趙志兵

(安徽大學 數(shù)學科學學院，合肥 230601)

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關于“近世代數(shù)”教改的探討

趙志兵

(安徽大學 數(shù)學科學學院，合肥 230601)

“近世代數(shù)”是高等學校數(shù)學專業(yè)的重要基礎課程之一，主要講授的是群、環(huán)、域等代數(shù)系統(tǒng)的基本性質和相關的應用。通過簡單分析這門學科的特點和當前教學的現(xiàn)狀，結合自身的教學實踐，在教學內容和教學方法上給出了關于“近世代數(shù)”課程教學的幾點建議。

“近世代數(shù)”；課程教學；教學改革

“近世代數(shù)”又稱抽象代數(shù)，產(chǎn)生于19世紀上半葉，區(qū)別于以往的初等代數(shù)以解方程為主，“近世代數(shù)”主要是研究各種抽象的公理化代數(shù)系統(tǒng)。大學階段的“近世代數(shù)”課程是高等學校數(shù)學專業(yè)的重要基礎課程之一，主要講授的是群、環(huán)、域等代數(shù)系統(tǒng)的基本性質和相關的應用，它以高等代數(shù)(或線性代數(shù))為其先修課程，又是代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、代數(shù)拓撲以及同調代數(shù)等課程學習的基礎課程。

現(xiàn)行的“近世代數(shù)”課程的教學主要以傳統(tǒng)的教學方式為主，多是抽象的概念加抽象的定理，再加上抽象的證明題作為作業(yè)；教學內容一般都是從預備知識出發(fā)，然后到群，再到環(huán)，最后是域，往往忽略了“從哪里來，到哪里去”的基本問題。 本文首先簡單的分析了“近世代數(shù)”的學科特點和當前的教學現(xiàn)狀，后結合筆者在本學科教學過程中的實踐，從教學內容和教學方法上給出本課程教學的幾點建議。

1 學科特點和當前教學現(xiàn)狀

1.1 學科特點

一方面，代數(shù)學科的主要特點就是其概念、定理眾多，其習題以證明題為主，抽象程度高、邏輯性強，使得初學者難以很好的把握。其思想和研究方法，對其他學科產(chǎn)生了越來越大的影響，如“近世代數(shù)”中的等價、劃分、同構等思想方法不僅是重要的數(shù)學方法之一，同時也是觀察和研究自然和社會的普遍采用的方法。[1]

另一方面，“近世代數(shù)”在其他的數(shù)學領域有著廣泛的應用，特別是對數(shù)學發(fā)展中很多有重要歷史意義問題的解決起了關鍵性作用，如高斯二平方和的問題、代數(shù)基本定理的證明、尺規(guī)作圖、三等分角等問題的解決。此外，“近世代數(shù)”在其他的學科中又有非常廣泛的應用，例如20世紀初，群論應用于理論物理與分子化學中，而理想理論與(有限)域理論在計算機理論、編碼與信息安全等領域的應用更被認為是近代純粹數(shù)學應用的一個成功范例。[2]

1.2 當前教學的現(xiàn)狀

由于“近世代數(shù)”作為純數(shù)學學科的的特點，其抽象程度較高，和現(xiàn)實生活聯(lián)系較少，使其成為一門難學難懂的學科。而在高校畢業(yè)生就業(yè)壓力大，用人單位更強調畢業(yè)生的實踐創(chuàng)新能力的大環(huán)境下，更使得學生對一些純粹的理論學科的學習積極性受到影響。在傳統(tǒng)的“近世代數(shù)”課程教學中，很多是單純地追求概念的抽象性、邏輯的嚴密性、結論的明確性和體系的完整性，這樣更會容易使得“近世代數(shù)”課程的知識與現(xiàn)實脫節(jié)，導致一些學生感到“近世代數(shù)”枯燥乏味、無用，從而直接影響了學生對“近世代數(shù)”課程和后繼相關課程的學習熱情。所以，有必要對“近世代數(shù)”課程的教學進行必要的改革，包括教學內容、教學方法和一些教學手段。

