陳攀， 漆瓊芳

(1.中國艦船研究設計中心 船舶振動噪聲重點實驗室， 湖北 武漢 430064; 2.武漢理工大學 交通學院， 湖北 武漢 430063)

?

基于行波法的有限加肋板耦合運動研究

陳攀1， 漆瓊芳2

(1.中國艦船研究設計中心 船舶振動噪聲重點實驗室， 湖北 武漢 430064; 2.武漢理工大學 交通學院， 湖北 武漢 430063)

為研究板與加肋條的耦合運動特征，采用行波法和模態(tài)疊加法，根據(jù)板與加肋條的不同耦合連續(xù)性假設，建立3種耦合模型，即板- 附加質(zhì)量模型、板- 歐拉梁模型和板- 板- 歐拉梁模型，此時3種耦合模型對應的加肋條分別為阻振質(zhì)量、扁鋼和T型材。根據(jù)行波法推導有限加肋板耦合結(jié)構(gòu)的動力響應表達式，并自編Matlab程序進行振動響應計算，通過對比有限元數(shù)值計算結(jié)果與行波法半解析計算結(jié)果，驗證該行波法解法是計算耦合結(jié)構(gòu)振動響應的有效方法。對3種耦合力學模型的對比研究，根據(jù)耦合連續(xù)性假設分析結(jié)構(gòu)剛度項對響應的影響，說明在低頻范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)剛度項對結(jié)構(gòu)的動力響應影響較小，但隨著頻率的增大，結(jié)構(gòu)剛度項對結(jié)構(gòu)動力響應影響增大。對板厚和損耗因子進行參數(shù)分析，計算結(jié)果表明：隨著板厚增加，板的模態(tài)數(shù)變少；在共振頻率附近，隨著損耗因子的增加，結(jié)構(gòu)輸入功率流和傳遞功率流的峰值降低；損耗因子的改變對結(jié)構(gòu)的固有頻率影響不大。

固體力學； 行波法； 有限加肋板； 功率流； 阻振質(zhì)量

0 引言

艦船結(jié)構(gòu)由大量梁、板和加肋板等結(jié)構(gòu)組成，研究板、梁耦合系統(tǒng)的振動功率流可以指導艦船結(jié)構(gòu)的聲學設計。行波法[1](又稱波動法)假定振動能量主要以彎曲波、縱向波和扭轉(zhuǎn)波的形式傳播，給出滿足振動微分方程的解，通過簡諧波疊加，根據(jù)結(jié)構(gòu)的邊界條件和平衡方程求取彎曲波和面內(nèi)的波幅系數(shù)，最終得到振動位移響應值和結(jié)構(gòu)內(nèi)力。

振動功率流綜合包含力與速度信息，能直觀表示能量在結(jié)構(gòu)中的分布與傳遞路徑。文獻[2-3]引入面內(nèi)波和彎曲波，基于薄板理論控制方程，建立行波法功率流模型，得到耦合板的中、高頻振動功率流分布。Tso[4]建立板- 薄梁耦合模型和板- 厚梁耦合模型，探討彎曲波入射時入射角對彈性波的影響。Kessissoglou[5]應用行波法研究有限尺寸L型板的振動功率流，對面內(nèi)波與彎曲波的功率流成分進行分析。趙芝梅等[6]采用行波法研究點力和彎矩的激勵大小、激勵角度和激勵位置對有限L型板功率流的影響。文獻[7-10]根據(jù)波動理論分析有限L型梁和有限L型板在點力激勵下的主動功率流和被動功率流，并與有限元數(shù)值解進行對比，驗證行波法半解析解的有效性。焦映厚等[11]建立阻振方鋼與L型板的耦合運動力學模型，采用行波法分析方鋼參數(shù)對振動功率流傳遞特性的影響。李朋洲等[12]建立平板- 阻振質(zhì)量的耦合運動模型，應用波動法和模態(tài)疊加法得到結(jié)構(gòu)的振動響應，分析阻振質(zhì)量在低頻和高頻時的隔振性能。目前行波法的研究對象側(cè)重半無限尺寸平板結(jié)構(gòu)，即不考慮邊界對振動波的吸收與反射半無限板。但實際艦船結(jié)構(gòu)包含邊界條件對彈性波的影響，因此本文行波法研究對象為有限尺寸耦合結(jié)構(gòu)。

