吳垣甫， 王久法， 高 頻

(1. 重慶大學(xué) 自動化學(xué)院，重慶 400044; 2. 中國船舶重工集團(tuán)公司第七一○研究所，宜昌 443003)

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活塞聲源膜板在彈性邊界條件下的線譜分析

吳垣甫1， 王久法2， 高 頻2

(1. 重慶大學(xué) 自動化學(xué)院，重慶 400044; 2. 中國船舶重工集團(tuán)公司第七一○研究所，宜昌 443003)

平行四邊形活塞聲源模擬艦船聲場線譜特征時，為了實現(xiàn)其具有較高的效率，應(yīng)保證聲源膜板結(jié)構(gòu)的固有頻率與線譜頻率相等，因此，分析膜板結(jié)構(gòu)的振動特性具有重要意義。采用改進(jìn)Fourier級數(shù)的方法建立平行四邊形膜板結(jié)構(gòu)的振動模型，通過在膜板結(jié)構(gòu)的四邊上布置彈簧來模擬任意彈性邊界條件，結(jié)構(gòu)的振動位移函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)的二維Fourier余弦級數(shù)和輔助級數(shù)的線性組合。通過輔助級數(shù)的引入，解決了位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在邊界潛在的不連續(xù)的問題，從而使此法適用于任意的彈性邊界條件。結(jié)合Hamilton原理，推導(dǎo)出平行四邊形板結(jié)構(gòu)振動方程的矩陣表達(dá)示，板結(jié)構(gòu)的振動參數(shù)可通過求解矩陣值得到。最后進(jìn)行了數(shù)值仿真，求解出結(jié)構(gòu)在不同參數(shù)下的線譜頻率，并與文獻(xiàn)以及有限元結(jié)果進(jìn)行對比，驗證了該方法的精確性。

平行四邊形板；改進(jìn)的傅里葉級數(shù)；彈性邊界條件；Hamilton原理

活塞聲源作為一種重要的聲源模擬結(jié)構(gòu)， 廣泛應(yīng)用于軍事領(lǐng)域以及工程領(lǐng)域中。 如在反水雷、反潛作戰(zhàn)中，活塞聲源常用于模擬艦船和潛艇的聲場。艦船和潛艇的聲場是由機械噪聲、螺旋槳噪聲和水動力噪聲組成，其在低頻區(qū)具有多個線譜。由于線譜比連續(xù)譜的譜級高，因此，活塞聲源在模擬線譜時需要具有更高的效率，即活塞聲源膜板結(jié)構(gòu)工作在固有頻率處。為了充分發(fā)揮活塞聲源的功能，研究活塞聲源膜板結(jié)構(gòu)的振動特性具有重要的意義。

目前，活塞聲源膜板常見的結(jié)構(gòu)有圓形板以及矩形板。由于平行四邊形獨特的結(jié)構(gòu)，通過改變兩邊的夾角可以靈活控制結(jié)構(gòu)的振動特性，近年來，平行四邊形板也開始應(yīng)用于活塞聲源中。為了提高平行四邊形活塞聲源在模擬艦船聲場線譜的效率和準(zhǔn)確度，平行四邊形板結(jié)構(gòu)的振動特性研究成為了迫切需要解決的問題。雖然，許多學(xué)者對板結(jié)構(gòu)的振動特性進(jìn)行了大量的研究，并取得了豐碩的成果。不過，這些成果主要針對矩形板結(jié)構(gòu)，平行四邊形板結(jié)構(gòu)由于振動方程的復(fù)雜性，其振動特性的研究還不深入。

為了研究平行四邊形板結(jié)構(gòu)的振動特性，需要建立振動控制方程和邊界約束方程，以及對振動控制方程和邊界條件所構(gòu)成邊值問題的求解。目前，建立振動控制方程的理論主要有Kirchhoff理論、Mindlin理論、Ressner 理論以及三維理論等，與Kirchhoff理論相比，后三種理論可以建立更精確的方程。不過，工程中常見的平行四邊行板結(jié)構(gòu)大多為薄板結(jié)構(gòu)，其厚寬比遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1，Kirchhoff理論的精度也將滿足要求，因此，大多學(xué)者均采用Kirchhoff理論。