2 教學改革的幾點建議

2.1 教學內容

現(xiàn)行“近世代數(shù)”教學的內容主要包括群論、環(huán)論和域擴張理論，而群論的內容通常會占到整個教材篇幅的一半左右。大學的“近世代數(shù)”課程的課時數(shù)一般在70課時，有教學經(jīng)驗的教師都知道，利用70個左右的課時將“近世代數(shù)”中3方面的內容都透徹講完整是很困難的，雖然一般的“近世代數(shù)”的教材篇幅不是很長，但包含的信息量是很大的。所以在實際的教學過程中，大部分的老師都會面臨“上不完”的問題，即使能上完，部分內容也講不完整。因而，很多教師就對教材的內容進行刪減，比如群論的sylow定理、群作用以及有限Abel群的結構通常都在被刪減的內容之列，筆者認為這些內容恰是群論中最精彩和重要的內容之一，當然也是最難的部分，而“難”可能是其通常被刪減的重要原因。

我們以為，教學的內容要回歸課程的本原。大家都知道，“近世代數(shù)”起源于Abel，Galois等人解決5次及其5次以上的方程的求根公式的存在性問題，但隨著學科的發(fā)展，現(xiàn)在的教材很大程度上偏離了這個本原，甚而我們難以回答學生諸如“為什么要學‘近世代數(shù)’”“學“近世代數(shù)”有什么用”的問題。在實踐教學的過程中，大部分教師通常是按照從群到環(huán)再到域的思路走，這樣做從邏輯上是無可厚非的，因為群是比環(huán)來得“容易”的代數(shù)系統(tǒng)，它只帶有一個運算，而域是一種特殊的環(huán)。事實上，學生首先接觸的是環(huán)和域，大家最熟悉的整數(shù)集就是帶有“加法”和“乘法”兩個運算的一個典型的環(huán)，而高等代數(shù)中學生也接觸到了數(shù)域和一元多項式環(huán)。

因而建議可以先講環(huán)論的基本知識，后轉入群論的基本知識，再轉入域論，最后再來講群論中難點問題，如Sylow定理、群作用等。這樣處理的一個好處是，在課程開始的階段我們就可以引入問題：如何證明代數(shù)基本定理的證明？如何解決高次方程求根公式的問題？在完成域論的課程后，我們就可以給出上述問題的一個解答，而不至于學生在學完Sylow定理和群作用后已經(jīng)“筋疲力盡”了，到最后還是沒有弄清楚“近世代數(shù)”是從哪里發(fā)展起來的，“近世代數(shù)”有什么用。通常情況下，沒有足夠的課時去講Galois理論，因而尺規(guī)作圖問題、數(shù)的超越性問題可以留給有興趣的學生自己去解決。[3]群論中的精彩部分，如Sylow定理、群作用等內容可以作為“近世代數(shù)”的研究和發(fā)展所得到的成果介紹給學生。

2.2 教學方法

(1) 注重課程之間的銜接。這里的銜接指的是和前修課程的銜接以及和后續(xù)課程的聯(lián)系。

大學階段的“近世代數(shù)”課程的前修課程主要指高等代數(shù)，當然“近世代數(shù)”中的某些例子也會涉及到數(shù)學分析和解析幾何的相關知識。教師在講授“近世代數(shù)”課程的過程中要盡可能多的利用高等代數(shù)中已有的知識給出所需要的例子；例如，在講授等價關系時，矩陣間的等價、相似、合同就是非常好的例子。在講授環(huán)論的時候，數(shù)域上的一元多項式環(huán)就是一個大家熟悉和已知的例子，也可以用矩陣作成的環(huán)(數(shù)域上階全陣環(huán))為例來引入和說明環(huán)的一些基本性質，特別是關于其元素的一些性質(單位元、交換性、零因子、可逆性等)。這樣處理既可以起到一定的“復習”效果，又可以讓學生在接受新知識時不至于感到太陌生和太抽象。

有些學校在“近世代數(shù)”后面會開設一些代數(shù)方向較專業(yè)的課程作為選修課，如Galois理論、同調代數(shù)、群表示論等，以滿足一些學有余力和對代數(shù)方向感興趣的同學的學習要求。這就要求教師在講授“近世代數(shù)”的過程中注重其與這些課程之間的銜接，以激發(fā)學生繼續(xù)學習的積極性。如在講授域擴張時，就可以把更多的可以利用Galois理論解決的問題拋出來，如尺規(guī)作圖問題、π的超越性等。又如在講群作用的時，可以引入群表示的概念，并簡單的說明下群作用和群表示之間的一一對應關系，從而可以引出群表示論。

