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        一道課本練習題的多視角求解

        2016-12-16 02:34:40湖北省咸豐縣第一中學445600
        數理化解題研究 2016年31期
        關鍵詞:咸豐縣教參過點

        湖北省咸豐縣第一中學(445600)

        江 維●

        ?

        一道課本練習題的多視角求解

        湖北省咸豐縣第一中學(445600)

        江 維●

        人教A版選修2-1第二章第一節(jié)練習第3題:已知點C的坐標是(2,2),過點C的直線CA與x軸交于點A,過點C且與直線CA垂直的直線CB與y軸交于點B.設點M是線段AB的中點,求點M的軌跡方程.

        教參中的解法如下:

        解 設點A,M的坐標分別為(t,0)(x,y).

        令x=0,得y=4-t,即點B的坐標為(0,4-t).

        即x+y-2=0.①

        (2)當t=2時,可得點A,B的坐標分別為(2,0),(0,2),由此得點M的坐標為(1,1),它仍然適合方程①.

        由(1)(2)可知,方程x+y-2=0是點M的軌跡方程,它表示一條直線.

        視角一:參數法

        題目中有三個動點,教參解法以點A的橫坐標為參數,把點M的橫縱坐標聯系起來從而得到點M的軌跡方程.進而思考:點A,B,M的坐標都由直線CA的位置決定,不妨把M的橫縱坐標用CA的斜率表示,再消去參數即得點M的軌跡方程.

        消去k得x+y-2=0.

        (2)當直線CA無斜率時,可得點A,B的坐標分別為(2,0),(0,2),由此得點M的坐標為(1,1),它仍然適合方程x+y-2=0.

        (3)當直線CA斜率為0時,可得點A,B的坐標分別為(0,2),(2,0),由此得點M的坐標為(1,1),它仍然適合方程x+y-2=0.

        綜上所述,方程x+y-2=0是點M的軌跡方程,它表示一條直線.

        視角二:相關點法

        即然點M的坐標與點A,B有關,那么點A,B也可用點M的坐標表示,再由直線CA垂直于直線CB即可求出點M的軌跡方程.

        即得點M的軌跡方程:x+y-2=0.

        視角三:幾何法

        注意到∠BOA,∠BCA均為直角,所以A,C,B,O四點共圓,線段AB為直徑,點M為圓心,所以MO=MC,則可迅速判斷點M的軌跡.

        解 (1)當直線不過原點時,∠BOA,∠BCA均為直角,所以A,C,B,O四點共圓.

        又線段AB為直徑,點M為圓心,所以MO=MC.

        (2)當有一條直線過原點時,點M為一直角三角形斜邊的中點,仍有MO=MC.

        故點M的軌跡為線段OC的垂直平分線,其方程為x+y-2=0 .

        我們可以看到,隨著思維的深入,視角的變化,解題方法越來越簡單.數學解題的思維具有方向性、靈活性與持續(xù)性,在求解的過程中,選擇合適的視角,持續(xù)不斷的思維,使問題在不同的角度得以解決,數學思維能力也將不斷提高.

        G632

        B

        1008-0333(2016)29-0050-01

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