本文建立板與加肋條的3種耦合運動力學模型，即板- 附加質(zhì)量模型、板- 歐拉梁模型和板- 板- 歐拉梁模型。應用行波法求解薄板理論的振動控制方程，推導3種耦合模型的行波法半解析解，自編Matlab程序進行振動響應計算，對比行波法半解析解與有限元數(shù)值解，驗證行波法求解有限尺寸耦合結(jié)構(gòu)的有效性。根據(jù)3種耦合模型的連續(xù)性假設，探討結(jié)構(gòu)剛度對振動傳遞的影響，并分析板厚和損耗因子對板梁耦合結(jié)構(gòu)的振動功率流的影響。

1 行波法模型

艦船典型耦合運動結(jié)構(gòu)包括：甲板- 縱骨- 橫梁、船底板- 縱骨- 內(nèi)底板、舷側(cè)板- 肋骨等。建立如圖1所示的板與加肋條的3種耦合運動模型： 1)當加肋條為阻振方鋼，因方鋼質(zhì)量較大，可以假設方鋼與連接線2的加速度連續(xù)，建立板- 附加質(zhì)量模型；2)當加肋條為扁鋼時，假設板與骨材連接處的位移連續(xù)，將骨材當成歐拉梁，建立板- 歐拉梁模型；3)當加肋條為T型材時，假定T型材腹板下端與板位移連續(xù)，T型材腹板上端與面板的速度連續(xù)，板12、板23、T型材腹板在連接線2處通過力與力矩進行耦合，加肋條面板相當于等效的力和力矩施加在T型材腹板上端，建立板- 板- 歐拉梁耦合模型。

圖1 板與加肋條的耦合運動模型 Fig.1 Coupled model of ribbed plate

將結(jié)構(gòu)尺寸變化處、屬性變化處、邊界等處稱作聲學不連續(xù)條件，在結(jié)構(gòu)的聲學條件改變處將結(jié)構(gòu)離散，即在點力激勵處和布置加肋條位置將圖1模型離散成3個板，依次為板01、板12、板23，長度分別為L1、L2、L3，板寬均為Ly.

應用Poisson-Kirchhoff薄板理論[6]，板的彎曲振動方程為

(1)

板的面內(nèi)振動控制方程為

(2)

(3)

對于任意離散板，x方向的邊均簡支，離散板01、12、23的彎曲運動解依次為

(4)

(5)

(6)

離散板01的面內(nèi)運動解：

(7)

(8)

離散板12的面內(nèi)運動解：

(9)

(10)

離散板23的面內(nèi)運動解：

(11)

(12)

耦合力和耦合力矩與振動位移相關，表達式為

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：Mxx、Mxy是彎矩和扭矩；Nxx、Nxy是面內(nèi)縱向力和剪切力；Vx為法向純剪力，耦合力的方向見圖1.

若板01左端自由，邊界條件：

(18)

(19)

(20)

(21)

若板01右端有外界點激勵作用，邊界條件為

(22)

(23)

(24)

(25)

外界點力激勵可以等效為線激勵級數(shù)疊加：

(26)