(2) 研究性教學法。研究性教學法，就是在實際的教學過程中，教師不斷的提出與教學內容相關的問題，并指導學生理解和解決這些問題?；凇敖来鷶?shù)”學科的特點，此課程非常適合研究性教學法。下面來看幾個簡單的例子。

例1 對于群的定義，文獻[4]中是這樣定義的：一個非空的帶有一個代數(shù)運算的集合稱為群，指的是其滿足3條：1)結合律成立；2)存在“左”單位元；3)每個元素存在“左”逆元(通常稱之為“左左”定義)。

問題1：其中的2)，3)條是否可以換成2)′存在“右”單位元和3)′每個元素存在“右”逆元？(通常稱之為“右右”定義)

問題2：其中的2)，3)條是否可以換成2)和3)′，或者類似的換成2)′和3)？

分析 問題1的答案是肯定的，即群定義中的“左左”和“右右”是等價的。問題2的答案是否定的，具體可參見文獻[2]中的例4。問題的提出是自然的，學生在尋求答案的過程中會更加深刻的理解群的概念，這對初學者是非常重要的。另外，也使得學生對“左”單位元(逆元)與“右”單位元(逆元)以及單位元(逆元)理解更透徹，從而使學生清楚不同教材中對于某些概念的定義可能形式上不同，本質上卻是等價的，如在文獻[5]中，對群的定義就直接要求單位元和每個元素的逆元存在。

例2 設H和K分別為群G的兩個非空子集，定義它們之間的乘積為

問題：HK=KH(即集合乘積可交換)是否等同于兩個集合中的元素乘積可交換，即對

h∈H,k∈K，有hk=kh？

分析 HK=KH不能推出兩個集合中的元素乘積可交換，具體可參見文獻[6]中的例1；反過來，若H和K中的元素乘積均可交換，自然有HK=KH。

學生通過對上述問題的分析，能更清楚的把握“整體”運算和“個體”運算之間的聯(lián)系，整體運算本質上是轉化為一個個“個體”之間的運算，從而“個體”可以決定“整體”的性質，反過來“整體”卻不夠精細。

在“近世代數(shù)”教學中，應該始終帶著問題教，這樣可以讓學生帶著問題學。時間長了，學生會由被動問問題轉為主動問問題，學生的學習積極性提高了，教師的上課熱情也增長了，從而達到教學相長，互相提高。又如在講授Langrange定理的時候，自然的問題是它的逆命題是否成立，這樣引入Sylow定理就比較自然。學習過程中多提這樣的問題會使得學生在學習過程中邏輯上更清晰，目標也更明確。

(3)注重具體例子的作用。代數(shù)中的例子有說明概念或命題的正例也有說明命題否定的反例，值得一提的是，利用反例說明一個命題的否定性是“近世代數(shù)”一個常用的技巧和手段。

A．抽象的概念和命題與例子相結合?！敖来鷶?shù)”學科的一個重要特點就是抽象，概念多，因而學好“近世代數(shù)”應該從掌握和理解其基本的數(shù)學概念入手。數(shù)學概念是現(xiàn)實世界中空間形式和數(shù)量關系及其特有屬性在人的思維中的反映[2]，在教學過程中，當講解一個新的概念或知識點時，教師應有意識地剖析幾個比較典型的具體例子，讓它們起到一個模型和示例的作用，這有助于學生對抽象的概念的理解和把握。

比如，在學習群的過程中，首先以學生熟悉的整數(shù)加群和非零有理數(shù)乘群為例簡單的按群的定義驗證下，后再結合高等代數(shù)的知識給出數(shù)域F上的一般線性群GLn(F)，在此基礎上，再介紹相對比較抽象的n次單位根群和四元數(shù)群。這樣，由熟悉到相對不熟悉，有較具體到抽象的給出說明“群”這個概念的一些例子，容易讓學生接受也符合學生學習、認識事物的一般規(guī)律。

例如在學習環(huán)的同態(tài)基本定理后，可以給出下面一個自然的例子。

總之，在介紹抽象的概念和命題的時候，通過剖析一些具體的例子，由淺入深的對概念和命題給出解釋，將抽象的概念和命題具體化，有助于學生更好地理解和掌握抽象的概念和命題。

