金毅 袁海泉

1 剖析“圖象轉(zhuǎn)換策略”

在中學(xué)的物理學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生會(huì)接觸到大量函數(shù)圖象，例如v-t圖象和x-t圖象，它們是對(duì)客觀物理量的一種表示.這些函數(shù)圖象不僅描述了因變量隨自變量變化而變化的關(guān)系，而且由于物理量之間的邏輯關(guān)聯(lián)，圖象之間還存在著因果關(guān)系.在解決某些特定物理問(wèn)題時(shí)，我們將物理量的函數(shù)圖象作為條件，根據(jù)已知的公理、定理等經(jīng)過(guò)演算和邏輯推理得到目標(biāo)物理量的函數(shù)圖象，在這一過(guò)程我們利用的思想方法將其稱(chēng)為“圖象轉(zhuǎn)換法”.那么“圖象轉(zhuǎn)換法”的本質(zhì)是什么呢？實(shí)際上，圖象轉(zhuǎn)換法就是函數(shù)圖象思想與轉(zhuǎn)化思想的有機(jī)結(jié)合.這一思維方法不僅以物理規(guī)律和定律為基礎(chǔ)，利用函數(shù)概念和性質(zhì)去分析和轉(zhuǎn)化問(wèn)題，并且用圖象這種具體和形象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言作為工具，描述物理量的變化，從而解決問(wèn)題.

在中學(xué)物理教學(xué)和學(xué)習(xí)中，“圖象轉(zhuǎn)換策略”常運(yùn)用在純運(yùn)算無(wú)法完全解決的物理問(wèn)題中，借助物理圖象輔助定性呈現(xiàn)物理過(guò)程的變化，提高解決問(wèn)題的效率和準(zhǔn)確性.主要的應(yīng)用流程如圖1所示：

在解決與函數(shù)圖象有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，首先要明確已知條件量與目標(biāo)量之間的物理邏輯關(guān)系：“是線(xiàn)性關(guān)系還是非線(xiàn)性關(guān)系？有沒(méi)有具體的定理明確兩者的關(guān)系？”然后要根據(jù)條件圖象的特點(diǎn)建立與目標(biāo)圖象的關(guān)系，例如條件圖象的斜率，面積，交點(diǎn)等來(lái)決定用何種數(shù)學(xué)方法分析，例如求導(dǎo)，積分，建立函數(shù)關(guān)系等等.接下來(lái)，根據(jù)以上分析結(jié)論定性地繪制目標(biāo)圖象，其中在遇到臨界點(diǎn)和拐點(diǎn)等特殊情況時(shí)需要特別注意，判斷其對(duì)目標(biāo)量變化趨勢(shì)的影響.最后，根據(jù)所求得出結(jié)論，問(wèn)題得到解決.

圖象作為物理量的實(shí)際表征，它的生成過(guò)程是將具體的物理過(guò)程抽象成函數(shù)之后再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象.它是將物理變化由具體轉(zhuǎn)化為抽象再由抽象轉(zhuǎn)化為形象圖表的過(guò)程，其對(duì)于培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的抽象思維和數(shù)形結(jié)合思想有著極其重要的意義.教師運(yùn)用圖象轉(zhuǎn)換的策略，不僅可以直觀呈現(xiàn)物理問(wèn)題，提高解決問(wèn)題的效率，而且可以幫助學(xué)生通過(guò)視覺(jué)表征的形式記憶和提煉學(xué)習(xí)結(jié)果，實(shí)現(xiàn)教學(xué)形式與教學(xué)方法的最優(yōu)化.圖象轉(zhuǎn)換實(shí)際上是函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化思想的結(jié)合，將數(shù)學(xué)與物理密切聯(lián)系，是幫助學(xué)生開(kāi)發(fā)和鍛煉思維，熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的良好手段.

2 勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的圖象轉(zhuǎn)換

勻變速問(wèn)題是高中物理運(yùn)動(dòng)學(xué)中重要的部分，在這一專(zhuān)題中主要涉及的是v-t圖象和x-t圖象.某對(duì)象的v-t圖象的斜率表示加速度a，其v-t圖象與坐標(biāo)軸圍成的面積表示相應(yīng)時(shí)間的位移x，這與它的x-t圖象正是一種積分關(guān)系.相反，x-t圖象的斜率就是表示該時(shí)刻的速度v，與v-t圖象是微分關(guān)系.