對于振動方程的求解，主要有Rayleigh-Ritz法、疊加法、有限元法以及微分求積法等。如MIZUSAWA等[1-2]采用Rayleigh-Ritz法研究了平行四邊形板在不同邊界條件下的振動、屈曲和彎曲解問題。GORMAN[3]在直角坐標(biāo)系下采用單Fourier級數(shù)疊加法得到了平行四邊形板結(jié)構(gòu)自由振動解。MCGEE等[4]用四邊形等參單元，分析了懸臂邊界條件下的平行四邊形板的振動特性。WOO等[5]使用P型有限元法分析了四邊形板的自由振動特性。王克林等[6-7]采用疊加法對簡支平行四邊形板結(jié)構(gòu)在面內(nèi)張力和剪力作用下自由振動、屈曲和彎曲問題作了全面的研究，在此基礎(chǔ)上，分析了有自由邊的平行四邊形板的自由振動解。LAI等[8-13]采用微分求積等新方法對平行四邊形板的振動特性進(jìn)行了研究。

不過，這些方法都有自身的缺點，如Rayleigh-Ritz法需要選取合適的撓度函數(shù)，而撓度函數(shù)和邊界條件有關(guān)，其選擇比較困難；疊加法需要將邊界條件進(jìn)行分解，需要較高的技巧性；有限元法適用于中低頻段的求解；微分求積法的加權(quán)系數(shù)和樣點的選擇規(guī)則還不明確。

同時，這些研究在建立邊界約束方程時，為了簡化復(fù)雜邊界條件帶來的困難，將其局限為固支、簡支和自由三種類型的邊界條件。雖然這使問題得以簡化，但也使研究結(jié)果具有了一定的局限性。從工程實際角度看，平行四邊形板結(jié)構(gòu)的邊界條件并非僅僅局限于這幾種經(jīng)典邊界條件，還存在著均勻彈性支撐等復(fù)雜的邊界條件，建立平行四邊形板在彈性支撐下的振動模型具有重要的意義。

針對目前平行四邊行活塞聲源膜板結(jié)構(gòu)的振動研究在邊界條件以及求解方法的局限性，本文基于Kirchhoff理論，采用改進(jìn)Fourier級數(shù)方法分析了平行四邊形板在彈性邊界條件的振動特性。采用橫向位移約束彈簧和旋轉(zhuǎn)位移約束彈簧來模擬結(jié)構(gòu)的任意彈性邊界條件。結(jié)構(gòu)的振動位移函數(shù)描述為標(biāo)準(zhǔn)的二維Fourier級數(shù)和四項輔助的單Fourier級數(shù)的線性組合，通過輔助級數(shù)的引入，解決位移函數(shù)在邊界潛在的不連續(xù)性問題，使振動位移函數(shù)能夠適用于任意的彈性邊界條件。結(jié)合Hamilton原理，建立了平行四邊形板的振動模型。最后給出了數(shù)值分析結(jié)果，求解了板結(jié)構(gòu)的振動特性，討論了結(jié)構(gòu)參數(shù)及邊界條件對活塞聲源線譜頻率的影響，并與文獻(xiàn)以及有限元法的結(jié)果進(jìn)行了對比，驗證本方法的準(zhǔn)確性。

1 理論模型的建立

本文所研究的平行四邊形活塞聲源膜板如圖1所示，板長為a，寬為b，厚度為h，相鄰兩邊的夾角為α。為了模型的通用性，板結(jié)構(gòu)的邊界條件通過在四個邊界處分別設(shè)置橫向位移約束彈簧和旋轉(zhuǎn)約束彈簧兩種類型的彈簧，通過改變彈簧的剛度值來對任意的邊界條件進(jìn)行模擬。所有的經(jīng)典邊界條件都能夠通過將三種彈簧系數(shù)設(shè)置為無窮大或零來獲得。

