系式中的未知系數(shù).

例3 已知f(x)是二次函數(shù)，且f(x+1)+f(x-1)=x2+2x+4,求f(x).

解 設(shè)f(x)=ax2+bx+c，則f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2(a+c)=x2+2x+4.

4.利用函數(shù)性質(zhì)法

主要利用函數(shù)的奇偶性,求分段函數(shù)的解析式.

例4 已知y=f(x)為奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=lg(x+1),求f(x).

解 ∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故應(yīng)求x<0時(shí)的表達(dá)式.

∵-x>0, ∴f(-x)=lg(-x+1)=lg(1-x).

∵f(x)為奇函數(shù)，

∴l(xiāng)g(1-x)=f(-x)=-f(x), ∴當(dāng)x<0時(shí)f(x)=-lg(1-x).

5.賦值法

給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出f(x)的表達(dá)式

例6 設(shè)f(x)的定義域?yàn)樽匀粩?shù)集，且滿足條件f(x+1)=f(x)+f(y)+xy,及f(1)=1,求f(x).

解 ∵f(x)的定義域?yàn)镹，取y=1,則有f(x+1)=f(x)+x+1.

又f(1)=1,f(2)=f(1)+2,f(3)=f(2)+3，…，f(n)=f(n-1)+n，

以上各式相加，有

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二、利用函數(shù)性質(zhì)，解f(x)的有關(guān)問題

1.判斷函數(shù)的奇偶性

例7 已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y都成立，且f(0)≠0,求證：f(x)為偶函數(shù).

證明 令x=0, 則已知等式變?yōu)?/p>

f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)①.

在①中令y=0,則2f(0)=2[f(0)]2.

∵f(0)≠0, ∴f(0)=1.

∴f(y)+f(-y)=2f(y), ∴f(-y)=f(y), ∴f(x)為偶函數(shù).

2.確定參數(shù)的取值范圍

例8 奇函數(shù)f(x)在定義域(-1，1)內(nèi)遞減，求滿足f(1-m)+f(1-m2)<0的實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解 由f(1-m)+f(1-m2)<0得f(1-m)<-f(1-m2).∵f(x)為函數(shù)，∴f(1-m)

又∵f(x)在(-1，1)內(nèi)遞減，

3.解不定式的有關(guān)題目

例9 如果f(x)=ax2+bx+c(a>0)對(duì)任意的實(shí)數(shù)t有f(2+t)=f(2-t),比較f(1)、f(2)、f(4)的大小.

解 對(duì)任意t有f(2+t)=f(2-t), ∴x=2為拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸.

又∵其開口向上,

∴f(2)最小，f(1)=f(3).

∵在[2，+∞)上f(x)為增函數(shù),

∴f(3)

∴f(2)

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