李麗花

(上海電力學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 上海 200090)

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一類(lèi)半線性橢圓方程解的冪凹

李麗花

(上海電力學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 上海 200090)

研究了一類(lèi)半線性橢圓方程解的幾何性質(zhì).通過(guò)構(gòu)造粘性凹包絡(luò),以及利用粘性解的性質(zhì),得出了半線性橢圓方程解的冪函數(shù)是凹函數(shù)的結(jié)論.并利用方程的解和其水平集之間的關(guān)系,證明了解的水平集是凸集.

半線性橢圓方程; 冪凹; 水平集

作為偏微分方程的一個(gè)重要研究方向,二階橢圓方程的解及水平集的性質(zhì)引起了研究者的廣泛關(guān)注.在文獻(xiàn)[1]中,KOREVAAR N引進(jìn)了凹極大值原理,并利用該極大值原理和邊界點(diǎn)引理證明了推廣特征函數(shù)方程的解的對(duì)數(shù)函數(shù)為凹函數(shù).KAWOHL B和KENNINGTON A分別減弱了KOREVAAR N極大值原理中的條件,并利用簡(jiǎn)化的凹極大值原理得到了橢圓方程的解的凸性[2-3].

在文獻(xiàn)[4]中,CAFFARELLI L和FRIEDMAN A證明了在二維區(qū)域中滿足一定條件的橢圓方程的凸解具有常秩的Hessian矩陣.該常秩定理可以和連續(xù)性方法結(jié)合起來(lái),用來(lái)證明解的嚴(yán)格凸性.KOREVAAR和LEWIS給出了n維區(qū)域中橢圓方程的常秩定理[5],文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]分別給出了復(fù)拉普拉斯方程和拋物方程的常秩定理.

在文獻(xiàn)[8]中,ALRAVEZ O Z等人通過(guò)構(gòu)造粘性包絡(luò)來(lái)研究橢圓方程的解的凸性.該方法的主要特點(diǎn)是證明方程的解等于它所對(duì)應(yīng)的粘性包絡(luò),從而得到原方程的解的凹凸性.利用這種方法,MCCUAN J得到了一類(lèi)非線性橢圓方程的解的凹性[9].

本文利用構(gòu)造粘性凹包絡(luò)的方法,利用粘性解的比較原理,得到了一類(lèi)半線性橢圓方程的解的冪凹,并證明了解的水平集為凸集,得到了半線性橢圓方程的解的幾何性質(zhì).

1 粘性凹包及性質(zhì)

定義1 設(shè)Ω為Rn中有界區(qū)域,v為定義在Ω上的連續(xù)函數(shù),v的凹包絡(luò)v*定義為:

若存在x∈Ω,使得v(x)=v*(x),則Dv(x1)=…=Dv(xk),且D2v(xi)≤0,i=1,2,3,…,k.

定義2 設(shè)Sn為n階對(duì)稱(chēng)矩陣的集合,F為定義在Ω×R×Rn×Sn上的連續(xù)函數(shù),若對(duì)固定(r,p)∈v(Ω)×Dv(Ω),當(dāng)A≥B,即A-B半正定時(shí),有:

則稱(chēng)F為橢圓的.

定義3 設(shè)φ為定義在Ω上的光滑函數(shù),滿足φ≥v*且φ(x)=v*(x),F為橢圓函數(shù),若:

則稱(chēng)v*為橢圓方程F(x,v,Dv,D2v)=0在Ω上的粘性下解.

引理1 設(shè)φ為定義在Ω上的光滑函數(shù),φ≥v*且φ(x)=v*(x),I為n階單位矩陣,有[9]:

2 解的冪凹及水平集的凸性

定理1 設(shè)Ω為Rn中有界凸域,n≥2,u為定義在Ω上的光滑函數(shù),且滿足方程

(1)

因此,式(1)可化為:

令:

因?yàn)関≥0,所以F滿足橢圓性條件.構(gòu)造v的凹包絡(luò)v*,由定義1可得v*≥v.

設(shè)φ為定義在Ω上的光滑函數(shù),滿足φ≥v*且φ(x)=v*(x),則有:

(2)

對(duì)于式(2)中第一項(xiàng),由引理1可得:

(3)

利用式(3)和引理2,有:

由此,我們可得:

(4)

因?yàn)関(xi)為方程F(x,v,Dv,D2v)=0的解,所以式(4)等于零,故:

又v*(x)≥0,因此:

定理2 設(shè)Ω為Rn中有界凸域,n≥2,u為定義在Ω上的光滑函數(shù),且滿足方程:

證 明 對(duì)于ξ∈(0,1),x1∈Ωc,x2∈Ωc,我們需要證明ξx1+(1-ξ)x2∈Ωc.

利用水平集的定義,可得:

(5)

由式(5)可得:

故ξx1+(1-ξ)x2∈Ωc,即u的水平集Ωc為凸集,定理2證畢.

3 結(jié) 語(yǔ)

本文通過(guò)構(gòu)造粘性包絡(luò),利用粘性解的比較原理,得到了一類(lèi)半線性橢圓方程的解的冪凹.并由解的冪凹,證明了解的水平集為凸集,給出了半線性橢圓方程的解的良好的幾何性質(zhì).

[1] KOREVAAR N.Convex solutions to nonlinear elliptic and parabolic boundary value problems[J].Indiana Univ.Math.J,1983,32(4):73-82.

[2] KAWHOL B.Rearrangements and Convexity of Level Sets in PDE[M].New York:Lectures Notes in Math,Springer-Verlag,1985:31-65.

[3] KENNINGTON A.Power concavity and boundary value problems[J].Indiana Univ.Math.J,1985,34(3):687-704.

[4] CAFFARELLI L,FRIEDMAN A.Convexity of solutions semilinear equations[J].Duke Math J.,1985,52(1):431-456.

[5] KOREVAAR N,LEWIS J.Convex solutions of certain elliptic P.D.E.'s have constant rank Hessians[J].Arch.Rat.Mech.Anal,1987,97(2):19-32.

[6] HAN F,MA X N,WU D M.A constant rank theorem for Hermitian k-convex solutions of complex Laplace equations[J].Meth.Appl.Anal,2009,16(2):263-290.

[7] CHEN C Q,SHI S J.Curvature estimates for the level sets of spatial Quasiconcave solutions to a class of parabolic equations[J].Sci.China.Math,2011,54(10):2 063-2 080.

[8] ALVARE O Z,LASRY J M,Lions P L.Convex viscosity solutions and state constraints[J].J.Math.Pures.Appl,1997,9(3):265-288.

[9] MCCUAN J.Concavity quasiconcavity and quasilinear elliptic equations[J].Taiwanese J.Math,2002,6(2):157-172.

(編輯 白林雪)

Power Concavity of Solutions for a Class of Semilinear Elliptic Equations

LI Lihua

(SchoolofMathematicsandPhysics,ShanghaiUniversityofElectricPower,Shanghai200090,China)

Geometric properties of solutions are investigated for a class of semilinear elliptic equations.Firstly,by constructing viscosity concave envelope and using properties of viscosity solution,power concavity is obtained for the solutions of semilinear elliptic equations.Then,taking advantage of the relationship between the solutions of equations and their level sets,convexity of the level sets is proved.

semilinear elliptic equation; power concavity; level set

10.3969/j.issn.1006-4729.2016.05.020

2015-09-02

簡(jiǎn)介：李麗花(1979-),女,博士,副教授,江西上饒人.主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)分析與集成.E-mail:dlxyllh2004@163.com.

O175.25

A

1006-4729(2016)05-0507-03