圖1 任意邊界條件下板結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 A plate with general elastic boundary support

例如將四邊上的橫向位移約束彈簧的剛度值設(shè)置為無窮大，而將四邊上的旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度值設(shè)置為零，就相當(dāng)于模擬了四邊簡支的邊界條件；將四邊上的橫向位移約束彈簧和旋轉(zhuǎn)約束彈簧的剛度值均設(shè)置為零，就相當(dāng)于模擬了四邊自由的邊界條件。

為了便于建立平行四邊形活塞聲源膜板的振動方程，取如圖1所示的斜坐標(biāo)系0ξη，其坐標(biāo)軸分別沿著平行四邊形的兩邊。根據(jù)幾何關(guān)系，可建立斜坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系間的關(guān)系：

ξ=x-ytanβ

(1)

η=ysecβ

(2)

式中:β為斜坐標(biāo)系0η軸與直角坐標(biāo)系0y軸的夾角，β=π/2-α。斜坐標(biāo)系中薄板的振動控制方程為

(3)

式中:w為平行四邊形膜板的振動位移。直角坐標(biāo)系為斜坐標(biāo)系β=0時的特殊情況，當(dāng)時，式(3)即為矩形板的振動控制方程。

由力學(xué)知識可得，平行四邊形膜板結(jié)構(gòu)的Hamilton方程為：

(4)

式中:V為平行四邊形膜板結(jié)構(gòu)的總勢能，T為平行四邊形膜板結(jié)構(gòu)的總動能，Wext為外力做的功。對圖1所示的板結(jié)構(gòu)，總勢能可寫為：

V=Vplate+Vspring

(5)

式中:Vplate為膜板矩形板的勢能，Vspring為模擬邊界條件的彈簧勢能。

式中:

(6)

(7)

(8)

(9)

如果外載荷為集中力，則外載荷的表達(dá)式為：

f(ξ,η)=Fδ(ξ-ξ0)δ(η-η0)

(10)

此時的外載荷所做功的表達(dá)式為

(11)

式中:δ為Delta函數(shù)，F(xiàn)為力的幅值，ξ0和y0為外力作用點的坐標(biāo)值，ρ為密度，μ為泊松比，h為厚度，D=Eh3/(12(1-μ2))為彎曲剛度。

kξ0和Kξ0(kξa和Kξa) 分別為ξ=0(ξ=a)處橫向位移和旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度，kη0和Kη0(kηb和Kηb)分別為η=0(η=b)處橫向位移和旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度。

2 振動位移函數(shù)

平行四邊形活塞聲源膜板的位移函數(shù)可通過沿ξ和η軸方向的兩個分量來描述，本文中，位移采用二維改進(jìn)Fourier級數(shù)展開來表示[14-15]：

(12)

式中：λm=mπ/a，λn=nπ/b，Amn、clm、dln分別為用來描述板結(jié)構(gòu)彎曲振動未知的Fourier系數(shù)和輔助級數(shù)的系數(shù)。與x相關(guān)的輔助函數(shù)分別表示為：

(13)

(14)

(15)

(16)

從式(12)可以看出，振動位移函數(shù)展開時除了標(biāo)準(zhǔn)的二維Fourier級數(shù)，還有四項輔助的單Fourier級數(shù)。在四條邊界上，撓度和轉(zhuǎn)角關(guān)于ξ和η的一階偏導(dǎo)潛在的不連續(xù)將有效地轉(zhuǎn)移到了輔助項，因此，位移函數(shù)和轉(zhuǎn)角函數(shù)在整個板的求解域內(nèi)展開時都有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)。所以這種Fourier級數(shù)解形式，不僅適用于任意邊界條件，也可以改善級數(shù)的收斂性。

將式(12)～(16)代入Hamilton方程(2)中，對未知Fourier系數(shù)求極值，這樣就能夠得到一個線性方程組，寫成矩陣表達(dá)式為

(K-ω2M)A=F

(17)

