周奇才,吳青龍,熊肖磊

(同濟大學機械與能源工程學院,上海 201804)

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基于拓撲優(yōu)化和骨架提取的桿系結構設計方法

周奇才,吳青龍,熊肖磊

(同濟大學機械與能源工程學院,上海 201804)

以二值圖像細化算法為基礎,提出了基于有限單元8-鄰域網(wǎng)格模型的骨架提取算法.通過SKO(Soft Kill Option)拓撲優(yōu)化方法獲得連續(xù)體拓撲優(yōu)化結果.應用網(wǎng)格模型骨架提取算法,提取拓撲優(yōu)化模型的網(wǎng)格骨架,找到反映拓撲結構特征的傳力關鍵點,再基于傳力關鍵點連接桿件形成桿系結構.以該方法得到的桿系結構具有優(yōu)化的拓撲結構和力學特性,因而桿件布置合理,結構應力分布均勻.

桿系結構; 拓撲優(yōu)化; 骨架提取; SKO算法; 有限單元

ZHOU Qi-cai,WU Qing-long,XIONG Xiao-lei

(School of Mechanical Engineering,Tongji University,Shanghai 201804,China)

桿系結構是對結構拓撲和形狀非常敏感的結構體系[1].傳統(tǒng)的桿系結構設計多是根據(jù)經(jīng)驗、參考相關設計手冊和規(guī)范標準或借鑒現(xiàn)有產(chǎn)品來進行的程式化設計,而桿系結構的優(yōu)化設計也多是在人為給定了初步方案之后,借助計算機軟件進行力學分析與驗證,再根據(jù)分析結果進行優(yōu)化與改進,且多是對桿件進行尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化,而對于結構優(yōu)化中較高層次的拓撲優(yōu)化[2],傳統(tǒng)的桿系結構優(yōu)化算法則難以實現(xiàn).因此,按傳統(tǒng)思路設計出來的結構雖然符合標準規(guī)范的要求,但往往局限于傳統(tǒng)結構形式和工程師的經(jīng)驗,設計的結構在應力、應變等方面具有較大的冗余.這是因為在給定了拓撲構型的結構方案上進行優(yōu)化,可優(yōu)化的空間很小,難以獲得最佳方案.為此,本文提出了一種新的桿系結構設計思路,將桿系結構的優(yōu)化從設計的后期向初期發(fā)展.將桿系結構優(yōu)化設計與連續(xù)體的拓撲優(yōu)化設計相結合,先將給定的桿系空間填滿材料,施加上約束和載荷;然后對該充滿材料的區(qū)域進行拓撲優(yōu)化設計,找到具有最佳傳力路徑的拓撲結構;接著對該拓撲結構進行骨架提取,找到傳力關鍵點;最后連接傳力關鍵點即得到桿系結構.用該方法得到的桿系可視為具有優(yōu)化拓撲構型的桿系結構,可在此基礎上進行進一步的尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化.

本文首先簡要介紹SKO拓撲優(yōu)化算法,然后詳細說明基于二值圖像細化算法的有限單元網(wǎng)格模型骨架提取算法,最后以算例對算法進行說明.

1 連續(xù)體拓撲優(yōu)化

1.1 結構拓撲優(yōu)化簡介

結構拓撲優(yōu)化包括連續(xù)體拓撲優(yōu)化和離散結構拓撲優(yōu)化.連續(xù)體拓撲優(yōu)化方法主要有均勻化方法、密度法和漸進結構優(yōu)化方法等;離散結構拓撲優(yōu)化方法主要有Michell解析法、基結構法等[3,4].本文所使用的方法是SKO算法,它是基于生物自適應生長規(guī)律而提出的一種啟發(fā)式結構拓撲優(yōu)化方法,最早是由德國的Karlsruhe 研究中心提出[5-7].SKO法的核心思想是通過迭代計算不斷“硬化”高應力區(qū)域的材料,同時“軟化”低應力區(qū)域的材料,從而獲得應力均勻的輕質(zhì)拓撲結構[8,9].本文對傳統(tǒng)SKO方法進行了改進,提出了拋物線型權重系數(shù)并加入了結構位移約束,提高了算法的性能并增強了算法實用性.

1.2 SKO算法

1.2.1 算法流程

SKO算法的程序流程框圖如圖1所示.

