馬靖恬

所謂“細(xì)繩連接體”就是指兩個(gè)或多個(gè)物體通過不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩相互連接、物體與物體之間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相互關(guān)聯(lián)的系統(tǒng).由于“細(xì)繩連接體”問題涉及的知識(shí)面廣，能夠全面考查學(xué)生的綜合能力，因而備受高考命題老師的的青睞，近年來在各地的高考試題中有著很高的出現(xiàn)幾率.

1 功能分析法的基本思路

對(duì)于“細(xì)繩連接體”問題的處理方法，一般有兩種，即整體法和隔離法.整體法就是將兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體看成一個(gè)整體來分析，該方法只考慮系統(tǒng)之外的物體對(duì)系統(tǒng)的作用力，而不考慮系統(tǒng)內(nèi)部物體之間的相互作用力.隔離法就是將所研究的系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)物體隔離出來作為研究對(duì)象，分別進(jìn)行受力分析，以確定其運(yùn)動(dòng)過程的方法.隔離法對(duì)隔離出來作為研究對(duì)象的物體進(jìn)行受力分析時(shí)，通常只考慮該研究對(duì)象以外的物體對(duì)該對(duì)象的作用力，而對(duì)于該對(duì)象對(duì)其他物體的作用力不考慮.

然而，在很多情況下，“細(xì)繩連接體”運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)導(dǎo)致各物體位置高低的變化、摩擦損耗及速度的改變等，這些過程往往會(huì)造成整個(gè)“細(xì)繩連接體”能量的變化，因此，對(duì)于“細(xì)繩連接體”問題，注意抓住系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中能量變化關(guān)系，運(yùn)用功能分析法來處理，往往能化難為易，有助于問題的解決.具體來說，從能量守恒角度來看，做了多少功，就有多少的能量發(fā)生轉(zhuǎn)化，因此，對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)而言外力所做的功，等于體系總能量的改變量，即有：

W外=ΔE總=Q+ΔEP+ΔEk （1）

其中Q為摩擦損耗發(fā)熱，可表示為Q=f摩·s，ΔEP為系統(tǒng)勢(shì)能的改變量，可包括重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能等，ΔEk為系統(tǒng)動(dòng)能的改變量.下面我們通過實(shí)例對(duì)功能分析法在“細(xì)繩連接體”問題中的應(yīng)用進(jìn)行闡述.

2 典型案例應(yīng)用分析

例1 （2016年高考全國理科綜合卷24題）如圖1所示，兩固定的絕緣斜面傾角均為為θ，上沿相連.兩金屬棒ab（僅標(biāo)出a端）和cd（僅標(biāo)出c端）長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，質(zhì)量分別為2m和m；用兩根不可伸長(zhǎng)的柔軟輕導(dǎo)線將它們連成閉合回路abdca，并通過固定在斜面上沿的兩光滑小定滑輪跨放在斜面上，使兩金屬棒水平.右斜面上存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于斜面向上.已知兩根導(dǎo)線剛好不在磁場(chǎng)中，回路電阻為R，兩金屬棒與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，重力加速度大小為小為g.已知金屬棒ab勻速下滑.求（1）作用在金屬棒ab上的安培力的大?。唬?）金屬棒運(yùn)動(dòng)速度的大小.

解法一（隔離法） （1）對(duì)金屬棒ab進(jìn)行受力分析，可知金屬棒ab受到的力有重力2mg、

斜面的支持力N1=2mgcosθ、摩擦力f1=μN(yùn)1=2μmgcosθ、柔軟輕導(dǎo)線的拉力T及安培力F作用，因金屬棒ab勻速下滑，由平衡條件可知沿平行斜面方向有：

2mgsinθ=μ2mgcosθ+T+F （2）

同樣，對(duì)金屬棒cd受到的力有重力mg、斜面的支持力N2=μmgcosθ、摩擦力f2=μN(yùn)2=μmgcosθ、柔軟輕導(dǎo)線的拉力T，從而沿平行斜面方向有：

mgsinθ+μmgcosθ=T （3）

聯(lián)立（2）、（3）式得作用在金屬棒ab上的安培力

F=mg（sinθ-3μcosθ）.

（2）根據(jù)安培力公式：

F=BIL=B2L2vR （4）

可得金屬棒ab的運(yùn)動(dòng)速度為：

v=mgRB2L2（sinθ-3μcosθ） （5）

解法二（功能分析法） （1）把安培力F視為外力，假設(shè)金屬棒ab經(jīng)過一定的時(shí)間沿斜面勻速下滑的長(zhǎng)度為x，由于金屬棒ab、cd都做勻速運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)動(dòng)能不發(fā)生改變，因此只需考慮摩擦損耗及重力勢(shì)能的改變量，設(shè)初始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的勢(shì)能為零，金屬棒ab勻速下滑的x的長(zhǎng)度時(shí)，其重力勢(shì)能減小了2mgsinθ·x，而金屬棒cd的重力勢(shì)能增加了mgsinθ·x，同時(shí)考慮到安培力F沿斜面向上，安培力做負(fù)功，故有：

W安培力 =-F·x

=f1·x+f2·x+mgsinθ·x-2mgsinθ·x （6）

易知安培力F=mg（sinθ-3μcosθ）.

同理可得金屬棒ab的運(yùn)動(dòng)速度為：

v=mgRB2L2（sinθ-3μcosθ） （7）

可見，采用功能分析法求解“細(xì)繩連接體”有時(shí)可以大大簡(jiǎn)化過程，快速解決相關(guān)物理問題.

例2 由光滑豎直桿、不可伸長(zhǎng)的輕繩、輕彈簧、理想滑輪、質(zhì)量分別為m1、m2的滑塊P和Q組成如圖2所示裝置.彈簧的勁度系數(shù)為k，自然長(zhǎng)度等于水平距離BC，滑塊Q與桌面間的摩擦因數(shù)為μ，最初滑塊P靜止于A點(diǎn)，且AB=BC=h，繩已拉直.現(xiàn)令滑塊P落下，求滑塊P下落到B處時(shí)的速度.

解 視重力為外力，利用功能分析法進(jìn)行處理.假設(shè)滑塊P下落到B處時(shí)的速度為v，彈簧處于自然長(zhǎng)度時(shí)彈性勢(shì)能等于零，則滑塊由A下落到B處的過程中，系統(tǒng)的摩擦損耗為μm2gh，動(dòng)能增量為12（m1+m2）v2，彈性勢(shì)能減小量為12k（Δl）2，其中Δl為彈簧在A點(diǎn)時(shí)比原長(zhǎng)的伸長(zhǎng)量，故重力所做的功：

W重力 =m1gh=μm2gh+12（m1+m2）v2-12k（Δl）2 （8）

易知Δl=AC-BC=（2-1）h，故有：

v=2（m1-μm2）gh+kh2（2-1）2m1+m2 （9）

3 結(jié)語

近年來，“細(xì)繩連接體”問題備受高考命題專家的關(guān)注，因此探討除了常規(guī)的整體法和隔離法之外的方法是非常有意義的.通過上面兩則典型案例可以發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用功能分析法解決“細(xì)繩連接體”問題，重點(diǎn)在于把握整個(gè)系統(tǒng)的外力做功及能量變化關(guān)系，通過考慮整個(gè)系統(tǒng)在某個(gè)外力作用下運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變而引起的動(dòng)能、勢(shì)能的變化及摩擦損耗，構(gòu)建能量變化關(guān)系式，從而可以化難為易，快速解決相關(guān)問題.