若板01與板12線連接，邊界條件：

u1|x=L1=u2|x=0，

(27)

v1|x=L1=v2|x=0，

(28)

w1|x=L1=w2|x=0，

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

假設耦合連接2線處布置船舶結(jié)構(gòu)常用的T型材，則加肋條尺寸較大，建立板- 板- 梁耦合運動模型。板01右端、板12左端、T型材腹板連接處建立力與力矩的耦合運動模型，上標f表示T型材腹板對應的位移項和力項，三者相互耦合，平衡方程為

u1|x=L1=u2|x=0=wf|x=0，

(35)

v1|x=L1=v2|x=0=vf|x=0，

(36)

w1|x=L1=-uf|x=0=w2|x=0，

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

板23右端與板01左端邊界條件類似，不再贅述。板與加肋條耦合處，相當于加肋條以等效的線力和力矩施加在板上，平衡方程為

NxxL-NxxR=Nxxb，

(43)

VxL-VxxR=Vxb，

(44)

MxxL-MxxR=Mxxb，

(45)

式中：NxxL、VxL、MxL、NxxR、VxR、MxR為加肋條左側(cè)和右側(cè)的軸向力、剪力和力矩；Nxxb、Vxb、Mxxb是加肋條施加在板上的軸向力、剪力和力矩。加肋等效成歐拉梁：

(46)

(47)

(48)

式中：ρbAb、ρbIp分別是單位長度肋條的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量；Ixb、Iyb分別是加肋條截面到x中性軸和y中性軸的慣性矩；Eb、Gb、ρb分別是肋條的彈性模量、剪切模量和密度；Jb為加肋條相對于截面中心的極慣性矩。

假設耦合連接線2處布置阻振方鋼，因阻振方鋼質(zhì)量較大，布置方鋼相當于板上施加質(zhì)量體，在耦合連接處，方鋼與板連接處的加速度連續(xù)，布置方鋼相當于在連接處施加附加力和力矩，方鋼的力與位移滿足：

(49)

(50)

(51)

(52)

則

kyB3eλ3x+kyB4eλ4x)sin(kyy),

(53)

A3e-knx+A1eknx)sin (kyy),

(54)

jksxA2e-jksx-knA3e-knx+knA4eknx).

(55)

2 振動功率流

不同于有限元法用1/3倍頻程結(jié)構(gòu)導納和振級落差來評價隔振性能，行波法可以采用功率流來度量振動傳遞能量。單位時間流過垂直于波傳播方向單位面積的振動能量稱為振動功率流，行波法求出某一截面、某一點在頻域范圍內(nèi)的振動功率流后，進而可以求出平板的平均振動功率流，在頻域范圍內(nèi)對功率流進行積分可以求出整個平板的功率流，薄板理論的功率流表達式為

(56)

(57)

(58)

Ptot(ω,x)=Pm(ω,x)+Pb(ω,x)，

(59)

式中：上標*表示共軛復數(shù)；Pin是點激勵的輸入功率；Pb和Pm分別是彎曲波功率流和面內(nèi)波功率流；Ptot是面內(nèi)波功率流與彎曲波功率流總和。

3 計算模型

自編計算模型的振動響應行波法程序，假定板長L1=L2=L3=0.6 m，板寬Ly=0.6 m，板厚h=0.01 m，彈性模量E=2.0×1011Pa，考慮材料的能量損耗的復彈性模量為Ep=E(1+jη)，結(jié)構(gòu)阻尼η=0.01，材料泊松比μ=0.3，密度ρ=7 800 kg/m3. 板的橫向載荷為F=F0eiωt，位于板1右端中點，力的幅值F0=1 N. 應用行波法進行Matlab編程計算，得到每個點位移和內(nèi)力響應的行波法解析解，根據(jù)內(nèi)力和位移及頻率關系即可得到響應點的功率流，對某一截面積分即可得到該截面的功率流。采用數(shù)值方法計算對應模型振動響應，在有限元軟件ABAQUS里建立三維模型，劃分網(wǎng)格并進行數(shù)值計算，有限元的網(wǎng)格尺寸為0.02 m×0.02 m，如板23的尺寸為0.6 m×0.6 m，相應的有限單元數(shù)目為30×30.