圖1 SKO算法流程圖

1.2.2 算法迭代關系式及收斂條件

SKO算法中,單元溫度迭代關系式及彈性模量更新算子如式(1)—(6)所示.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中:Emax和Emin是彈性模量的最大和最小值.

(6)

(7)

ΔV(n)<ε

(8)

2 拓撲優(yōu)化結果骨架提取算法

在使用SKO算法完成連續(xù)體拓撲優(yōu)化,得到優(yōu)化結構之后,希望能夠對該優(yōu)化拓撲結構進行簡化,找到其傳力關鍵點,進而連接傳力關鍵點形成桿系結構.但目前,在結構優(yōu)化領域未見有對有限單元拓撲優(yōu)化結果進行簡化進而提取其關鍵傳力點的相關文獻.本文借鑒了圖像處理中圖形骨架提取算法的思想[11,12],結合拓撲優(yōu)化結果特有的有限單元網(wǎng)格特性,提出一種用于結構有限元模型的骨架提取算法.

對完成拓撲優(yōu)化后的有限元模型,其模型中有優(yōu)化單元(優(yōu)化后保留下的單元)和背景單元(優(yōu)化后刪除的單元),如圖2所示.有限元模型骨架提取即是提取優(yōu)化單元的中心骨架線,去除冗余單元,進而找到優(yōu)化模型的傳力路徑及傳力關鍵點,為在有限元模型中,每一個單元周圍都有8個單元與之相鄰接(邊界上的單元可假設背景單元與之鄰接),此8個單元稱為該單元的8-鄰域,如圖3所示.

圖2 拓撲優(yōu)化有限元模型

圖3 單元8-鄰域

3.1 骨架提取算法流程

圖4 骨架提取算法流程

3.2 8-鄰域單元查找模型

要判斷當前單元8-鄰域的單元是否為骨架點,需要先找出這8-鄰域單元及其相對于當前單元的位置,并獲取其單元信息.如圖4所示,假設當前單元ec的8-鄰域單元按圖5所示的ec1—ec8的順序排列,則需要依次判斷出ec1—ec8所在的8個有限元網(wǎng)格模型中,約定以下基本定義.

圖5 8-鄰域單元查找模型

定義1 網(wǎng)格、單元、線的表達形式為:G(E,L,N)表示網(wǎng)格由單元、線、節(jié)點組成;E(L,N)表示單元由線、節(jié)點組成;L(N)表示線由節(jié)點組成:

G(E,L,N),E(L,N),L(N)

(9)

定義2E,L,N表示網(wǎng)格中所有單元、線、節(jié)點的集合.

(10)

定義3 若構成四節(jié)點平面單元ex的線集為{lx1,lx2,lx3,lx4},節(jié)點集為{nx1,nx2,nx3,nx4},則ex可表示為:

ex=(lx1,lx2,lx3,lx4),ex=

(nx1,nx2,nx3,nx4)

(11)

定義4 單元中同時含有線li,lj,…或節(jié)點ni,nj,…的單元的集合表示為:

Ex(li,lj,…),Ex(ni,nj,…)

(12)

定義5 單元ec的8-鄰域:單元ec的上下左右4個單元及對角線上的4個單元組成的集合為單元ec的8-鄰域單元:

Eec={ec1,ec2,…,ec8}

(13)

在上述定義的基礎上,當前單元ec的8-鄰域單元查找方法如下:

(1) 對當前單元ec,首先找到其節(jié)點集{nx1,nx2,nx3,nx4};

(2) 通過以下算法定位ec1,ec3,ec5,ec7所在位置的單元:

(14)

式中:Ec={ec},表示當前單元,∩,為集合的交、差運算符.

(3) 通過以下算法定位ec2,ec4,ec6,ec8所在位置的單元:

(15)

通過以上算法即可獲得當前單元ec的8-鄰域單元Eec={ec1,ec2,…,ec8}.為8-鄰域單元的判斷做準備.

3.3 骨架單元判斷算法

對于當前單元ec,判斷其是否為骨架點的方法有兩種:

3.3.1 單元保留法

保留法的思想是判斷某單元為骨架單元,將其保留.保留法判斷模型如圖5所示,其中C表示當

前所判斷的單元,周圍是其8-鄰域單元,0表示該單元為背景單元,1表示該單元為骨架單元,X表示該單元可以為背景單元也可以為骨架單元.由物體的形狀旋轉不變性可知,圖中6種判斷模型旋轉90°,180°,270°的情況也符合骨架點的判斷要求,對6種情況進行旋轉并整理,一共有19種情況.將3.2節(jié)中得到的8-鄰域模型與該19中情況一一比對,即可判斷該單元是否為骨架單元.