例1 一輛汽車(chē)從靜止開(kāi)始由甲地出發(fā)，沿平直公路開(kāi)往乙地，汽車(chē)先做勻加速運(yùn)動(dòng)，接著做勻減速運(yùn)動(dòng)，開(kāi)到乙地剛好停止，其v-t圖象如圖2所示，那么

0～t0 和t0～3t0，兩段時(shí)間內(nèi)

A.加速度大小之比為3∶1

B.位移大小之比為1∶2

C.平均速度大小之比2∶1

D.平均速度大小之比為1∶1

圖象轉(zhuǎn)換優(yōu)勢(shì)分析：圖象轉(zhuǎn)換可以直觀地表現(xiàn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化，反映a、v、x三個(gè)物理量之間的關(guān)系.例如本題中條件量是速度v，則加速度a為v-t圖象的斜率，得到0～t0和t0～3t0，兩短時(shí)間內(nèi)斜率分別是

v0t0和

-v02t0

.因此我們可以根據(jù)v-t圖象畫(huà)出a-t圖象，如圖3，這實(shí)際上是v-t圖象的微分過(guò)程.而v-t圖象與坐標(biāo)軸圍成的面積表示該汽車(chē)相應(yīng)時(shí)間的位移x，與它的正是一種積分關(guān)系，如圖4.x-t圖象的描繪對(duì)思維能力的要求較高，教師如果此時(shí)稍加引導(dǎo)，抓住積分關(guān)系得到x-t圖象，能幫助學(xué)生建立勻變速運(yùn)動(dòng)整體模型，是建立運(yùn)動(dòng)全局觀的良性訓(xùn)練.

3 變力做功問(wèn)題的圖象轉(zhuǎn)換

在功能關(guān)系的知識(shí)板塊中，學(xué)生經(jīng)常遇到的變力做功問(wèn)題.當(dāng)變力與物體位移線(xiàn)性相關(guān)時(shí)（例如空氣阻力），我們可以利用F-x圖象來(lái)得到該力做功的大小，因?yàn)镕-x圖象在該段位移里對(duì)物體所做的功在數(shù)值上正好等于F-x圖象所圍成的面積.同時(shí)，利用圖象轉(zhuǎn)換的方法，我們也可以得到該物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的相關(guān)的a-t圖象、v-t圖象，這對(duì)于學(xué)生分析變力作用下物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有很大的幫助.

例2 一顆m=0.1kg的靜止的小球從高達(dá)10m的樓層下落，下落過(guò)程中有空氣阻力f阻，且f阻=kx，其中k=0.2N/m，x為下落的位移，求下落至地面時(shí)小球的速度為多少？（取g=10m/s2）

圖象轉(zhuǎn)換優(yōu)勢(shì)分析：結(jié)合函數(shù)圖象以及圖象之間的轉(zhuǎn)換，可以避免復(fù)雜的代數(shù)計(jì)算，定性的幫助學(xué)生分析物理過(guò)程.例如本題，對(duì)于根據(jù)f阻=kx可以得到空氣阻力的f阻-x圖象，如圖5.那么在下落過(guò)程中對(duì)該物體進(jìn)行受力分析，利用牛頓定律得mg-kx=ma，由此可知，小球的加速度不斷減小，直到重力與空氣阻力相同時(shí)加速度減小為零，因此我們就可以得到a-t 圖象（圖6）.此時(shí)，學(xué)生得到的結(jié)論是：當(dāng)mg=kx0時(shí)，小球加速度為零，勻速運(yùn)動(dòng)，所以利用a-t圖象，運(yùn)動(dòng)對(duì)象的物理情境清晰展現(xiàn)在學(xué)生腦海中.令此時(shí)的時(shí)刻為t0，可得此時(shí)位移x0=5m<10m，所以小球在著陸之前就已經(jīng)勻速運(yùn)動(dòng)了.根據(jù)f-x圖象在該段位移x0里對(duì)物體所做的功在數(shù)值上等于f-x圖象所圍成的面積，可以得到空氣阻力做的功Wf=12kx2 ，再利用動(dòng)能定理，得mgx0-12kx20=12mv2-12mv20就可以得到勻速時(shí)的速度大小.而與此同時(shí)，利用微積分思想的圖象轉(zhuǎn)換思路也可以得到v-t圖象（圖7），將該物體運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)用圖象定性描繪出來(lái)，由圖能得到的新結(jié)論是：該物體做的是變加速運(yùn)動(dòng)，它在空中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度就是物體著陸時(shí)的速度.那么此時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考，假如該物體下落的高度小于5m，物體下落時(shí)加速度和速度是如何變化的？根據(jù)a-t、v-t圖象答案就呼之欲出了.這個(gè)過(guò)程是在引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，加深了學(xué)生對(duì)于此類(lèi)物理過(guò)程本質(zhì)的理解.