3.1 行波法解析解的有效性驗證

將圖1加肋板結(jié)構(gòu)離散，離散板01、12、23通過線連接，激勵位于板01右端中點，觀測點位于板23中點。在0～800 Hz計算頻率范圍內(nèi)，圖2顯示了平板的有限元數(shù)值解與行波法解析解，對比橫向位移曲線可知，在低于500 Hz的頻率范圍內(nèi)兩種曲線吻合較好，隨著頻率的增加，兩種方法的計算結(jié)果出現(xiàn)一定差別，主要原因：1)有限元法的網(wǎng)格密度有關影響計算結(jié)果精度，網(wǎng)格不同，結(jié)果會出現(xiàn)差異；2)有限元法具有高頻不穩(wěn)定性，高頻不易收斂。圖2的響應曲線吻合較好，驗證行波法公式推導的正確性，證明行波法是求解耦合結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應的一種有效方法。

圖2 平板模型的橫向位移Fig.2 Z-direction displacement of plate model

假設在圖1模型的連接線上布置骨材，骨材是截面尺寸為0.06 m×0.06 m的扁鋼，建立平板與骨材的板- 歐拉梁耦合運動模型，板一對邊簡支，一對邊自由。觀測點在激勵位置處，圖3中有限元數(shù)值解與行波解求出的穩(wěn)態(tài)響應曲線吻合較好，驗證行波法求解板- 歐拉梁模型的有效性。

圖3 板- 歐拉梁耦合模型的橫向位移Fig.3 Z-direction displacement of plate-Euler beam coupling model

3.2 加肋板3種耦合運動模型

建立如圖1所示模型，在離散板01右端施加點力激勵，在離散板12與離散板23連接處布置加肋條，如骨材或方鋼，加肋條的截面尺寸為0.02 m×0.02 m，加肋條材料參數(shù)與板相同。板上布置肋條相當于板上施加附加質(zhì)量和附加慣性矩，分為3種耦合情況：板- 歐拉梁模型、板- 附加質(zhì)量模型和板- 板- 歐拉梁模型。通過3種耦合模型的行波法Matlab程序計算點激勵位置處的穩(wěn)態(tài)響應曲線。

由圖4可知，在小于1 000 Hz的頻率范圍內(nèi)，板- 歐拉梁模型和板- 附加質(zhì)量模型的橫向位移曲線接近，大于1 000 Hz頻率，頻響曲線的相位和峰值會出現(xiàn)差別。分析兩種耦合模型的振動控制方程，板- 歐拉梁耦合模型比板- 附加質(zhì)量耦合模型多出了結(jié)構(gòu)剛度項，可知在低頻范圍內(nèi)，剛度項對結(jié)構(gòu)的動力響應影響較小，隨著頻率的增大，結(jié)構(gòu)的剛度項對結(jié)構(gòu)動力響應影響增大。

圖4 兩種加肋板耦合模型的橫向位移Fig.4 Z-direction displacements of two coupling models

圖5 板- 板- 歐拉梁耦合模型的橫向位移Fig.5 Z-direction displacement of coupling model of plate-plate-Euler beam

若連接線2上布置T型材，把T型板的腹板當板屬性考慮，尺寸為0.2 m×0.2 m，面板當歐拉梁屬性考慮，尺寸為0.04 m×0.04 m，建立板- 板- 歐拉梁耦合運動模型。觀測點在激勵位置處，在計算頻率1～1 000 Hz范圍內(nèi)，圖5顯示了有限元數(shù)值計算方法與行波法計算方法的橫向位移曲線，對比可知，在小于400 Hz的低頻范圍內(nèi)，兩種耦合模型的計算結(jié)果吻合較好，隨著計算頻率的增加，曲線的峰值和相位會出現(xiàn)一定差異。這是因為隨著頻率的增加，板和梁對振動波傳遞會表現(xiàn)出差別。在實際工程中對船舶結(jié)構(gòu)的加筋板進行振動分析時，一般采用通用的有限元商業(yè)軟件進行振動計算，應用有限元建立三維模型建時，把肋板當成板單元或梁單元計算時，數(shù)值結(jié)果會出現(xiàn)差別，是由板和梁對振動波的傳遞特性不一致導致。行波法是基于理論公式的推導一種半解析方法，使振動波具有明確的物理意義，是振動波傳遞特性研究的一種有效的解析方法。

