江蘇省高郵市第一中學(xué)(225600)

耿廣祥●

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數(shù)學(xué)歸納思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

江蘇省高郵市第一中學(xué)(225600)

耿廣祥●

正如我們所知，歸納與推理是創(chuàng)造能力的基礎(chǔ)，對(duì)歸納思想進(jìn)行培養(yǎng)，既是使學(xué)生獲得新知識(shí)的有效途徑，也是對(duì)學(xué)生演繹思維進(jìn)行培養(yǎng)的重要手段.高中數(shù)學(xué)課程中，歸納思維的形成與培養(yǎng)尤為重要，但許多一線教師對(duì)歸納思維的培養(yǎng)方式依然不夠了解，接下來(lái)筆者將就教學(xué)案例談?wù)勛约旱目捶?

一、完全歸納法

在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，完全歸納法有著相當(dāng)高的使用頻率，其核心理念在于對(duì)問題進(jìn)行分類并依此進(jìn)行研究.接下來(lái)筆者將以“同弧所對(duì)圓周角的大小是其所對(duì)圓心角的一半”這一命題為例進(jìn)行說(shuō)明.

如圖1所示，在圓O中，對(duì)于弧AC而言，∠AOC與∠ABC分別代表了與其相對(duì)應(yīng)的圓心角與圓周角，那么命題就相當(dāng)于是證明∠AOC=2∠ABC.從圖中我們可以看出，隨著B點(diǎn)位置的不同，圓周角與圓心的關(guān)系可以分為三種情況，即圓心分別在圓周角一條邊上、圓周角內(nèi)部和圓周角外部.通過這種方式，我們將問題分成了三類，只要分別驗(yàn)證這三種情況下∠AOC的大小均為∠ABC的兩倍，即證明了命題的成立.

證明過程如下：當(dāng)圓心在圓周角一條邊上時(shí)(如圖a)，連接AO，此時(shí)∠AOC相當(dāng)于是△AOB的外角，因此∠AOC=∠BAO+∠ABC=2∠ABC.

當(dāng)圓心在圓周角內(nèi)部時(shí)(如圖b)，分別連接CO與AO，并過B作直徑BE.在這種情況下，∠AOE與∠ABE分別成為了弧AE所對(duì)的圓心角和圓周角.同理，∠EOC與∠EBC也分別是弧EC所對(duì)的圓心角和圓周角，這實(shí)際上與圖(a)類似，能夠得到∠AOC=∠EOC+∠AOE=2∠EBC+2∠ABE=2∠ABC.

當(dāng)圓心在圓周角外部時(shí)(如圖c)，分別連接CO與AO，并過B作直徑BE，這一情況實(shí)際上與圓心在圓周角內(nèi)部時(shí)類似，能夠得到∠AOC=∠AOE-∠EOC=2∠ABE-2∠CBE=2∠ABC的結(jié)論.

到這里，我們就完成了“同弧對(duì)所圓周角的大小是其所對(duì)圓心角的一半”這一命題的證明.

二、簡(jiǎn)單枚舉法

簡(jiǎn)單枚舉法是與完全歸納法相比更一般的方法：設(shè)A是含有可數(shù)元素或有限元素的集合，若發(fā)現(xiàn)其中每個(gè)經(jīng)過了驗(yàn)證的元素都有同樣的性質(zhì)P，那么就認(rèn)為A集合中所有元素都有性質(zhì)P.這一結(jié)論顯然是經(jīng)不起推敲的.簡(jiǎn)單枚舉法的特殊性就在于此：并不是A集合中的每個(gè)元素都能夠被驗(yàn)證.盡管這一區(qū)別似乎有些不起眼，但實(shí)際上卻是本質(zhì)性的區(qū)別，哪怕其中只有一個(gè)未經(jīng)驗(yàn)證的元素，就無(wú)法排除“該元素不具備P性質(zhì)”的可能性.

當(dāng)然，推論正確的可能性是隨著集合中得到驗(yàn)證的元素?cái)?shù)量的增加而提高的，這種推理實(shí)際上是對(duì)可能性的一種依賴.盡管這種推理有一定的道理，但其結(jié)論卻沒有必然性，這種推理就是所謂的歸納推理.

三、數(shù)學(xué)歸納法

一般情況下，在對(duì)與正整數(shù)n相關(guān)聯(lián)的命題進(jìn)行證明時(shí)，主要有以下兩個(gè)步驟：①當(dāng)n=k0時(shí)，驗(yàn)證命題成立；②若n=k(k0k)的情況下命題成立，則證明n=k+1時(shí)命題也成立即可，這種方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法.在這其中，推理的基礎(chǔ)是步驟①，而推理的依據(jù)是步驟②，二者互相依存，不可或缺.

綜上所述，命題在n為正整數(shù)時(shí)均成立.

四、主次變量轉(zhuǎn)化

歸納題目中必然存在主次關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化主變量與參變量的主次關(guān)系，就能將問題轉(zhuǎn)化為另一種形式，進(jìn)而得到答案.例如，函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a恒大于0，且a值域?yàn)閇-1,1]，求x范圍.就題目來(lái)看，這是關(guān)于x的一個(gè)函數(shù)，若直接進(jìn)行變形，然后將值代入求解，題目就會(huì)變得十分繁瑣，這時(shí)就可以適當(dāng)?shù)夭捎弥鞔巫兞哭D(zhuǎn)化的方法，將原來(lái)的函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榕ca有關(guān)的函數(shù)，隨后進(jìn)行求解.令g(a)=(x-2)a+(x-2)2為與a相關(guān)的一次函數(shù)，其中x≠2.通過繪制一次函數(shù)圖象我們可以得出g(-1)>0，且g(1)>0進(jìn)而可以得到x>3或x<1.這樣我們就能得到原式中x的值域?yàn)閧x|x<1，x>3}.

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