郝小寧

(太原理工大學 數(shù)學學院，太原 030024)

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基于弱測量的Werner態(tài)的量子關聯(lián)

郝小寧

(太原理工大學 數(shù)學學院，太原 030024)

給出強單邊非局域量子失協(xié)及弱單邊非局域信息虧損的概念,證明強單邊非局域量子失協(xié)總是大于等于單邊非局域量子失協(xié),并研究Werner態(tài)的量子關聯(lián)間序的關系。

Werner態(tài);量子關聯(lián);弱測量

量子糾纏在量子信息和量子計算中起著非常重要的作用。近幾十年來,量子糾纏的研究已受到物理學、計算機科學、信息學、數(shù)學等領域科學家們的廣泛關注[1]。在2001年,OLLIVIER et al[2],HENDERSON et al[3]指出量子糾纏并不能包含所有的非經(jīng)典關聯(lián),即使在可分態(tài)中包含的量子關聯(lián)也不完全是經(jīng)典的,隨后他們引入量子失協(xié)的概念來描述這類非經(jīng)典關聯(lián)。量子失協(xié)是互信息與最大經(jīng)典互信息之間的差,因而它度量總的關聯(lián)與經(jīng)典關聯(lián)之間的差。這一概念的提出引起相關學者的廣泛關注并進行深入研究。特別的對于two-qubit 態(tài)的量子失協(xié),可以得到解析的表達式[4]。在不同噪聲環(huán)境下的量子失協(xié)的動力學研究也揭示許多有趣的結論[5-6]。近年來,弱測量[7]也被應用到量子關聯(lián)的研究中?；谌鯗y量,SINGH 和PATI 提出超量子失協(xié)[8],并證明超量子失協(xié)總是大于等于量子失協(xié),此說明弱測量有時能揭示更多的量子信息。另一方面,基于弱測量,WANG et al[9]還提出弱單邊虧損概念,并證明弱單邊虧損小于單邊虧損,從而說明弱測量并不總是揭示更多的量子信息。筆者基于弱測量提出強單邊非局域量子失協(xié)及弱單邊非局域信息虧損的概念,證明強單邊非局域量子失協(xié)總是大于等于單邊非局域量子失協(xié),并對2×2的Werner態(tài)給出量子關聯(lián)間序的關系。

下面介紹本文的一些基本概念及符號表示?！?和∏1是Hiltbert空間上的2個正交投影并且滿足∏0+∏1=I . x是測量強度參數(shù),x∈[0,+∞) .

則{P(x),P(-x)}是一組測量,這種測量稱為弱測量。

本文把完備的測量基底限制在von Neumann測量上。Hilbert空間H=HA?HB,dimHA=n,dimHB=2,S(H)是H上的量子態(tài)集合,ρ∈S(H),用S(ρ)代表量子態(tài)ρ的熵。

1 強單邊非局域量子失協(xié)與弱單邊非局域信息虧損

先回顧一些相關定義。單邊非局域量子失協(xié)δμ(ρ)的定義[10]。

單邊非局域信息虧損Δμ(ρ)的定義[11]。

式中：

式中：

證明 因為

現(xiàn)在定義弱測量算子,

根據(jù)定義1,可以得到

因此,

即對B系統(tǒng)進行弱測量得到的強單邊非局域量子失協(xié)總是大于等于單邊非局域量子失協(xié)。

2 Werner態(tài)的量子關聯(lián)

量子信息學的一個很重要的資源就是量子糾纏,最具有代表性的就是EPR態(tài)。但是由于消相干的原因,糾纏態(tài)可能會發(fā)生退化。在這些退化的態(tài)中,有一種典型的特殊態(tài)Werner態(tài)。因此,對Werner態(tài)的研究很重要。Werner態(tài)是d×d的兩體量子態(tài),其中d是Hilbert空間的維數(shù)。在酉算子U的作用下,都滿足ρ=(U?U)ρ(U+?U+),可看出這種酉變換不改變Werner態(tài)的熵。此部分研究2×2的Werner態(tài),即

因此,

根據(jù)定義2,可得到Werner態(tài)的弱單邊非局域信息虧損的解析表達式是

STRELTSOVEetal給出單邊虧損Δ(ρ)的定義[12]。對兩體態(tài)的單邊虧損是

式中,

利用下面這組關系,

可以得到,

式中：c1=c2=c3=-z；z1:=2(-ty2+y1y3)；

進而,得到Werner態(tài)單邊非局域信息虧損的解析表達式:

