楊 凱， 張業(yè)偉,2， 丁 虎， 李 響， 陳立群,3

(1.上海大學(xué) 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072；2.沈陽航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部，沈陽 110136； 3.上海大學(xué) 力學(xué)系，上海 200444)

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基于非線性輸出頻響函數(shù)的NES動力學(xué)參數(shù)設(shè)計(jì)

楊 凱1， 張業(yè)偉1,2， 丁 虎1， 李 響1， 陳立群1,3

(1.上海大學(xué) 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072；2.沈陽航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部，沈陽 110136； 3.上海大學(xué) 力學(xué)系，上海 200444)

基于非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)(Nonlinear Output Frequency Response Function, NOFRF)，對引入了被動非線性消振器(Nonlinear Energy Sink，NES)的單自由度振動系統(tǒng)進(jìn)行了分析，從頻域分析的角度評價NES的振動抑制效果，對其進(jìn)行動力學(xué)參數(shù)設(shè)計(jì)。首先，建立了引入NES的振動系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型。然后，通過數(shù)值仿真，對單自由度系統(tǒng)進(jìn)行了非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)分析和輸出頻率響應(yīng)分析，從頻域分析的角度解釋了在原振動系統(tǒng)中引入NES對原系統(tǒng)固有頻率幾乎沒有影響的原因。最后，通過分析NES各參數(shù)對振動抑制效果的影響，對NES進(jìn)行了動力學(xué)參數(shù)設(shè)計(jì)。本文得出的分析結(jié)果對于工程領(lǐng)域中NES的設(shè)計(jì)具有非常重要的指導(dǎo)意義。

非線性消振器；動力學(xué)參數(shù)設(shè)計(jì)；非線性輸出頻響函數(shù)；頻域分析；立方非線性剛度

振動控制在諸如航天等工程領(lǐng)域中具有非常重要的意義[1-2]。相比于主動控制技術(shù)，被動振動控制技術(shù)擁有結(jié)構(gòu)簡單、成本低、不需要外加能源等優(yōu)點(diǎn)，因此在工程領(lǐng)域中應(yīng)用非常廣泛。線性動力吸振器結(jié)構(gòu)簡單，是被動控制領(lǐng)域中最為常見的一種振動抑制裝置。然而，線性動力吸振器最大的缺陷在于它只能在一個特定的頻率附近起到振動抑制的作用，因此，無法實(shí)現(xiàn)寬頻振動抑制。另外，在一個振動系統(tǒng)中引入線性動力吸振器，可能會反過來對原系統(tǒng)的固有頻率產(chǎn)生影響。近年來，隨著對非線性動力學(xué)特性研究的深入，VAKAKIS等[3]提出了一種剛度為硬化立方剛度的NES。相比于線性動力吸振器，NES的最大優(yōu)點(diǎn)在于它可以實(shí)現(xiàn)寬頻振動抑制，并且可以實(shí)現(xiàn)靶能量傳遞(Targeted Energy Transfer, TET)，即在特定條件下，原振動系統(tǒng)的能量會單向地流向NES。

近年來，NES作為被動控制領(lǐng)域的一大研究熱點(diǎn)，國內(nèi)外眾多學(xué)者從實(shí)驗(yàn)到數(shù)值仿真都對其進(jìn)行了廣泛和深入地研究[4-8]。目前，針對NES的研究大部分通過時域響應(yīng)分析或者能量耗散率來評價NES的振動抑制效果，從頻域分析角度評價NES振動抑制效果的文獻(xiàn)相對較少。頻域分析中，一般通過快速傅里葉變換(FFT)分析頻率響應(yīng)來評價NES的振動抑制效果，但是FFT在應(yīng)用到非線性系統(tǒng)中受到限制。

對于線性系統(tǒng)，傳遞率通常定義為輸出頻譜與輸入頻譜之比，由于該定義簡單應(yīng)用，因此也被廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析中。然而，應(yīng)當(dāng)指出,從理論上講該傳遞率定義對于非線性系統(tǒng)是不準(zhǔn)確的[9]。