圖6 骨架單元判斷模型

3.3.2 單元刪除法

與單元保留法不同,刪除法的思想是判斷某單元為非骨架單元,將其抹去成為背景單元.其判斷算法如下:

首先,作以下定義:

定義6 若單元ex為骨架單元,則有ex=1;若ex為非骨架單元,則有ex=0.

定義7定義A(ec)為當前單元ec的8-鄰域單元中優(yōu)化單元的數(shù)目:

eci

(16)

定義8 定義B(ec)為當前單元ec的8-鄰域單元,按從ec1-ec2-……-ec8-ec1的順序轉一周,從背景單元變?yōu)閮?yōu)化單元的次數(shù):

(17)

在上述定義的基礎上,若當前單元的ec的8-鄰域的單元滿足條件式(18)或者式(19),則認為ec為非骨架單元:

(18)

(19)

其中,條件2≤A(ec)≤6用于保證刪除的單元為邊界單元,同時保證骨架的端點不會被刪除;條件B(ec)=1保證刪除單元不會破壞骨架的連通性;式(18)的后兩個條件保證刪除的單元處于模型的右側邊界、下側邊界和左上角邊界;式(19)的后兩個條件保證刪除的單元處于模型的左側邊界、上冊邊界和右下角邊界.在上述條件約束下,即可保證從邊緣向內(nèi)部逐步刪除非骨架點.

4 算例

以懸臂桿系結構設計為例說明本文所述桿系結構拓撲優(yōu)化方法.步驟如下:

(1) 給定桿系結構的設計區(qū)域、約束及載荷并建立有限元模型,如圖6所示.

圖7 受力簡圖及有限元模型

(2) 對該設計區(qū)域采用SKO方法進行連續(xù)體拓撲優(yōu)化設計,得到優(yōu)化模型及其應力云圖,如圖7所示.

圖8 拓撲優(yōu)化結果及von Mises應力云圖

(3) 對優(yōu)化結構應用基于有限單元的骨架提取算法,提取傳力骨架,如圖8所示.

(4) 提取骨架中的傳力關鍵點,如圖9所示.

(5) 依據(jù)圖7所示的優(yōu)化拓撲結構,連接傳力

圖9 提取傳力骨架

關鍵點,形成桿系結構,如圖10所示.

圖10 找到傳力關鍵點

圖11 桿系結構及其von Mises應力云圖

(6)采用滿應力法對桿件的截面尺寸進行優(yōu)化設計,得到拓撲和尺寸優(yōu)化的桿系結構,結構應力均勻性高,趨向于滿應力條件,如圖11所示.

圖12 初步尺寸優(yōu)化后von Mises應力云圖

5 結論

文章從連續(xù)體出發(fā),首先使用SKO拓撲優(yōu)化方法進行連續(xù)體的拓撲優(yōu)化,得到連續(xù)體拓撲優(yōu)化結果;然后基于圖像細化算法提出了有限元網(wǎng)格8-鄰域單元查找算法和骨架提取算法對該拓撲優(yōu)化結果進行骨架提取,找到其傳力路徑骨架及傳力關鍵點;連接傳力關鍵點形成桿系結構;最后,采用滿應力準則法對桿系結構進行優(yōu)化.所得到的桿系結構具有優(yōu)化的拓撲構型和桿件截面尺寸,應力分布均勻,符合結構設計中的滿應力準則,為桿系結構的拓撲優(yōu)化設計提供了一種新的思路.

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Designmethodology for bar system based on topology optimization and skeleton extraction

Based on the detailed algorithm of binary images,a skeleton extraction algorithm is applied for the eight-neighborhood finite-element grid model.By using Soft Kill Option (SKO) for topological optimization model,the results from successive bodies are obtained.Due that the grid skeletons are extracted to topological features of force transmission key-points,the bar system is formed via connection bars.Therein,the optimized topologies and mechanical properties are attained with reasonable bar layout and even stress distribution.

bar system; topological optimization; skeleton extraction; SKO algorithm; finite element

國家自然科學基金(51375345)

周奇才(1962-),男,工學博士,教授.E-mail:qczhou@#edu.cn

TH 11

A

1672-5581(2016)01-0032-06