B．強調反例?！敖来鷶?shù)”學習過程中，眾多的概念和命題的理解需要層層剖析才能把握其本質。對概念，不僅要理解概念本身，還要把握它的對立概念；而對于一些命題的條件和結論的把握更需要給出有力的反例來說明，從而使學生更加深刻的理解概念和命題的本質。

例4 一個群G的子群N稱為其正規(guī)子群指的是對于?g∈G，均有gN=Ng。

反例 3次對稱群S3的子群H={(1),(12)}就不是其的正規(guī)子群，原因是

H(23)={(23),(123)}≠{(12),(132)}=(23)H。

例5 一個整環(huán)稱之主理想整環(huán)，指的是其每個理想均是由一個元素所生成的主理想。

反例 考慮整數(shù)環(huán)上的一元多項式環(huán)Z[x]，其理想<2,x>指的是Z[x]中所有常數(shù)項為偶數(shù)的多項式構成的Z[x]的理想，它不是一個主理想，事實上，若設=<2,x>，則有2∈,x∈，從而f(x)=1，這與<2,x>指的是Z[x]中所有常數(shù)項為偶數(shù)的多項式構成的Z[x]的理想矛盾！

例6 對于群中元素的階，有結論：若群中元素a的階為m，元素b的階為n，則當ab=ba且(m,n)=1時，ab的階為mn。

另一方面，容易得到群中元素a與其逆元a-1具有相同的階，且自然有aa-1=a-1a=e。若a的階為m(>1)，則顯然有e的階為1，不等于m2，因而條件(2)不可少。

3 結束語

“近世代數(shù)”教學內容順序上的調整是為了更好的使其跟前學課程銜接和體現(xiàn)本課程本原的想法?！敖来鷶?shù)”教學方法更是多種多樣，除了我們重點闡述需要加強的幾個方面，還有類比法、對比法以及一些其他傳統(tǒng)的教學方法的運用等。總體而言，學生是學習的主體，“近世代數(shù)”的教學內容和教學方法上的改革必須貫徹以學生為主, 通過各種教學手段和教學方法的改進來提高學生對該課程的學習興趣, 激發(fā)學生對本學科的學習熱情，鍛煉學生的邏輯思維、抽象思維能力，培養(yǎng)學生自主學習的能力以及發(fā)現(xiàn)問題的能力?！敖来鷶?shù)”課程的目標是使學生通過本學科的學習了解代數(shù)學的基本思想，掌握代數(shù)學研究的基本方法, 把握具體與抽象、一般與特殊的辯證關系, 為后續(xù)的學習和工作打好良好的代數(shù)學基礎。

[1] 郭華光, 徐祥, 裴定一．近世代數(shù)課程教學內容的改革與實踐[J].廣州大學學報(自然科學版)，2003, 2(6)：587-590．[2] 袁玉卓，王驍力．關于近世代數(shù)課程教學的一些建議[J].南陽師范學院學報，2012,11(9)：90-92.

[3] 章璞．伽羅瓦理論：天才的激情[M].北京：高等教育出版社，2013 .

[4] 楊子胥．近世代數(shù)[M]．2 版．北京：高等教育出版社，2003:31.

[5] 劉紹學．近世代數(shù)基礎[M]．北京：高等教育出版社，1999:13.

[6] 何立官，陳貴云，羅萍．近世代數(shù)中關于商群、商環(huán)乘法的理解[J].西南師范大學學報(自然科學版)，2012, 37(10)：31-34．

[責任編輯：張永軍]

Discussions on Education Reform ofModernAlgebras

ZHAO Zhi-bing

( School of Mathematical Sciences，Anhui University，Hefei 230601，China)

ModernAlgebrais one of the important basic courses for mathematical majors in high school．It’s contents included mainly basic properties and some related applications of some algebraic systems, such as groups ,rings and fields. In this paper, the characteristics ofModernAlgebraand the current course teaching situations are discussed．And we give some suggestions on how to improve the teaching quality inModernAlgebrateaching on teaching content and teaching methods by the author’s own teaching practice and experience in it．

ModernAlgebra; course teaching; education reform

2016-08-01

安徽省教育廳自然科學重點項目(KJ2015A101)、安徽大學研究性示范課程項目(J10118443005 )資助。

趙志兵(1979—),男，安徽桐城人，安徽大學數(shù)學科學學院講師、博士。

O153

A

2096-2371(2016)04-0123-04