江蘇省常熟市尚湖高級(jí)中學(xué)(215500)
馬怡平●
?
構(gòu)造向量求解幾類(lèi)根式的最值問(wèn)題
江蘇省常熟市尚湖高級(jí)中學(xué)(215500)
馬怡平●
求含兩個(gè)根式和(差)的最值問(wèn)題,按常規(guī)方法不易求解.如果能由式子的特征構(gòu)造出相應(yīng)的向量,再恰當(dāng)運(yùn)用向量不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,或|a·b|≤|a||b|來(lái)解答,既可開(kāi)僻新的解題途徑,又可使解答更為簡(jiǎn)捷.本文就幾類(lèi)常見(jiàn)的根式類(lèi)最值問(wèn)題,舉例說(shuō)明.
點(diǎn)評(píng) 本例中兩個(gè)根號(hào)中的x的系數(shù)不是相反數(shù),為了使所構(gòu)造的向量b滿足|b|是常數(shù),需要對(duì)各根式的系數(shù)適當(dāng)搭配,這是求解中的難點(diǎn),應(yīng)特別關(guān)注.
點(diǎn)評(píng) 所設(shè)的a和b,一方面有y=a·b+c,另一方面應(yīng)滿足|a|和|b|都是常數(shù),因此要結(jié)合根號(hào)中的式子,對(duì)根號(hào)外式子的系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)呐錅?這是求解這種類(lèi)型函數(shù)最值的關(guān)鍵所在.我們?cè)倏匆焕?,加以體會(huì).
點(diǎn)評(píng) 本例是兩個(gè)根式和的形式,所構(gòu)造的兩個(gè)向量a與b要滿足兩個(gè)條件;
(1)a+b是常向量;(2)a與b應(yīng)同向.
這樣才能保證|a|+|b|≥|a+b|中取到等號(hào)并得到最小值.
點(diǎn)評(píng) 對(duì)兩個(gè)根式的差的形式,在構(gòu)造向量a、b時(shí)要注意:
(1)使a+b是常向量;(2)在|a|-|b|≤|a+b|中取等號(hào)的條件是a與b反向.當(dāng)然了,如果運(yùn)用|a|-|b|≤|a-b|取等號(hào)條件,那么應(yīng)使a-b是常向量且a與b同向.
G632
B
1008-0333(2016)31-0048-01