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        利用向量的內(nèi)積證明幾何題

        2016-12-13 01:15:57買買吐送尼扎木丁
        關(guān)鍵詞:內(nèi)積和田平面

        買買吐送·尼扎木丁

        (和田師范??茖W(xué)校數(shù)信學(xué)院, 新疆 和田 848000)

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        利用向量的內(nèi)積證明幾何題

        買買吐送·尼扎木丁

        (和田師范??茖W(xué)校數(shù)信學(xué)院, 新疆 和田 848000)

        本文介紹了利用向量的內(nèi)積證明幾何題的方法,是證明幾何題的另一種方法。

        向量的內(nèi)積;證明幾何題;數(shù)學(xué)證明方法

        向量是數(shù)學(xué)中的重要概念之一,它廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)實踐和科學(xué)研究中,向量在解決初等幾何問題,立體幾何問題,解析幾何問題中廣泛應(yīng)用。向量的內(nèi)積也廣泛應(yīng)用,利用向量的內(nèi)積容易證明初等幾何問題,立體幾何問題和解析幾何問題。利用內(nèi)積證明幾何問題時,可以減少輔助線的添加,還可以避開一些較復(fù)雜的空間圖形,降低了證題的難度且思路明確,易于下手,易于接受。下面看幾個問題.

        例1,證明四面體對棱夾角公式.

        例2,如圖所示,直線l與平面α內(nèi)的三條共點直線所成的角相等,則求正:l⊥α

        由已知得

        例3,如圖,已知正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直,M,N分別為對角線AE和BE上的點且AM=DN,求證:MN∥平面BCE。

        過點N作NN1⊥BC,NN2⊥AB,垂足分別是N1,N2.

        設(shè)NN1=x,NN2=y,則x=y,所以N(x,x,0).

        同理,過N作MM1⊥BE,MM2⊥AB,垂足分別為M1,M2.

        設(shè)MM1=x,MM2=z,則z=a-x,(AB=a).

        例4,如圖所示,已知直三棱柱A1B1C1-ABC中,A1C1=B1C1,AC1⊥A1B,M,N分別是A1B1,AB的中點,求證:AB⊥BC.

        設(shè)A(-a,0,0),B(a,0,0),C(0,c,0),A1(-a,0,h),C1(0,c,h),B1(a,0,h),則

        例5,已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F是棱B1C1和C1D1的中點,求證點A1到平面BDFE的距離等于1。

        所以點A1到平面BDFE的距離等于1.

        證明幾何題時,有時利用向量的內(nèi)積避免了作太多的輔助線,可以節(jié)約時間,避免一些不必要的麻煩,更容易得到證明。

        2016-08-10

        買買吐送·尼扎木丁(1964-),男,維吾爾族,和田師范??茖W(xué)校數(shù)信學(xué)院副教授。研究方向:幾何學(xué)。

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