4 電、磁場(chǎng)問(wèn)題的圖象轉(zhuǎn)換

帶電粒子在變化的電、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題涉及到力學(xué)和電、磁場(chǎng)知識(shí)的綜合運(yùn)用.在電場(chǎng)中，電場(chǎng)力的改變使得對(duì)象受力發(fā)生周期性改變，從而運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也隨之改變，因此，我們可以從U-t圖象通過(guò)圖象推導(dǎo)得到v-t圖象，進(jìn)而利用積分關(guān)系分析獲得x-t圖象；在磁場(chǎng)問(wèn)題中，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，磁場(chǎng)的變化也會(huì)導(dǎo)致感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的改變而改變，由此我們也可以定性描繪出電勢(shì)或電流的變化圖象.

例3 如圖8，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間變化圖象如圖9所示，現(xiàn)有一個(gè)電阻為R，邊長(zhǎng)為l的方框位于磁場(chǎng)中，嘗試畫(huà)出其感應(yīng)電流的變化圖象.

圖象轉(zhuǎn)換優(yōu)勢(shì)分析：教師利用圖象轉(zhuǎn)換策略可以拓寬習(xí)題講解的思路，例如本題的條件量是磁感應(yīng)強(qiáng)度B，目標(biāo)量是感應(yīng)電流I.根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律E=

nΔΦΔt=nSΔBΔt，EμΔBΔt，則IμΔBΔt.即I=ER=l2kR，k為 磁場(chǎng)變化圖象斜率.根據(jù)B-t圖象的斜率，不需要右手螺旋定則的判定，我們可以很快得到I-t圖象，提高了解題效率，如圖10所示.

例4 將如圖11所示的交變電壓加在平行板電容器A、B兩極板上，交變電壓如圖12所示，開(kāi)始B板電勢(shì)比A板電勢(shì)高，這時(shí)有一個(gè)原來(lái)靜止的電子正處在兩板的中間P處，它在電場(chǎng)力作用下開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)A、B兩極板間的距離足夠大，下列說(shuō)法正確的是

A.電子一直向著A板運(yùn)動(dòng)

B. 電子一直向著B(niǎo)板運(yùn)動(dòng)

C.電子先向A板運(yùn)動(dòng)，然后返回向B板運(yùn)動(dòng)，之后在A、B兩板間做周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)

D.電子先向B板運(yùn)動(dòng)，然后返回向A板運(yùn)動(dòng)，之后在A、B兩板間做周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)

圖象轉(zhuǎn)換優(yōu)勢(shì)分析：如本題，根據(jù)公式a=

Fm=Uedm

，不難確定電子所受電場(chǎng)力的變化，從而獲得加速度a變化圖象，如圖13所示，進(jìn)而得到速度v變化圖象，如圖14.從圖中可知，電子在第一個(gè)T/4周期時(shí)向B板做勻加速運(yùn)動(dòng)，T/4到T/2時(shí)勻減速運(yùn)動(dòng)，T/2到3T/4時(shí)反向加速運(yùn)動(dòng)，3T/4到T時(shí)勻減速運(yùn)動(dòng).所以電子是在極板之間周期往復(fù)運(yùn)動(dòng).因此，學(xué)生在利用圖象再現(xiàn)物理情景的同時(shí)，利用圖象轉(zhuǎn)換思路可以拓寬解決問(wèn)題的思維，由原問(wèn)題得到新推論.

