云南省綏江縣第一中學(xué)(657700)

余永波●

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多角度探究圓的方程

云南省綏江縣第一中學(xué)(657700)

余永波●

圓的方程是高考的考查重點(diǎn).由于圓的特點(diǎn)，其性質(zhì)具有完美性，所以求解圓的問題一般都有多種途徑.本文通過幾道典型例題從多種角度一一探究圓的方程的求解思路.

例1 △ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),則其外接圓的方程為____.

解法1 (標(biāo)準(zhǔn)方程法):設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則

解法2 (一般方程法):設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則把點(diǎn)A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)代入上述方程可得方程組(略),解方程組,解得D=6,E=-2,F=-15,故所求圓的方程為x2+y2+6x-2y-15=0.

點(diǎn)評(píng) 求圓的方程常用“待定系數(shù)法”,大致步驟是:①根據(jù)題意,選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；②根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組；③解出a、b、r或D、E、F，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.若從已知條件中能較容易地求出圓心和半徑,則可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若已知條件牽涉到圓過幾個(gè)點(diǎn),常用圓的一般形式．

點(diǎn)評(píng) 利用圓的幾何性質(zhì)求圓的方程時(shí),常用到圓的三個(gè)性質(zhì): (1)圓心在任意一弦的垂直平分線上；(2)圓心在過切點(diǎn)且垂直切線的直線上；(3)兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線.

例2 經(jīng)過兩點(diǎn)A(2,-3),B(-2,-5)且圓心在直線x-2y-3=0上的圓的方程為____.

解法1 (標(biāo)準(zhǔn)方程法):設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則

點(diǎn)評(píng) 解題關(guān)鍵合理運(yùn)用圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離是半徑這一幾何性質(zhì),建立方程求得參變量.本題的閃光點(diǎn)是運(yùn)用點(diǎn)在一條直線上時(shí),將點(diǎn)用一個(gè)參變量表示,這是一種簡(jiǎn)化運(yùn)算的好方法,應(yīng)重點(diǎn)掌握并應(yīng)用于解題之中.

點(diǎn)評(píng) 本題解題關(guān)鍵是運(yùn)用圓的任意弦的垂直平分線均過圓心這一幾何性質(zhì).

例3 與x軸切于點(diǎn)(5,0)并在y軸上截取弦長(zhǎng)為10的圓的方程為____.

點(diǎn)評(píng) 涉及與圓的弦長(zhǎng)有關(guān)問題時(shí),一般根據(jù)弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑之間的勾股定理關(guān)系解決問題.

解法2 (弦長(zhǎng)公式法):設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.

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