3.3 分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對功率流影響

圖1模型不布置加肋條，板的結(jié)構(gòu)阻尼均為η=0.01，僅考慮光板的振動傳遞特性，板寬Ly=0.4 m，步長取5 Hz，板長等其他參數(shù)與3.1節(jié)一致。假定平板一對邊簡單支撐，另一對邊自由。圖6顯示了平板厚度變化時的輸入功率流，圖7顯示了平板厚度變化時的傳遞功率流。對比可知，隨著板厚增加，在計算頻率范圍內(nèi)，輸入功率流曲線和傳遞功率流曲線的峰值密度減少。這是因為隨著板厚的增加，在分析頻域內(nèi)板模態(tài)數(shù)變少，所以在船體結(jié)構(gòu)設計時要充分考慮板厚對模態(tài)振動影響，以免激起模態(tài)振動，使振動功率流曲線過度密集。

圖6 不同板厚時的輸入功率流Fig.6 Input power flows of plates with different thicknesses

圖7 不同板厚時的傳遞功率流Fig.7 Transmitted power flows of plates with different thicknesses

圖1模型布置加肋條，尺寸為0.02 m×0.02 m，尺寸參數(shù)與3.1節(jié)一致，板一對邊簡支，另一對邊自由。損耗因子表示成板損耗因子/加肋條損耗因子的形式，選用板- 歐拉梁耦合模型。在0～1 000 Hz計算頻率范圍內(nèi)，圖8顯示了不同損耗因子比的輸入功率流，圖9顯示了不同損耗因子比的傳遞功率流，對比可知，功率流曲線峰值窄而陡，對應的頻率范圍較窄?？芍诠舱穹逯蹈浇?，隨著板結(jié)構(gòu)損耗因子的增加，輸入功率流曲線和傳遞功率流曲線的峰值降低，功率流曲線峰值和低谷的幅度下降。在非共振峰值附近的計算頻域內(nèi)，隨著板損耗因子的增加，輸入功率流和傳遞功率流均增加。

圖8 0～1 000 Hz頻率范圍內(nèi)的輸入功率Fig.8 Input power flows in frequency range of 0～1 000 Hz

圖9 0～1 000 Hz頻率范圍內(nèi)的傳遞功率Fig.9 Transmitted power flows in frequency range of 0～1 000 Hz

在1 000～4 000 Hz計算頻率范圍內(nèi)，由圖10可知，板的輸入功率流曲線峰值和低谷相比與低頻階段更加密集，共振頻率更加密集。隨著板損耗因子的增加，功率流曲線相比低頻階段沒有明顯的峰值和低谷，曲線更加趨于平緩，說明板損耗因子可以改變功率流曲線的峰值和低谷。根據(jù)離散板23的傳遞功率曲線可知，板損耗因子η=0.1且梁損耗因子η=0.001時，輸入功率流曲線較為平緩(見圖10)，而傳遞功率流曲線會出現(xiàn)低谷(見圖11)，功率流低谷的出現(xiàn)與歐拉梁計算頻段內(nèi)振動波的阻抑有關。

圖10 1 000～4 000 Hz時的輸入功率Fig.10 Input power flows in frequency range of 1 000～4 000 Hz

圖11 1 000～4 000 Hz時的傳遞功率Fig.11 Transmitted power flows in frequency range of 1 000～4 000 Hz

以上結(jié)果表明在船舶減振設計時，增加板的損耗因子的可以有效減少振動能量傳遞和振動能量峰值。隨著頻率的增加，板的輸入功率流可趨近于平緩，這是由于加肋條對某些頻段內(nèi)的振動波的阻抑作用。損耗因子改變時，輸入功率流和傳遞功率流的峰值位置改變很小，這說明損耗因子對結(jié)構(gòu)的固有頻率影響很小，在船舶聲學設計時，若通過改變結(jié)構(gòu)損耗因子的方法改變結(jié)構(gòu)的固有頻率，以錯開共振頻率范圍，則達不到應有的減振效果。

