景 麗, 董秋陽

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

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具有執(zhí)行器飽和不確定線性系統(tǒng)的控制

景 麗, 董秋陽

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

主要研究了一類具有執(zhí)行器飽和不確定線性系統(tǒng)的控制問題,探索當(dāng)執(zhí)行器飽和與不確定項同時存在時,系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件,并證明所得結(jié)論。首先,根據(jù)扇形區(qū)域法將飽和函數(shù)的飽和項表示出來。同時,根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論,給出具有執(zhí)行器飽和的線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件,并設(shè)計相應(yīng)的狀態(tài)反饋控制器,使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。然后,借助橢球體參考集,進(jìn)行系統(tǒng)吸引域大小的估計。為了便于使用Matlab軟件進(jìn)行求解,將上述系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的形式,進(jìn)而利用LMI工具箱進(jìn)行求解,得到相應(yīng)數(shù)據(jù)。最后,給出仿真算例,證明了結(jié)論是有效可行的。

連續(xù)系統(tǒng); 執(zhí)行器飽和; 不確定; 線性矩陣不等式

0 引 言

飽和在工業(yè)過程和實際生活中是十分常見的。其中,執(zhí)行器飽和更是影響著絕大多數(shù)系統(tǒng)。而系統(tǒng)包含的不確定性,也極大地影響著系統(tǒng)的穩(wěn)定。因此,本文針對具有執(zhí)行器飽和不確定線性系統(tǒng)的控制問題進(jìn)行研究是十分必要的。飽和系統(tǒng)是在1969年由A.T.Fuller首次提出的,他提出如果輸入飽和系統(tǒng)的積分器長度大于或等于2,不能使線性飽和系統(tǒng)全局穩(wěn)定。對于飽和系統(tǒng),其研究成果是顯著的,如文獻(xiàn)[1-5]等。對于執(zhí)行器飽和系統(tǒng)的研究,其重點在于如何處理飽和項。文獻(xiàn)[6]研究執(zhí)行器飽和系統(tǒng),運用扇形區(qū)域法對飽和項進(jìn)行了適當(dāng)處理,從而得到了執(zhí)行器飽和系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。文獻(xiàn)[7]首次運用凸組合方法對飽和項進(jìn)行處理。文獻(xiàn)[8]提出了一種“組合Lyapunov函數(shù)”法。文獻(xiàn)[9-10]主要運用Finsler’s引理和Lyapunov函數(shù)法。應(yīng)用不同方法,以上文獻(xiàn)均實現(xiàn)了對飽和項的處理,得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。

目前,國內(nèi)外學(xué)者對執(zhí)行器飽和系統(tǒng)的研究多是基于確定性線性系統(tǒng)上,其研究成果仍然具有很強的保守性,例如文獻(xiàn)[11-12]都是研究執(zhí)行器飽和系統(tǒng)的穩(wěn)定問題,并沒有研究當(dāng)系統(tǒng)帶有不確定項時,系統(tǒng)想要達(dá)到穩(wěn)定所需要的條件。本文則研究在執(zhí)行器飽和的基礎(chǔ)上,系統(tǒng)各參數(shù)均含有不確定項的情況。另外飽和項的處理,控制器的設(shè)計等方面均有良好的突破。

1 問題描述

考慮不確定線性飽和系統(tǒng):

(1)

其中:x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量;u∈Rm為控制輸入向量;A、B為適當(dāng)維數(shù)的常矩陣;ΔA、ΔB為相應(yīng)維數(shù)的不確定矩陣;且飽和非線性函數(shù)sat(·)定義如下:

sat(u)=[sat(u1),sat(u2),…,sat(um)]T

其中δ>0。

令ΔA=D1EF1,ΔB=D2EF2,其中D1,D2,F1,F2為已知適維矩陣。

引入狀態(tài)反饋控制律:

(2)

其中η∈Rn×1,則式(1)的閉環(huán)系統(tǒng):

(A+D1EF1)x+(B+D2EF2)[Kx+ηsat(x)] =

(3)

本文的研究目的是設(shè)計適當(dāng)狀態(tài)反饋控制器,使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

下面給出進(jìn)行本文研究需要的相關(guān)定義、定理等。

定義2 橢球集合[13]:P>0,P∈Rn×n,ρ>0為標(biāo)量,定義橢球體

定義3 吸引域[13]:假設(shè)系統(tǒng)的初始點x(0)=x0∈Rn,系統(tǒng)的解定義為φ(t,x0),因此它的吸引域是

引理1[14]給定矩陣A、L、E、F, 若FTF≤I,則有以下不等式成立

其中:α>0,P>0.