式中:A和F分別為未知的Fourier系數(shù)向量和外部載荷作用向量，其形式為

A={A0,0,A0,1,…，AM,N,c11,c12,…，

c1M,c21,c22,…，c2M,c31…，c4M,d11,d12,…，

d1N,d21,d22,…，d2N,d31…，d4N}T

(18)

F具有與A相同的向量形式，當(dāng)F=0時，即可進(jìn)行模態(tài)分析。M為平行四邊形板結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣，K為剛度矩陣，其形式為：

(19)

(20)

{M11}s,t=

(21)

{M12}s,m′+1=

(22)

{M13}s,m′+1=

(23)

{M14}s,m′+1=

(24)

{M15}s,m′+1=

(25)

{M16}s,n′+1=

(26)

{M17}s,n′+1=

(27)

{M18}s,n′+1=

(28)

{M19}s,n′+1=

(29)

式 (21)～(29)給出了質(zhì)量矩陣M的第一行子矩陣，M和K的其它子矩陣可以依此形式寫出，式中m′=0,1,…,M，m=0,1,…,M，n′=0,1,…,N，n=0,1,…，N，s=m(N+1)+n+1,t=m′(N+1)+n′+1,M、N表示展開級數(shù)的截斷值，其數(shù)值依據(jù)結(jié)果所需要達(dá)到的精度來確定。

3 數(shù)值計算

平行四邊形活塞聲源膜板的結(jié)構(gòu)及其材料參數(shù)為：板的長度為a，寬度為b，長寬比為a/b，板的厚度h=0.005 m，板的密度ρ=2 700 kg/m3，結(jié)構(gòu)阻尼因子為η=0.01，彈性模量E=70 GPa，泊松比μ=0.3。文中為了表述方便，用C表示固支邊界條件，F(xiàn)表示自由邊界條件，S表示簡支邊界條件。

為了驗證本文方法的準(zhǔn)確性，表1給出了平形四邊形活塞聲源膜板在不同夾角和不同邊界條件下的前六階無量綱線譜頻率ωa2(ρh/D)1/2，同時給出了有限元法、文獻(xiàn)[11]中微分求積法以及文獻(xiàn)[16]中解析法求得的結(jié)果?？梢园l(fā)現(xiàn)本方法的結(jié)果和精確值的結(jié)果吻合良好，兩者的誤差在1%內(nèi)。在本文計算過程中，兩個方向的位移展開采用相同的截斷數(shù)，表1中的值是M=N=12時的計算結(jié)果。

表1 平行四邊形膜板的線譜頻率

對于給定的線譜頻率，將求解的未知系數(shù)代入振動位移方程(12)中，可以很方便地得到各點的位移。圖2給出了采用本文方法得到的平形四邊形膜板在SFCF邊界條件下的前四階振型，平行四邊形膜板的a/b=1，兩邊的夾角α=π/6。為了驗證本方法的準(zhǔn)確性，圖3給出了采用有限元法得到前四階振型。通過比較，可以看出本文方法振型圖與有限元法得到的結(jié)果基本相同。

圖2 SFCF平行四邊行膜板的前四階振型Fig.2 The first four mode shapes for SFCF tapered plates

圖3 SFCF平行四邊形板的前四階振型(ansys)Fig.3 The first four mode shapes for SFCF tapered plates with ansys

為了檢驗本文方法的收斂性，表2給出了平行四邊形膜板在不同截斷數(shù)下的前六階線譜頻率，板的邊界條件為CFFS，板的a/b=1，兩邊的夾角α=π/6，截斷數(shù)M=N為6到18。為了評價收斂精度，表中給出了相對誤差ε，表示截斷數(shù)取相鄰的兩整數(shù)時前六階的最大相對偏差ε。ε=max{[(Ωi)Z-(Ωi)Z+1]/(Ωi)Z×100%}，其中，(Ωi)Z表示截斷數(shù)M=N=Z時，變厚板的第i階無量綱振動頻率。從表中可以看出，截斷數(shù)取較小值時就能得到精確的結(jié)果，而且隨著截斷數(shù)的增加，結(jié)果得到一致性改善，即本方法有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。在實際計算時，截斷數(shù)根據(jù)相對誤差選取，本文下面的算例中，截斷數(shù)取為相對誤差小于0.1%時的值。

