江蘇省南通市海門市秀山東路895號(226100)

姚錦雷●

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兩個非負數(shù)和與積的最值問題

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姚錦雷●

問題1 若實數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1，求x+y的最大值.

解 由x2+y2+xy=1y.∵，∴(當且僅當x=y時取“=”)，∴x+y的最大值為.

相似問題還出現(xiàn)在解三角形中，求三角形的周長、面積的最大值.

點評 問題1、問題2都是由兩個非負數(shù)的和與積的不等關(guān)系得到和的最大值.將問題2變一下可以求兩個非負數(shù)的積的最大值.

點評 基本不等式可以解決兩個非負數(shù)和與積的最值問題，有時學生遇到兩個變量問題就取消元從而構(gòu)建函數(shù)求最值，像上面兩個問題如果消元顯然大大增加了難度，不妨將x+y,xy看成整體，若要求x+y的最值可以消去xy構(gòu)建x+y的不等式，從而求出x+y的范圍；若要求xy的最值可以消去x+y構(gòu)建xy的不等式，從而求出xy的范圍.用基本不等式可以解決兩個非負數(shù)和與積的最值問題作為基本問題可以解決難度更大的問題

分析 連接OC，設(shè)OD=a,OE=b，將CD,DE,CE都用a,b表示得到a+b,ab的關(guān)系式，利用基本不等式消去積ab構(gòu)建a+b不等式，從而得到a+b的最大值.

點評 利用基本不等式處理兩個變量和與積的最值問題不能將兩個變量孤立起來，而要用整體的思想看待問題，這樣才能達到事半功倍的效果.

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1008-0333(2016)31-0022-01