近年來，LANG等[9-11]提出了一種被稱為非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)(Nonlinear Output Frequency Response Function, NOFRF)的新概念，并已在結(jié)構(gòu)損傷診斷等工程實(shí)踐中得到了一定的應(yīng)用。NOFRF是由Volterra級數(shù)發(fā)展來的頻域概念，可以看成是對線性系統(tǒng)中經(jīng)典的頻率響應(yīng)函數(shù)(Frequency Response Function, FRF)向非線性系統(tǒng)分析的推廣。對于可以用Volterra級數(shù)來描述的非線性系統(tǒng)，廣義頻率響應(yīng)函數(shù)(Generalized Frequency Response Functions, GFRFs)[12-14]和NOFRF可以從兩種不同的角度對非線性系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析。然而，GFRF的最大局限性在于它的多維性，超過三階以上的GRFR的顯示、分析和估計(jì)都將變得極為困難。而相比于GFRF，NOFRF最大的優(yōu)點(diǎn)就在于它的各階次函數(shù)均為一維函數(shù)，可以方便地進(jìn)行顯示和分析，因此，通過引入NOFRF的概念，可以用類似于線性系統(tǒng)分析的方式對非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析。由于NOFRF是在非線性系統(tǒng)的背景下定義的，因此，相比于基于快速傅里葉變換的傳遞率概念，基于NOFRF的傳遞率概念對于非線性系統(tǒng)的頻域分析更加準(zhǔn)確。

本文使用基于非線性輸出頻響函數(shù)的概念對引入了NES的振動系統(tǒng)進(jìn)行了分析，從頻域分析的角度評價NES的振動抑制效果，對其進(jìn)行動力學(xué)參數(shù)設(shè)計(jì)。首先，建立了引入NES的振動系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型。然后，通過數(shù)值仿真，對該非線性系統(tǒng)進(jìn)行了非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)分析和輸出頻率響應(yīng)分析，從頻域分析的角度解釋了在原振動系統(tǒng)中引入NES對原系統(tǒng)固有頻率幾乎沒有影響的原因。接著，通過分析NES各參數(shù)對振動抑制效果的影響，對NES進(jìn)行了動力學(xué)參數(shù)設(shè)計(jì)。仿真結(jié)果表明，對于該系統(tǒng)，通過增加被動非線性消振器的阻尼，同時減小被動非線性消振器的質(zhì)量和非線性剛度，可以減小傳遞率共振頻率處的峰值，從而實(shí)現(xiàn)更好的振動抑制效果。最后，對該系統(tǒng)進(jìn)行了能量耗散率分析，進(jìn)一步從能量耗散率的角度驗(yàn)證了NES的寬頻隔振性能。本文得出的分析結(jié)果對于工程領(lǐng)域中NES的設(shè)計(jì)具有非常重要的指導(dǎo)意義。

1 引入NES的單自由度系統(tǒng)動力學(xué)模型

圖1所示為在單自由度結(jié)構(gòu)中引入了NES的非線性動力學(xué)模型，NES與單自由度系統(tǒng)的質(zhì)量塊連接。該NES具有三次非線性剛度。簡諧位移激勵u作用在基座上。

圖1 單自由度NES系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型Fig.1 A SDOF oscillator with a nonlinear energy sink attached

該非線性系統(tǒng)的控制方程為：

(1)

式中:m1，k1，c1分別為單自由度系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼；m2，k2，c2分別為NES的質(zhì)量、非線性剛度和阻尼；x1為單自由度系統(tǒng)質(zhì)量的位移，x2為NES質(zhì)量的位移，u為簡諧位移激勵。

2 基于非線性輸出頻響函數(shù)的傳遞率分析

對于可以用Volterra級數(shù)來表示的非線性系統(tǒng)，輸出xi(t)和輸入u(t)之間的關(guān)系可以表示為[9]：

xi(t)=

(2)

式中:hn(τ1,…,τn)為Volterra級數(shù)第n階核函數(shù)，N為系統(tǒng)最大非線性階數(shù)。Lang等[12]給出了這一類非線性系統(tǒng)受到一般激勵時的輸出頻率響應(yīng)表達(dá)式：

(3)

式中：X(jω)為系統(tǒng)輸出頻譜，Xn(jω)表示系統(tǒng)第n階輸出頻率響應(yīng)[12]。

Hn(jω1,…,jωn)=

(4)

近年來，Lang和Billings提出了一種非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)(NOFRFs)的概念，定義為[9]：

(5)

在式(5)中，需要滿足[9]

(6)

注意到Gn(jω)在Un(jω)的頻率范圍內(nèi)都有效，該頻率范圍可由文獻(xiàn)[12]中的算法得出。

通過引入非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)Gn(jω)，n=1,…,N，式(3)可以寫為[12]

(7)

