買(mǎi)買(mǎi)吐送·尼扎木丁

(和田師范專(zhuān)科學(xué)校數(shù)信學(xué)院， 新疆 和田 848000)

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利用向量的內(nèi)積證明幾何題

買(mǎi)買(mǎi)吐送·尼扎木丁

(和田師范專(zhuān)科學(xué)校數(shù)信學(xué)院， 新疆 和田 848000)

本文介紹了利用向量的內(nèi)積證明幾何題的方法，是證明幾何題的另一種方法。

向量的內(nèi)積；證明幾何題；數(shù)學(xué)證明方法

向量是數(shù)學(xué)中的重要概念之一，它廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中，向量在解決初等幾何問(wèn)題，立體幾何問(wèn)題，解析幾何問(wèn)題中廣泛應(yīng)用。向量的內(nèi)積也廣泛應(yīng)用，利用向量的內(nèi)積容易證明初等幾何問(wèn)題，立體幾何問(wèn)題和解析幾何問(wèn)題。利用內(nèi)積證明幾何問(wèn)題時(shí)，可以減少輔助線(xiàn)的添加，還可以避開(kāi)一些較復(fù)雜的空間圖形，降低了證題的難度且思路明確，易于下手，易于接受。下面看幾個(gè)問(wèn)題.

例1，證明四面體對(duì)棱夾角公式.

例2，如圖所示，直線(xiàn)l與平面α內(nèi)的三條共點(diǎn)直線(xiàn)所成的角相等，則求正：l⊥α

由已知得

例3，如圖，已知正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，M,N分別為對(duì)角線(xiàn)AE和BE上的點(diǎn)且AM=DN，求證：MN∥平面BCE。

過(guò)點(diǎn)N作NN1⊥BC,NN2⊥AB,垂足分別是N1,N2.

設(shè)NN1=x,NN2=y,則x=y,所以N(x,x,0).

同理，過(guò)N作MM1⊥BE,MM2⊥AB,垂足分別為M1,M2.

設(shè)MM1=x,MM2=z,則z=a-x,(AB=a).

例4，如圖所示，已知直三棱柱A1B1C1-ABC中，A1C1=B1C1,AC1⊥A1B,M,N分別是A1B1,AB的中點(diǎn)，求證：AB⊥BC.

設(shè)A(-a,0,0),B(a,0,0),C(0,c,0),A1(-a,0,h),C1(0,c,h),B1(a,0,h),則

例5，已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，E,F是棱B1C1和C1D1的中點(diǎn)，求證點(diǎn)A1到平面BDFE的距離等于1。

所以點(diǎn)A1到平面BDFE的距離等于1.

證明幾何題時(shí)，有時(shí)利用向量的內(nèi)積避免了作太多的輔助線(xiàn)，可以節(jié)約時(shí)間，避免一些不必要的麻煩，更容易得到證明。

2016-08-10

買(mǎi)買(mǎi)吐送·尼扎木丁(1964-)，男，維吾爾族，和田師范專(zhuān)科學(xué)校數(shù)信學(xué)院副教授。研究方向：幾何學(xué)。