何 肖

[中國礦業(yè)大學(xué)(北京)力學(xué)與建筑工程學(xué)院 北京 100083]

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一個(gè)電磁學(xué)問題的數(shù)學(xué)解法

何 肖

[中國礦業(yè)大學(xué)(北京)力學(xué)與建筑工程學(xué)院 北京 100083]

利用微積分計(jì)算通過非對稱圖形的電通量，計(jì)算結(jié)果和利用高斯定理的一樣．這種做法可以作為計(jì)算非對稱圖形電場強(qiáng)度和電通量的參考．

微積分 非對稱 電通量

高斯定理是電磁學(xué)中一個(gè)非常重要的定理，在求解電場強(qiáng)度和電通量的時(shí)候發(fā)揮著重要的作用．但是利用高斯定理存在很大的局限性，只有在具有對稱性或者可以轉(zhuǎn)為有對稱性的問題中才能用到，對于非對稱的問題，還是需要從定義出發(fā)，用微積分的方法來計(jì)算電場強(qiáng)度和電通量．下面以一道具體的題目來說明．

1 題目

如果有一點(diǎn)電荷q位于立方體一個(gè)頂點(diǎn)上，則通過不與該頂點(diǎn)相連的任一立方體側(cè)面的電通量為多少？

這是一道關(guān)于求電通量的題目，大部分學(xué)生想到的一定是利用高斯公式．下面進(jìn)行具體的分析．

2 高斯公式求解

3 數(shù)學(xué)解法

建立如圖1所示的坐標(biāo)系．設(shè)小立方體的邊長為a，坐標(biāo)原點(diǎn)建立在A點(diǎn)，電荷位于D點(diǎn)，求通過面ABEC的電通量．

圖1 坐標(biāo)系

面ABEC上任意一點(diǎn)(x,y)處的電場強(qiáng)度大小為

對面ABCE積分，得到總的電通量為

這個(gè)二重積分在直角坐標(biāo)中計(jì)算比較困難，可以想辦法轉(zhuǎn)化為在極坐標(biāo)中的積分．直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

x=rcos θ y=rsin θ

將積分區(qū)域分為2個(gè)三角形，在不同三角形中積分范圍如下

在三角形ACE內(nèi)，

在三角形ABE內(nèi)，

電通量為

(1)

式(1)的前一部分積分為

式(1)的第二部分積分為

總的電通量為

從上面的積分過程中可知，利用高斯公式和利用微積分計(jì)算的結(jié)果是一樣的，這也驗(yàn)證了本題高斯定理的正確性．其次，從上面的具體推導(dǎo)可以看出，通過兩個(gè)三角形的電通量也是一樣的．

4 結(jié)語

對于一道具體的電磁學(xué)題目，我們用高斯公式和微積分兩種辦法進(jìn)行計(jì)算，得出相同的結(jié)果．雖然高斯定理提供了一種求電通量的簡單方法，但是這種方法的局限性很大，對于沒有對稱性的問題基本上無法處理．利用微積分直接計(jì)算能處理一些規(guī)則圖形的積分．需要注意的是，微積分也不是萬能的，存在一定的局限性，積分區(qū)域比較復(fù)雜就有可能積不出來．因此對于學(xué)習(xí)的人來說，只有綜合掌握這兩種方法，才能高效簡單地計(jì)算電磁學(xué)問題．

Mathematic Solution of A Electromagnetic Problem

He Xiao

[School of Mechanics and Civil Engineering, China University of Mining and Technology(Beijing),Beijing 100083]

using calculus to compute the electric flux of an asymmetric figure, the result is the same with Gauss theorem. this method can be used to calculus the electric field and electric flux of asymmetric figures.

calculus;asymmetric;electric flux

2016-01-10)