1) S<0

引理3[15]A,D,E和F為適當(dāng)維數(shù)的實矩陣,其中A是對稱的,A+DFE+ETFTDT<0,對所有滿足FTF≤I的矩陣成立,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個常數(shù)ε>0,使得A+εDDT+ε-1ETE<0。

2 不確定執(zhí)行器飽和系統(tǒng)的控制及吸引域估計

2.1 不確定執(zhí)行器飽和系統(tǒng)的控制

定理1 對于不確定飽和線性系統(tǒng)(1),在控制器(2)作用下,其中η∈Rn×1,若存在矩陣Q∈Rm×n以及正定矩陣N>0滿足不等式

則不確定飽和線性系統(tǒng)(1)是原點局部漸近穩(wěn)定的。

證明 對于式(2),由范數(shù)的三角不等式性質(zhì)可得

令‖Kx‖∞<1-‖η‖∞,ρ1=1-‖η‖∞, 則

假設(shè)V=xTPx是系統(tǒng)(3)的李雅普諾夫函數(shù),則其沿著該系統(tǒng)對時間的導(dǎo)數(shù)為

(4)

其中

(5)

式(5)應(yīng)用引理1,可得

(6)

因此,式(4)可以轉(zhuǎn)換為

(7)

由引理3,對上式進(jìn)一步整理,可得

(8)

在式(8)兩端同乘P-1,得

(9)

令N=P-1,Q=KP-1,將N,Q代入式(9)得

由引理2得到

2.2 吸引域估計

根據(jù)前一部分給出的系統(tǒng)穩(wěn)定條件,通過橢球體參考集進(jìn)行吸引域的估計,進(jìn)而獲得最大的吸引域,從而找出系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的最大區(qū)域。

此部分的研究應(yīng)滿足以下幾個式子:

(10)

(11)

(12)

其中式(10)是上文求得的系統(tǒng)穩(wěn)定的條件,式(11)將區(qū)域限制在橢球體內(nèi),式(12)表示橢球包含在多面體內(nèi)。

式(11)等價于

(13)

式(12)等價于

(14)

于是優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為

(15)

其中γ=σ-2。

利用LMI工具箱即可求出式(15)的解。

3 仿真算例

對于不確定飽和線性系統(tǒng)(1)

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣、輸入矩陣為

另外設(shè)

利用Matlab的LMI工具箱求解不等式組(15)得到結(jié)果:

γ=1.242 4

K=[-0.468 4;-0.640 1]

其中K是控制器增益矩陣。

系統(tǒng)初始狀態(tài)選為:x=(2,0.5)T,則在上述狀態(tài)反饋控制器作用下,系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,0.940 8x1x1+0.290 2x1x2+0.592 5x2x2=1。如圖1、圖2所示。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖

圖2 系統(tǒng)吸引域圖

4 結(jié) 論

本文研究了一類具有執(zhí)行器飽和不確定線性系統(tǒng)的控制問題。通過查閱相關(guān)書籍與文獻(xiàn)并根據(jù)國內(nèi)外學(xué)者的諸多研究成果,了解到大多數(shù)對控制系統(tǒng)的研究都是針對執(zhí)行器飽和系統(tǒng)進(jìn)行的,而對于將執(zhí)行器飽和與不確定性相結(jié)合的情況,到目前為止,國內(nèi)外學(xué)者所進(jìn)行的研究仍然較少。本文正是研究執(zhí)行器飽和與不確定項同時存在時,要使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定所需要滿足的條件。因此,本文研究具有一定的創(chuàng)新性。首先,借助扇形區(qū)域法處理飽和項。然后,根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論及相關(guān)引理,設(shè)計適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋控制器,給出系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件。最后,通過仿真算例驗證了結(jié)果的有效性和正確性。

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Control of uncertain linear systems with actuator saturation

JINGLi,DONGQiuyang

(College of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

In this paper, we study a class of uncertain linear systems with actuator saturation. We mainly explore the stability criterion of the system when actuator saturation and uncertainties exist at the same time, and prove the conclusion. Firstly, the study uses the sector region method to dispose saturation. At the same time, according to the Lyapunov stability theory, the study gets the stability criterion and designs the state feedback controller to make the system asymptotically stable. Secondly, with the help of ellipsoid

et, the study estimates the attraction domain size of the system. In order to use MATLAB toolbox, the study changes the stability criterion into linear matrix inequality, and gets the corresponding data. Finally, the study gives out a numerical example and it proves that the conclusion in this paper is effective and feasible.

continuous system; actuator saturation; uncertainly; linear matrix inequality

2016-10-02。

遼寧省教育廳科學(xué)研究一般項目(L2014435)。

景 麗(1967-),女,遼寧沈陽人,沈陽師范大學(xué)副教授,博士。

1673-5862(2016)04-0413-06

O436

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.04.007