該表達(dá)式與線性系統(tǒng)中輸出頻率響應(yīng)的表達(dá)式類似。非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)反映了系統(tǒng)本身和輸入激勵對于系統(tǒng)輸出頻率響應(yīng)的綜合影響。

當(dāng)系統(tǒng)式(2)受到如下簡諧激勵時[15-16],

u(t)=Acos(ωFt+β)

(8)

非線性系統(tǒng)輸出頻譜可以表示為:

(k=0,1,…,n)

(9)

式中：[·]表示取整數(shù)部分[15-16]，

(10)

(11)

本文中，基于非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)的傳遞率定義為：

Tran(jωF)=X(jωF))/U(jωF))=

(12)

式中:U(jωF)為簡諧激勵輸入u(t)的頻譜。

根據(jù)參考文獻(xiàn)[15],對于絕大多數(shù)情況，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，取到系統(tǒng)四階非線性對于基于非線性輸出頻響函數(shù)的分析一般已經(jīng)可以滿足精度要求了，基于方程(9)～(11)，該系統(tǒng)的四階輸出頻率響應(yīng)分量可表示為[15]：

(13)

(14)

(15)

(16)

3 仿真結(jié)果

接著，通過對振動位移傳遞率的仿真分析，研究被動非線性消振器的參數(shù)對傳遞率的影響。分析結(jié)果如圖4～6所示。從圖4中可以看出，通過在該線性系統(tǒng)中引入被動非線性消振器，在整個頻率范圍內(nèi)都減小了振動傳遞率，從而可以實(shí)現(xiàn)寬頻振動抑制效果，并且可以看出，引入被動非線性消振器對原線性系統(tǒng)的固有頻率幾乎沒有影響。另外可以看出，在該系統(tǒng)中，通過增加被動非線性消振器的阻尼，可以在共振峰值處減小傳遞率，從而實(shí)現(xiàn)更好的振動抑制效果。

從圖5中可以看出，在該系統(tǒng)中，通過減小被動非線性消振器的質(zhì)量，可以在共振峰值處減小傳遞率，從而實(shí)現(xiàn)更好的振動抑制效果。

從圖6中可以看出，在該系統(tǒng)中，通過減小被動非線性消振器的非線性剛度，可以在共振峰值處減小傳遞率，從而實(shí)現(xiàn)更好的振動抑制效果。

(a) GH1(jωF)(b) GH2(j2ωF)(c) GH3(jωF)

(d) GH3(j3ωF)(e) GH4(j2ωF)(f) GH4(j4ωF)圖2 非線性系統(tǒng)(1)在簡諧激勵下的各階非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)Fig.2TheNOFRFsofthenonlinearsystem(1)underaharmonicloading

(a) X(jω)(b) X(j2ω)(c) X(j3ω)(d) X(j4ω)圖3 非線性系統(tǒng)(1)在簡諧激勵下的前四階輸出頻率響應(yīng)Fig.3Thefirstfourorderoutputfrequencyresponsesofthenonlinearsystemunderaharmonicloading

圖4 非線性系統(tǒng)(1)在c2=200,3000,8000三種情況下的傳遞率以及不加NES時原線性系統(tǒng)的傳遞率Fig.4Thetransmissibilityofsystem(1)withc2=200,3000,8000andthetransmissibilityoftheprimarylinearsystem圖5 非線性系統(tǒng)(1)在m2=15,20,25三種情況下的傳遞率以及不加NES時原線性系統(tǒng)的傳遞率Fig.5Thetransmissibilityofsystem(1)withm2=15,20,25andthetransmissibilityoftheprimarylinearsystem圖6 非線性系統(tǒng)(1)在k2=1000,3000,8000三種情況下的傳遞率以及不加NES時原線性系統(tǒng)的傳遞率Fig.6Thetransmissibilityofsystem(1)withk2=1000,3000,8000andthetransmissibilityoftheprimarylinearsystem

最后，為了進(jìn)一步從能量耗散率的角度驗(yàn)證該NES的振動抑制效果，對該系統(tǒng)在簡諧激勵頻率分別為1/2共振頻率、共振頻率和2倍共振頻率下進(jìn)行了能量耗散率分析，分析結(jié)果如圖7～9所示。從圖7～9中可以看出，該NES分別在1/2共振頻率、共振頻率和2倍共振頻率激勵下都可以達(dá)到25%左右的能量耗散率，從而從能量耗散率的角度進(jìn)一步驗(yàn)證了NES的寬頻隔振性能。由于該組NES參數(shù)是未經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計(jì)的參數(shù)，因此該NES能量耗散率還不是特別理想。在以后的工作中，作者會繼續(xù)致力于NES的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。

