江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué)(226300)

朱云虎●

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例析函數(shù)問題的思路探索

江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué)(226300)

朱云虎●

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)是中難題的主要載體，如何正確的通過審題找到解題的思路，本文從演繹法、聯(lián)想法及轉(zhuǎn)化法三個角度闡述，以起到拋磚引玉的作用.

函數(shù);演繹法;特例法;轉(zhuǎn)化法

一、問題的提出

函數(shù)問題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要內(nèi)容，其數(shù)學(xué)思想——函數(shù)思想(也稱變量思想)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要思想，與數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想有著密切的聯(lián)系，同時也與三角函數(shù)、數(shù)列、應(yīng)用題等內(nèi)容也存在著密切的聯(lián)系，這樣對于有函數(shù)問題的數(shù)學(xué)試題如何理出思路，本文將結(jié)合具體的例題進(jìn)行闡述說明

二、演繹法

依據(jù)波利亞的《如何解題》理論，數(shù)學(xué)問題的解決方案可以從條件出發(fā)，通過分析各個條件的內(nèi)涵和外延，以及各條件之間的邏輯聯(lián)系，通過合情推理，尋找出解題的思路.這種尋找解題思路的方法我們稱為演繹法.演繹法通常用于條件較多或關(guān)系比較復(fù)雜的試題情況.

分析過程

1.分析本題有幾個條件

2.分析各個條件的具體含義

①的條件可以這樣來理解：若a=0，則函數(shù)為常函數(shù)，圖像與x軸平行；若a>0，則函數(shù)為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為y軸，有f(-1)=f(1)；若a<0時，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為y軸，有f(-1)=f(1).

②的條件表明變量為x，且變化范圍為x∈[-1,1].③的條件可以理解為-1f(x)≤1，其等價為f(x)min≥-1且f(x)max1.

演繹法的處理要點在于每個條件的處理，函數(shù)問題在利用演繹法處理的過程中，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，也就是將題意在函數(shù)圖像中表示出來，從而現(xiàn)象條件的本質(zhì)，優(yōu)化解題的方法.

三、特例法

當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)(或結(jié)論)中提供的信息暗示答案是為一個定值時，運用合情推理將題中的變化量用特殊值(或特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊圖形、特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等)代替，從而得到正確結(jié)果.特殊值法在解決填空題時有著獨特的優(yōu)勢.

仍以上述例1為例.

2.特值法作為填空題而言是一種比較快捷的方法，使用時試題一般具有下列一些特點：①題目條件比較的少；②正常的計算難度較大；③可以使用數(shù)形結(jié)合的思想；④取得最值的位置非常巧.

3.特值法的應(yīng)用原理其實是從出卷教師考查學(xué)生思維性水平的角度出發(fā)來解決數(shù)學(xué)試題的討巧解法.

四 轉(zhuǎn)化法

對函數(shù)的問題進(jìn)行分析，從而適當(dāng)?shù)募{入某個數(shù)學(xué)模塊或利用某種數(shù)學(xué)手段來進(jìn)行體現(xiàn)，將不熟悉的問題化為我們所熟悉的數(shù)學(xué)問題，這種解決問題的思考方法稱為轉(zhuǎn)化法.轉(zhuǎn)化法通常利用于常規(guī)的最值、單調(diào)性等等問題.

解析 此問題主體為單調(diào)性問題，體現(xiàn)單調(diào)性的方法主要有兩個：①利用單調(diào)性的定義來體現(xiàn)；②利用導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的正負(fù)值來體現(xiàn).結(jié)合本題函數(shù)的特征，顯然只能用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理.

函數(shù)問題的轉(zhuǎn)化方式比較多，其主要的思想基礎(chǔ)為函數(shù)在形上面的體現(xiàn)和問題成立時所體現(xiàn)在集合的關(guān)系上面，熟練的進(jìn)行轉(zhuǎn)化要求學(xué)生注意平時的積累，能進(jìn)行各種可行性預(yù)設(shè).

函數(shù)問題的三種思考方法其實質(zhì)是抓住了函數(shù)的知識點、函數(shù)的特殊性、函數(shù)的常規(guī)處理手法.通過這三個入口可以較好的理解函數(shù)問題，找到解題的方法.

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