張亞平

(1.湘潭大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,湖南 湘潭,411105;2.邵陽學(xué)院 理學(xué)與信息科學(xué)系,湖南 邵陽,422000)

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一類分?jǐn)?shù)階微分方程的新解法

張亞平1,2

(1.湘潭大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,湖南 湘潭,411105;2.邵陽學(xué)院 理學(xué)與信息科學(xué)系,湖南 邵陽,422000)

本文將Daftardar-Gejji和Jafari提出的一種新的迭代方法(簡記為NIM),應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階常微分方程的數(shù)值求解中,得到方程的近似解;并通過近似解和解析解的比較,表明了新迭代方法的有效性.

分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù);分?jǐn)?shù)階微分方程;迭代法

分?jǐn)?shù)階微積分是微積分的一個重要分支，是專門研究函數(shù)的任意階積分和微分性質(zhì)及其應(yīng)用的一個理論，這個階數(shù)不局限于整數(shù)，可以為分?jǐn)?shù).分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)主要具有以下優(yōu)勢：分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有全局相關(guān)性,能較好地體現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)發(fā)展的歷史依賴過程；而整數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有局部性，不適合描述這樣的過程.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型克服了經(jīng)典整數(shù)階微分模型理論與實驗結(jié)果吻合不好的嚴(yán)重缺點(diǎn)，使用較少幾個參數(shù)就可獲得很好的效果.在描述復(fù)雜物理力學(xué)問題時,與非線性模型比較,分?jǐn)?shù)階模型的物理意義更清晰,表述更簡潔.正因為它具有整數(shù)階微積分無可比擬的優(yōu)點(diǎn)，所以，近30年來,學(xué)者們對分?jǐn)?shù)階微積分進(jìn)行了深入的探索和研究.

比較常用的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)有下列幾種:

Grunwald-Letnikov(G-L)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),Riemann-Liouville(R-L)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)以及Riesz-Feller(R-F)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，它們在一定條件下相互等價.

從現(xiàn)實問題中抽象出分?jǐn)?shù)階微分方程之后,如何求解分?jǐn)?shù)階微分方程，成為一個迫切的研究課題.分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解大多含有特殊函數(shù),而要計算這些特殊函數(shù)相當(dāng)困難,所以越來越多的研究者轉(zhuǎn)而討論分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解.分?jǐn)?shù)階常微分方程的數(shù)值解發(fā)展相當(dāng)緩慢,1999年，Podlubry在關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分的專著[4]中，提到一些分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法,但是沒有給出證明.Lubich[5,6]考慮了1-6階分?jǐn)?shù)階線性多步方法；Diethelm等人[7]提出了解分?jǐn)?shù)階常微分方程的分?jǐn)?shù)預(yù)估-校正法,導(dǎo)出了在不同假定條件下誤差的界；2004年，,文獻(xiàn)[8]對分?jǐn)?shù)階Bagley-Torvik方程提出了一種計算有效的數(shù)值方法. Varsha Daftardar-Gejji等人[9]提出了一種新的迭代方法(NIM)解線性和非線性方程,且用于解非線性分?jǐn)?shù)階微分方程系統(tǒng)，得到很好的結(jié)果.比如代數(shù)方程,積分方程,一般的或偏微的整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階微分方程.NIM的優(yōu)點(diǎn)是容易理解,且能很方便的用計算軟件包得出比Adomian分解法(ADM)、同倫擾動法(HPM)、變分迭代法(VIM)更好的結(jié)果; 一些學(xué)者針對一維記憶效果的分?jǐn)?shù)微分問題提出不少算法[10,11],Gao和Sun[12]的緊差分格式致力于提高空間精度，Chen[13]運(yùn)用顯式和隱式差分格式解變階次擴(kuò)散方程，并分析了穩(wěn)定性和收斂性 .