圖7 激振頻率為1/2共振頻率激勵下NES的能量耗散率Fig.7Proportionofdissipatedenergyunderaharmonicloadat1/2oftheresonantfrequency圖8 激振頻率為共振頻率激勵下NES的能量耗散率Fig.8Proportionofdissipatedenergyunderaharmonicloadattheresonantfrequency圖9 激振頻率為2倍共振頻率激勵下NES的能量耗散率Fig.9Proportionofdissipatedenergyunderaharmonicloadattwicetheresonantfrequency

4 結(jié) 論

本文使用基于非線性輸出頻響函數(shù)的概念，對引入了NES的振動系統(tǒng)進(jìn)行了動力學(xué)參數(shù)設(shè)計(jì)。首先，建立了引入NES的振動系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型。然后，對單自由度系統(tǒng)進(jìn)行了非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)分析以及輸出頻率響應(yīng)分析。最后，通過對該系統(tǒng)進(jìn)行傳遞率分析來評價NES各參數(shù)對振動抑制效果的影響，對NES進(jìn)行了動力學(xué)參數(shù)設(shè)計(jì)。

仿真結(jié)果表明，第一階和第三階的非線性輸出頻響函數(shù)要明顯大于其它各階非線性輸出頻響函數(shù)，因此，絕大部分能量會通過這兩階非線性輸出頻響函數(shù)傳遞到第一階輸出頻率響應(yīng)，而通過其它各階非線性輸出頻響函數(shù)傳遞到高階輸出頻率響應(yīng)的能量將是可以忽略的，從而從頻域分析的角度解釋了在線性系統(tǒng)中引入被動非線性消振器幾乎不會影響原線性系統(tǒng)固有頻率的原因。對該非線性系統(tǒng)的輸出頻率響應(yīng)分析也表明，第一階輸出頻率響應(yīng)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其它各高階輸出頻率響應(yīng)，進(jìn)一步證實(shí)了該結(jié)論。

通過振動傳遞率分析，仿真結(jié)果表明，在該線性振動系統(tǒng)中引入NES，可以在整個頻率范圍內(nèi)減小振動傳遞率，實(shí)現(xiàn)寬頻振動抑制。同時，引入被動非線性消振器對原系統(tǒng)的固有頻率幾乎沒有影響。并且發(fā)現(xiàn)，對于該系統(tǒng)，通過增加被動非線性消振器的阻尼，同時減小其質(zhì)量和非線性剛度，可以在共振峰值處減小傳遞率幅值，從而實(shí)現(xiàn)更好的振動抑制效果。

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Parametric design of nonlinear energy sinks based on nonlinear output frequency-response functions

YANG Kai1, ZHANG Yewei1,2, DING Hu1, LI Xiang1, CHEN Liqun1,3

(1. Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics,Shanghai University, Shanghai 200072, China;2. Faculty of Aerospace Engineerings, Shenyang Aerospace University, Shenyang 110136, China;3. Department of Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200444, China)

The concept of transmissibility based on nonlinear output frequency-response functions (NOFRF) was used to evaluate the vibration isolation performance of a nonlinear energy sink (NES) of a single degree of freedom(SDOF) vibration system in frequency domain for NES parametric design. A SDOF structure with a NES attached system was adopted. Numerical simulations of NOFRFs and the frequency responses analysis of the SDOF system were performed. Thus, a physically meaningful explanation was provided for the phenomena introducing a NES into a vibration system with barely change of the resonant frequencies of the original system. Moreover, the effects of NES parameters on the transmissibility of the nonlinear system were evaluated. It was shown that by increasing the viscous damping and decreasing the mass and the cubic nonlinear stiffness of the NES, the transmissibility of the SDOF structure with NES is reduced at the resonant frequency for better vibration isolation performance in this case; therefore, the analysis results achieved in the present study are very important for NES design in engineering practices.

nonlinear energy sink; dynamic parametric design; nonlinear output frequency-response function; frequency domain analysis; cubic nonlinear stiffness

國家自然科學(xué)基金(11402151;11232009;11572182)

2015-05-25 修改稿收到日期：2015-10-23

楊凱 男，碩士生，1988年生

陳立群 男，教授，博士生導(dǎo)師，1963年生

O32

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.012