例4變式 此時(shí)如果利用微積分思想思考粒子運(yùn)動(dòng)位移的問(wèn)題，就可以通過(guò)v-t圖象定性描繪出x-t圖象，電子在第一個(gè)T/4周期時(shí)向B板運(yùn)動(dòng)斜率為正不斷增大，T/4到T/2時(shí)斜率為正不斷減小，T/2到3T/4時(shí)斜率為負(fù)不斷增大，3T/4到T時(shí)斜率為負(fù)不斷減小，如圖15所示.因此，我們得到的新結(jié)論就是：粒子從中點(diǎn)出發(fā)后是在P點(diǎn)的右半側(cè)運(yùn)動(dòng)，不會(huì)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的左半側(cè).

5 波動(dòng)問(wèn)題的圖象轉(zhuǎn)換

在簡(jiǎn)諧振動(dòng)問(wèn)題中，我們經(jīng)常會(huì)遇到振動(dòng)圖象和波動(dòng)圖象.波動(dòng)圖象（y-x圖象）是所有質(zhì)點(diǎn)某時(shí)刻時(shí)在空間內(nèi)的分布圖象；而振動(dòng)圖象（y-t圖象）是描述某一質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化而變化的圖象.在研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，我們要將兩個(gè)圖象相互結(jié)合對(duì)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)進(jìn)行分析.通過(guò)已知的條件量的圖象，將y-x圖象與y-t圖象的相互轉(zhuǎn)換，可以順利解決簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圖象問(wèn)題.

例5 介質(zhì)中坐標(biāo)原點(diǎn)O處的波源在t=0時(shí)刻開(kāi)始振動(dòng)，產(chǎn)生的簡(jiǎn)諧波沿x軸正向傳播，t0時(shí)刻傳到L處，波形如圖16所示.y-t圖中能敘述x0處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)圖象是

圖象轉(zhuǎn)換思路：題中所給條件圖為t=t0時(shí)刻的波動(dòng)圖象，t0時(shí)刻波傳到了L=3λ處，所以波動(dòng)是從左向右傳播的，且起振方向是向下的.而對(duì)于x處的質(zhì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，在t0時(shí)刻之后運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)應(yīng)與x0左邊的質(zhì)點(diǎn)一致，即向下運(yùn)動(dòng).所以在振動(dòng)圖象中t0右側(cè)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置應(yīng)該低于t0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置，因此只有C選項(xiàng)是正解.本題的難點(diǎn)在于如何從y-x圖象轉(zhuǎn)換到y(tǒng)-t圖象，所以，抓住宏觀的波動(dòng)傳播方向，再聚焦到某個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)趨勢(shì)上，是此類(lèi)問(wèn)題圖象轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵.

例5變式 一列簡(jiǎn)諧橫波沿直線(xiàn)傳播，該直線(xiàn)上平衡位置相距9 m的a、b兩質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖象如圖17所示，下列描述該波的圖象可能正確的是

圖象轉(zhuǎn)換思路：該題考查的是學(xué)生將y-t圖象轉(zhuǎn)換為y-x圖象，剛接觸此題時(shí)，學(xué)生很難把握，不知道a、b點(diǎn)是哪個(gè)離波源更近，因此先假設(shè)簡(jiǎn)諧波由a向b傳播，從振動(dòng)圖象看，b與a相差34+n個(gè)周期，所以a、b距離為c=（34+m）λ=9 m（n=0，1，2……）.若假設(shè)波由b向a傳播，a與b相差14+n個(gè)周期，所以a、b距離c=（14+n）λ=9 m（n=0，1，2……）.本題解決的關(guān)鍵是要在兩種假設(shè)下分別明確a、b的相位差，并且要認(rèn)識(shí)到簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期性.

由以上的實(shí)例可以看出，圖象轉(zhuǎn)換策略是教師和學(xué)生需要重視的一種思維模式，在高中學(xué)習(xí)中涉及面較廣，對(duì)學(xué)生知識(shí)能力的考查也很深入.這一策略不僅能夠幫助學(xué)生簡(jiǎn)潔快速地解決問(wèn)題，并且對(duì)于學(xué)生完善物理知識(shí)體系，深化物理思想，提升思維能力都有重要的意義.