本文在前述文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，討論一種新的迭代方法應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階常微分方程的數(shù)值求解中得到方程的近似解的問題.

1 預(yù)備知識

首先介紹分?jǐn)?shù)階微積分的幾個常用定義和一些基本性質(zhì).迄今為止，基于不同的基礎(chǔ)、目的和應(yīng)用領(lǐng)域，文獻(xiàn)中已有多種形式的分?jǐn)?shù)階微積分定義.常見的有以下三種形式：Riemann-Liouville(R-L)分?jǐn)?shù)階微積分，Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Grünwald-Letnikov(G-L)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).在本文中，我們需要用到的是以下兩種.

定義1.1 (Riemann-Liouville(R-L)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[4])設(shè)函數(shù)y(t)是定義在(a,b)上的可積函數(shù)，α>0且n-1≤α

(1)

為α階Riemann-Liouville(R-L)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).

定義1.2 (Riemann-Liouville(R-L)分?jǐn)?shù)階積分[4] ) 設(shè)函數(shù)y(t)是定義在(a,b)上的可積函數(shù)，α>0，定義

(2)

為α階Riemann-Liouville(R-L)分?jǐn)?shù)階積分.

定義1.3 (Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[4])設(shè)函數(shù)y(t)是定義在(a,b)上的可積函數(shù)，α>0且n-1≤α

(3)

為α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).

冪函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分是

對于Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)先積分再求導(dǎo)有

當(dāng)n-1≤α

對于Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)之間的復(fù)合運(yùn)算有

當(dāng)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)和Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)作復(fù)合運(yùn)算時有

Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)之間是可以互換的

2 新迭代方法介紹

考慮下面一般的函數(shù)方程[9]:

(4)

要求方程(4)中的函數(shù)u具有以下級數(shù)形式的解

(5)

非線性算子N可分解為

(6)

由方程(5)和(6),可得到方程(4)的等價形式

(7)

定義下面的遞推關(guān)系

(8)

于是有(u1+…+um+1)=N(u0+…+um),m=1,2…

(9)

(10)

(5)和(6)的k項近似解為

u=u0+u1+…+uk-1.

3 新的迭代方法在常微分方程中的應(yīng)用

考慮帶有下面初值條件的分?jǐn)?shù)階Bagley-Torvik方程[8]

(11)

(12)

前三項的和為

(13)

當(dāng)α=1.5時,此方程的解析解為y(t)=1+t,表1給出了方程(11)前三項的數(shù)值解和解析解的比較.

表1 方程(11)近似解與真解的比較Table 1 Comparison of the numerical and exact solutions of equation (11)

通過數(shù)值解的前幾項的和與真解的比較,可以看到，只要計算前幾項的數(shù)值解就能比較接近真解,且項數(shù)越多越能穩(wěn)定的接近真解.

再考慮下面的分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題[15].

(14)

y(0)=0,y′(0)=-1,0≤t≤1,1<α<2

方程(14)可化為下面的積分方程

(15)

方程(14)的前四項的近似解為

方程(14)的解析解為y(t)=t2-t.

表2給出了當(dāng)α=1.25和α=1.5時新迭代方法和顯式方法的誤差比較.

表2 方程(14)新迭代方法和顯式方法的誤差比較Table 2 Errors of NIM and explicit method of equation (14)

由表2可知新迭代方法的誤差遠(yuǎn)小于顯示方法的誤差,很好的體現(xiàn)了它的優(yōu)越性.

下面表3給出了當(dāng)α=1.25和α=1.5時方程(14)新迭代方法的數(shù)值結(jié)果和真解的比較.

圖1是當(dāng)α=1.25時新迭代方法數(shù)值解和解析解的比較.

表3 方程(14)新迭代法數(shù)值解和真解的比較Table 3 Comparison of the numerical and exact solutions of equation (14)

從圖看出數(shù)值解和真解是幾乎重合的,說明了新迭代方法具有快速，高精度特點(diǎn).

