江蘇省常熟市尚湖高級(jí)中學(xué)(215500)

馬怡平●

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構(gòu)造向量求解幾類(lèi)根式的最值問(wèn)題

江蘇省常熟市尚湖高級(jí)中學(xué)(215500)

馬怡平●

求含兩個(gè)根式和(差)的最值問(wèn)題，按常規(guī)方法不易求解.如果能由式子的特征構(gòu)造出相應(yīng)的向量，再恰當(dāng)運(yùn)用向量不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,或|a·b|≤|a||b|來(lái)解答，既可開(kāi)僻新的解題途徑，又可使解答更為簡(jiǎn)捷.本文就幾類(lèi)常見(jiàn)的根式類(lèi)最值問(wèn)題，舉例說(shuō)明.

點(diǎn)評(píng) 本例中兩個(gè)根號(hào)中的x的系數(shù)不是相反數(shù)，為了使所構(gòu)造的向量b滿足|b|是常數(shù)，需要對(duì)各根式的系數(shù)適當(dāng)搭配，這是求解中的難點(diǎn)，應(yīng)特別關(guān)注.

點(diǎn)評(píng) 所設(shè)的a和b，一方面有y=a·b+c,另一方面應(yīng)滿足|a|和|b|都是常數(shù)，因此要結(jié)合根號(hào)中的式子，對(duì)根號(hào)外式子的系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)呐錅?這是求解這種類(lèi)型函數(shù)最值的關(guān)鍵所在.我們?cè)倏匆焕?，加以體會(huì).

點(diǎn)評(píng) 本例是兩個(gè)根式和的形式，所構(gòu)造的兩個(gè)向量a與b要滿足兩個(gè)條件；

(1)a+b是常向量；(2)a與b應(yīng)同向.

這樣才能保證|a|+|b|≥|a+b|中取到等號(hào)并得到最小值.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)兩個(gè)根式的差的形式，在構(gòu)造向量a、b時(shí)要注意：

(1)使a+b是常向量；(2)在|a|-|b|≤|a+b|中取等號(hào)的條件是a與b反向.當(dāng)然了，如果運(yùn)用|a|-|b|≤|a-b|取等號(hào)條件，那么應(yīng)使a-b是常向量且a與b同向.

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1008-0333(2016)31-0048-01