甘肅省積石山縣積石中學(731700)

韓義成●

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含有函數符號“f(x)”有關問題解法淺談

甘肅省積石山縣積石中學(731700)

韓義成●

函數概念比較抽象，學生對解有關函數記號f(x)的問題感到困難.學好這部分知識，能加深學生對函數概念的理解，更好地掌握函數的性質，同時培養(yǎng)學生靈活性，提高解題能力，對優(yōu)化學生數學思維素質具有重要意義.現將常見解法及意義談以下看法.

一、求表達式

1.換元法

即用中間變量u表示原自變量x的代數式，從而求出f(x)，這也是證某些公式或等式常用的方法，此解法培養(yǎng)學生的靈活性及變形能力.

2.湊合法

在已知f(g(x))=h(x)的條件下，把h(x)并湊成以g(x)表示的代數式，再利用代換即可求f(x).此解法簡潔，還能進一步復習代換法.

∴f(x)=x(x2-3)=x3-3x(|x|≥2).

3.待定系數法

先確定函數類型，設定函數關系式，再由已知條件，定出關系式中的未知系數.

例3 已知f(x)是二次函數，且f(x+1)+f(x-1)=x2+2x+4,求f(x).

解 設f(x)=ax2+bx+c，則f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2(a+c)=x2+2x+4.

4.利用函數性質法

主要利用函數的奇偶性,求分段函數的解析式.

例4 已知y=f(x)為奇函數,當x>0時,f(x)=lg(x+1),求f(x).

解 ∵f(x)為奇函數，∴f(x)的定義域關于原點對稱，故應求x<0時的表達式.

∵-x>0, ∴f(-x)=lg(-x+1)=lg(1-x).

∵f(x)為奇函數，

∴l(xiāng)g(1-x)=f(-x)=-f(x), ∴當x<0時f(x)=-lg(1-x).

5.賦值法

給自變量取特殊值，從而發(fā)現規(guī)律，求出f(x)的表達式

例6 設f(x)的定義域為自然數集，且滿足條件f(x+1)=f(x)+f(y)+xy,及f(1)=1,求f(x).

解 ∵f(x)的定義域為N，取y=1,則有f(x+1)=f(x)+x+1.

又f(1)=1,f(2)=f(1)+2,f(3)=f(2)+3，…，f(n)=f(n-1)+n，

以上各式相加，有

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二、利用函數性質，解f(x)的有關問題

1.判斷函數的奇偶性

例7 已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),對一切實數x、y都成立，且f(0)≠0,求證：f(x)為偶函數.

證明 令x=0, 則已知等式變?yōu)?/p>

f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)①.

在①中令y=0,則2f(0)=2[f(0)]2.

∵f(0)≠0, ∴f(0)=1.

∴f(y)+f(-y)=2f(y), ∴f(-y)=f(y), ∴f(x)為偶函數.

2.確定參數的取值范圍

例8 奇函數f(x)在定義域(-1，1)內遞減，求滿足f(1-m)+f(1-m2)<0的實數m的取值范圍.

解 由f(1-m)+f(1-m2)<0得f(1-m)<-f(1-m2).∵f(x)為函數，∴f(1-m)

又∵f(x)在(-1，1)內遞減，

3.解不定式的有關題目

例9 如果f(x)=ax2+bx+c(a>0)對任意的實數t有f(2+t)=f(2-t),比較f(1)、f(2)、f(4)的大小.

解 對任意t有f(2+t)=f(2-t), ∴x=2為拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸.

又∵其開口向上,

∴f(2)最小，f(1)=f(3).

∵在[2，+∞)上f(x)為增函數,

∴f(3)

∴f(2)

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1008-0333(2016)22-0005-02