表2 不同截斷數(shù)下平行四邊形膜板的線譜頻率

由于處理彈性邊界條件在數(shù)學(xué)處理上的復(fù)雜性，傳統(tǒng)方法大多只研究板結(jié)構(gòu)在經(jīng)典邊界條件下的振動特性，而忽略了對彈性邊界條件的研究。本方法采用約束彈簧來模擬邊界條件，通過將其作為振動方程中的一個參數(shù)，使邊界條件的問題轉(zhuǎn)化為彈簧剛度參數(shù)設(shè)置的問題，從而便于研究邊界條件對振動特性的影響。

表3給出了邊界條件為CFFF的平行四邊形膜板在ξ=0邊上的橫向位移彈簧剛度變化時的前六階無量綱線譜頻率ωa2(ρh/D)1/2，kξ0=K×D，K為彈簧剛度系數(shù)，板的a/b=1，兩邊的夾角α=π/4。從表3可以看出，隨著橫向位移彈簧剛度值的增大，板的線譜頻率隨之增加，彈簧剛度系數(shù)K的影響范圍主要集中在D～10 000×D，當(dāng)彈簧剛度系數(shù)K增加到106時，振動頻率基本上趨于恒定。

4 結(jié) 論

本文采用改進(jìn)Fourier級數(shù)方法建立了平行四邊形活塞聲源膜板的振動模型，分析了其在彈性邊界條件的線譜頻率。為了模型的通用性，板結(jié)構(gòu)的邊界條件采用橫向位移約束彈簧和旋轉(zhuǎn)位移約束彈簧來模擬。平行四邊形活塞聲源膜板的振動位移函數(shù)描述為標(biāo)準(zhǔn)的二維Fourier級數(shù)和四項輔助的單Fourier級數(shù)的線性組合，通過輔助級數(shù)的引入，解決位移函數(shù)在邊界潛在的不連續(xù)性問題，使振動位移函數(shù)能夠適用于任意的彈性邊界條件。結(jié)合Hamilton原理，建立了平行四邊形活塞聲源膜板振動方程的矩陣表達(dá)式，板結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型可以通過求解矩陣得到。最后進(jìn)行了數(shù)值仿真，求解了平行四邊形活塞聲源膜板在不同夾角、不同邊界條件下的線譜頻率，并與文獻(xiàn)中的結(jié)果以及有限元法的結(jié)果進(jìn)行了對比，驗證了本方法的準(zhǔn)確性。通過設(shè)置截斷數(shù)M和N為不同的數(shù)值，表明本方法具有很好的收斂性。

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Vibration characteristics analysis of skew plates under elastic boundary conditions

WU Yuanfu1, WANG Jiufa2, GAO Ping2

(1. Chongqing Universtiy, Chongqing 400044, China;2. No. 710 R&D Institute, CSIC, Yichang 433003, China)

An improve Fourier series method was employed to establish the vibration model of a skew plate and to analyze the vibration characteristics of the plate under arbitrary elastic boundary conditions. The vibration displacements were expressed as the linear combination of a two-dimensional Fourier cosine series and suppelmentary series. The supplementary series were used to solve the discontinuity problems encountered for displacement partial differentials along the boundaries. So this method could be applied for arbitrary elastic boundary conditions. Based on Hamilton’s principle, the matrix form for the governing vibration equations of the plate was derived, the natural frequencies and modal shapes of the plate were obtained through solving the eigen-problem of the matrix equation. Finally, the numerical simulations were performed, the natural vibration frequencies of the plate with different boundary conditions were solved. The results were compared with those in literatures and those of FEA, the correctness of the ;proposed method was verified.

skew plates; improved Fourier series; elastic boundary condition; Hamilton’s principle

2015-12-07 修改稿收到日期：2016-03-30

吳垣甫 男，博士，1981年生

TP533

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.019