Werner態(tài)的超量子失協(xié)的解析表達式[8]是

通過文獻[5],可以得到Werner態(tài)的單邊虧損Δ(ρ)的解析表達式是

WANG et al給出弱單邊虧損的解析表達式[9]是

在圖1中,本文就Werner態(tài)給出單邊非局域信息虧損、弱單邊虧損、單邊虧損、超量子失協(xié)隨z的曲線圖。我們發(fā)現(xiàn)在圖1(a),1(b),1(c)中,單邊非局域信息虧損大于超量子失協(xié),超量子失協(xié)大于單邊虧損,單邊虧損大于弱單邊虧損(即Δw<Δ

圖1 單邊非局域信息虧損、弱單邊虧損、單邊虧損、超量子失協(xié)隨z的變化圖Fig.1 One-way unlocalizable in formation deficit,weak one-way deficit,one-way deficit,superquantum discord as functions of z

[1] 李波，范桁.量子關聯(lián)及其應用[J].中國科學，2014，44(3):360-369.

[2]OLLIVIERH，ZUREKWH.Quantumdiscord:ameasureofthequantumnessofcorrelations[J].PhysicalReviewLetters，2001，88:017901.

[3]HENDERSONL，VEDRALV.Classical，quantumandtotalcorrelations[J].JournalofPhysicsAGeneralPhysics，2001，34(35):6899-6905.

[4]LUOS.Quantumdiscordfortwo-qubitsystems[J].PhysicalReviewA，2008，77(4):140.

[5]HANF.ThedynamicsofquantumcorrelationanditstransferindissipativeSystems[J].InternationalJournalofTheoreticalPhysics，2011，50:1785-1792.

[6]MIYJ.Classicalcorrelationandquantumdiscordinatwoqubitsystemunderdissipationenvironments[J].InternationalJournalofTheoreticalPhysics，2012，51:544-553.

[7]ORESHKOVO，BRUNTA.Weakmeasurementsareuniversal[J].PhysicalReviewLetters，2005，95(11):643.

[8]SINGHU，PATIAK.Superquantumdiscordwithweakmeasurements[J].AnnalsofPhysics，2014，343(4):141-152.

[9]WANGY，MAT，F(xiàn)ANH，etal.Super-quantumcorrelationandgeometryforbell-diagonalstateswithweakmeasurements[J].QuantumInformationProcessing，2014，13(2):283-297.

[10]XIZ，F(xiàn)ANH，LIY.One-wayunlocalizablequantumdiscord[J].PhysicalReviewA，2012，85(5):1222-1228.

[11] 朱學娜.量子糾纏度量和量子關聯(lián)[D].廣州:華南理工大學，2014.

[12]STRELTSOVA，KAMPERMANNH，BRUβD.Quantumcostforsendingentanglement[J].PhysicalReviewLetters，2012，108(25):59-62.

(編輯：朱 倩)

Quantum Correlation of Werner State Based on Weak Measurements

HAO Xiaoning

(College of Mathematics,Taiyuan University of Technology,Taiyuan 030024,China)

In the paper, we give the definition of strong one-way unlocalizable quantum discord and weak one-way unlocalizable information deficit, and prove that strong one-way unlocalizable quantum discord is always greater than or equals to one-way unlocalizable quantum discord. Finally, we give the order relation for Werner state.

Werner state;quantum correlation;weak measurements

1007-9432(2016)05-0680-05

2015-10-15

國家自然科學基金資助項目：糾纏破壞信道和量子測量的代數(shù)結構和幾何特征(11201329)，山西省國際合作項目:基于算子理論的量子關聯(lián)性研究(2014081027-2);太原理工大學青年基金資助項目：量子連續(xù)變量系統(tǒng)的信道表示及新一代保密通信系統(tǒng)的數(shù)據(jù)協(xié)調技術研究開發(fā)(2014QN024)

郝小寧(1980-)，女，山西太原人，博士生，主要研究方向為算子及量子信息與量子計算，(E-mail)haoxiaoning@tyut.edu.cn

O413.1

A

10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2016.05.022