江蘇省常熟市尚湖高級中學(215500)
馬怡平●
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構造向量求解幾類根式的最值問題
江蘇省常熟市尚湖高級中學(215500)
馬怡平●
求含兩個根式和(差)的最值問題,按常規(guī)方法不易求解.如果能由式子的特征構造出相應的向量,再恰當運用向量不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,或|a·b|≤|a||b|來解答,既可開僻新的解題途徑,又可使解答更為簡捷.本文就幾類常見的根式類最值問題,舉例說明.
點評 本例中兩個根號中的x的系數(shù)不是相反數(shù),為了使所構造的向量b滿足|b|是常數(shù),需要對各根式的系數(shù)適當搭配,這是求解中的難點,應特別關注.
點評 所設的a和b,一方面有y=a·b+c,另一方面應滿足|a|和|b|都是常數(shù),因此要結合根號中的式子,對根號外式子的系數(shù)進行適當?shù)呐錅?這是求解這種類型函數(shù)最值的關鍵所在.我們再看一例,加以體會.
點評 本例是兩個根式和的形式,所構造的兩個向量a與b要滿足兩個條件;
(1)a+b是常向量;(2)a與b應同向.
這樣才能保證|a|+|b|≥|a+b|中取到等號并得到最小值.
點評 對兩個根式的差的形式,在構造向量a、b時要注意:
(1)使a+b是常向量;(2)在|a|-|b|≤|a+b|中取等號的條件是a與b反向.當然了,如果運用|a|-|b|≤|a-b|取等號條件,那么應使a-b是常向量且a與b同向.
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1008-0333(2016)31-0048-01