圖1 方程(14)數(shù)值解和真解(α=1.25)Fig.1 Comparison of the numerical and exact solutions (α=1.25)

本文介紹了新迭代方法,并運(yùn)用此方法解分?jǐn)?shù)階常微分方程,將得到的數(shù)值解和其他方法得到的數(shù)值解相比較,以及此方法的數(shù)值解和真解的比較,進(jìn)一步證明了此方法的優(yōu)越性.但是,用此方法解分?jǐn)?shù)階微分方程時的誤差分析和穩(wěn)定性分析等理論方面還沒有進(jìn)行推導(dǎo),接下來可以從這方面著手來完善新迭代方法在分?jǐn)?shù)階微分方程中的應(yīng)用.

[1]Bagley R L, Torvik P J.A theoretical basis for the application of fractional calculus to viscoelasticity[J]. J.Rheology,1983, 27(3):201-210.

[2]Bagley R L, Torvik P J. Fractional calculus-a different approach to the analysis of viscoelastically damped structures[J]. AIAA J. 1983, 21(5):741-748.

[3]宋道云,江體乾.帶分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的Jeffreys模型的建立及其應(yīng)用[J].現(xiàn)代科學(xué)與進(jìn)步，1997，639-642.

[4]Podlubny I.Fractional Differential Equations[M], New York:Academic Press, 1999.

[5]Lubich C. Convolution Quadrature and Discretized Operational Calculus[J].Numer.Math,1988,52:129-145.

[6]Lubich C. Convolution Quadrature and Discretized Operational Calculus.II*[J]. Numer.Math,1988,52:413-425.

[7]Diethelm K ,Neville J F and Freed A D. Detailed Error Analysis for A Fractional Adams Method[J],Journal of Numerical Algorithms, Kluwer Academic Publishers,2004,36(1):31-52.

[8]沈淑君,劉發(fā)旺.解分?jǐn)?shù)階Bagley-Torvik方程的一種計算有效的數(shù)值方法[J].廈門大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2004，3：306-311.

[9]Daftardar-Gejji V, Jafari H. An iterative method for solving non linear functional equations[J]. J.Math. Anal.Appl,2006,316:753-763.

[10]M.CUI.Compact finite difference method for the fractional diffusion equation[J].J.Comput.Phys,2009,228:7792-7804.

[11]C.M.CHEN,F.LIU,V.ANH, I.TURNER. Numerical schemes with high spatial accuracy for a variable-order anomalous subdiffusion[J].SIAM J.Sci.Comput,2010,32:1740-1760.

[12]G.H.GAO,Z.Z.SUN. A compact difference scheme for the fractional sub-diffusion equations[J].J.Comput.Phys,2011,230:6061-6074.

[13]C.CHEN,F.LIU,V,ANH, I.TURNER. Numerical method for solving a two-dimensional variable-order anomalous subdiffusion equation[J].Math.Comp.,2011,81:345-366.

[14]馮光.一類分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題的數(shù)值方法[D].湘潭：湘潭大學(xué)，2008.

A new iterative method for a class of fractional order different equations

ZHANG Yaping

(1.Mathematics and Computational Science, Xiangtan University, Xiangtan 411105,China;2.Department of Science and Information Science, Shaoyang University,Shaoyang 422000,China)

In this paper, a new iterative method (NIM) proposed by Daftarar-Gejji and Jafari is applied to solve fractional ordinary differential equations. We obtain the numerical solutions of fractional equation. Numerical results demonstrate the efficiency of this iterative method by comparing the numerical solutions and the analytic solutions.

fractional order derivatives;fractional order different equations;new iterative method

1672-7010(2016)02-0005-06

2015-12-20

湖南省教育廳科學(xué)研究項目(12C0864)

張亞平(1977-),女,湖南邵陽人,博士生，講師,從事分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值方法及應(yīng)用研究

O241.82

A