4 結(jié)論

根據(jù)板與加肋條的3種耦合連續(xù)性假設，建立板- 加肋條的3種力學模型，應用行波法和模態(tài)疊加法推導結(jié)構(gòu)振動響應公式，自編Matlab程序計算耦合結(jié)構(gòu)振動響應，采用有限元數(shù)值計算結(jié)果驗證行波法解析計算結(jié)果的可靠性，對輸入功率流和傳遞功率流進行參數(shù)分析，通過計算分析總結(jié)如下：

1)行波法半解析解法可以有效地計算板- 附加質(zhì)量模型、板- 歐拉梁模型和板- 板- 歐拉梁模型的動力響應和振動功率流，是一種分析耦合結(jié)構(gòu)振動特性的有效方法。對比板- 歐拉梁耦合模型和板- 附加質(zhì)量耦合模型的振動響應曲線，說明加肋板剛度項對結(jié)構(gòu)動力響應的影響會隨著頻率的增加而變大。

2)結(jié)構(gòu)損耗因子的改變對振動功率流曲線的相位影響較小，所以損耗因子對結(jié)構(gòu)固有頻率影響很小。因此在進行艦船結(jié)構(gòu)振動噪聲危害治理時，若期望將結(jié)構(gòu)的固有頻率與螺旋槳激勵頻率錯開以減少共振，僅通過施加阻尼材料產(chǎn)生的效果不大。

3)在共振頻率附近，損耗因子的增加可以減少輸入功率和傳遞功率的峰值。隨著頻率的增加，板- 歐拉梁耦合模型的傳遞功率流曲線會出現(xiàn)低谷。因此在船體結(jié)構(gòu)聲學設計時，可以通過增加損耗因子來改變共振頻率附近的振動傳遞能量分布幅值，通過布置加肋條可以抑制特定頻段內(nèi)的振動傳遞能量。

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Coupled Motion Analysis of Finite Ribbed Plate Based on Traveling Wave Approach

CHEN Pan1， QI Qiong-fang2

(1.National Key Laboratory on Ship Vibration & Noise, China Ship Development and Design Center, Wuhan 430064, Hubei, China; 2.School of Transportation, Wuhan University of Technology, Wuhan 430063, Hubei, China)

Traveling wave method and modal superposition method are used to study the coupled motion characteristics of plate and added ribs. According to the coupled continuity hypothesis of plate and rib, three kinds of coupling model, i.e., plate-additional mass model, plate-Euler beam model and plate-plate-Euler beam model, are established. The three coupling models correspond to blocking mass, flat steel and T-shaped plate, respectively. The dynamic response of finite plate is derived based on the traveling wave method. A self-compiled Matlab program is applied to calculate the vibratory response. The traveling wave method is verified to be an effective approach to calculate the coupled structure by comparing the numerical result of the finite element method with the calculated result of the traveling wave method. The coupling models with three different ribs are compared and analyzed. According coupled continuity assumption, the effect of structural rigidity on response is investigated. In low frequency range, the structural stiffness has less effect on dynamic response. As frequency increases, the impact of structural stiffness on dynamic response increases. The impacts of thickness and loss factor on vibration are analyzed. The results show that, with the increase in plate thickness, the modal number of plate is reduced. In the nearby regions of the resonant frequencies, the peaks of input power and transmission power are decreased with the increase in loss factor. The loss factor has less effect on the natural frequency of structure.

solid mechanics; travelling wave method; finite ribbed plate; power flow; blocking mass

2015-11-16

國家自然科學基金項目(51409238)

陳攀(1989—)，男，工程師。E-mail:panda3267@126.com

U661.44

A

1000-1093(2016)11-2128-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.11.022