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        解析幾何中的范圍與最值問題的求解策略

        2016-12-16 02:33:10武漢理工大學(xué)理學(xué)院430070
        數(shù)理化解題研究 2016年31期
        關(guān)鍵詞:判別式最值題意

        武漢理工大學(xué)理學(xué)院(430070)

        方炫蘇●

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        解析幾何中的范圍與最值問題的求解策略

        武漢理工大學(xué)理學(xué)院(430070)

        方炫蘇●

        解析幾何中的范圍與最值問題綜合性強、變量多、涉及知識面廣,是難點.解答這類問題往往運用函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值等來解決.

        一、利用題設(shè)條件中的不等關(guān)系

        若題設(shè)條件中有不等關(guān)系,可直接利用該條件求參數(shù)的范圍.

        二、應(yīng)用判別式建立不等式關(guān)系

        若題設(shè)中給出直線(或曲線)與曲線有公共點或無公共點時,可以把直線方程(或曲線方程)與曲線方程聯(lián)立起來,消去某一個未知數(shù),得到含另一個未知數(shù)的一元二次方程,就能利用判別式建立所含參數(shù)的不等式.

        例2 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點在拋物線y=2x2上,l是AB的垂直平分線.當(dāng)直線l的斜率為2時,求直線l在y軸上截距的取值范圍.

        點評 該題含有兩個參數(shù)b,m,先由直線AB與拋物線有兩個不同的交點,應(yīng)用判別式求出參數(shù)m的范圍,再由題意找出兩個參數(shù)b,m之間的關(guān)系式,最后求出參數(shù)b取值范圍.

        變式訓(xùn)練 直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的左支交于A、B兩點,直線l經(jīng)過點(-2,0)和AB的中點,求直線l在y軸的截距b的取值范圍.

        三、挖掘曲線的隱含不等式(幾何不等式)

        對于一些特殊曲線,它們自身包含了一些不等關(guān)系,有些情況不等關(guān)系比較隱蔽,只有認(rèn)真地分析題設(shè)中的條件與結(jié)論,才能找到所需的含參不等式.

        解 畫出圖形,結(jié)合圖形得到△FAB的周長最大時對應(yīng)的直線所在位置.即可求出結(jié)論.

        如圖,設(shè)橢圓的右焦點為E.由橢圓的定義得:

        △FAB的周長:AB+AF+BF=AB+(2a-AE)+(2a-BE)=4a+AB-AE-BE.

        ∵AE+BE≥AB,∴AB-AE-BE≤0,當(dāng)AB過點E時取等號.

        ∴AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a.

        (2)求四邊形ACBD的面積的最小值.

        四、根據(jù)曲線方程中變量的范圍建立不等關(guān)系

        由橢圓上任一點的橫、縱坐標(biāo)是有界的,通過有界性就可能找到變量間的不等關(guān)系.又如橢圓長軸長大于短軸長,也大于焦距長,雙曲線的實軸、虛軸長小于焦距長,焦半徑的范圍等等.對于圓與橢圓,當(dāng)點位于其內(nèi)部或外部時,應(yīng)滿足一定的不等關(guān)系.

        由橢圓的范圍知0≤x2

        五、利用基本不等式建立不等關(guān)系

        對于某些與參數(shù)范圍有關(guān)的題目,如果利用上述四種方法不易建立符合題意的不等關(guān)系,就看能否利用代數(shù)中的基本不等式a2+b2≥2ab建立符合題意的不等關(guān)系.

        G632

        B

        1008-0333(2016)31-0006-02

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