鄭坤明, 張秋菊

(1.江南大學 機械工程學院，江蘇 無錫 214122； 2.江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室，江蘇 無錫 214122)

?

基于軌跡晶格與綜合動力靈巧度的Delta機器人軌跡規(guī)劃

鄭坤明1,2, 張秋菊1,2

(1.江南大學 機械工程學院，江蘇 無錫 214122； 2.江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室，江蘇 無錫 214122)

針對高速、柔性化Delta機器人軌跡規(guī)劃中的精度與振動穩(wěn)定性問題，提出一種基于軌跡晶格與綜合動力靈巧度的軌跡規(guī)劃方法。首先，根據(jù)前期的研究工作，建立了含關節(jié)間隙的Delta機器人系統(tǒng)完整彈性動力學模型；其次，定義了Delta機器人綜合動力靈巧度，并基于此，提出了操作空間中微小晶格與軌跡晶格的概念；然后，以綜合動力靈巧度為依據(jù)，考慮各種約束條件，在軌跡晶格中進行基于修正梯形模式的軌跡規(guī)劃；最后，利用激光跟蹤儀與動態(tài)信號采集設備，對提出的軌跡規(guī)劃策略進行了實驗分析。結果表明：所提出的軌跡規(guī)劃策略能夠精確、穩(wěn)定地實現(xiàn)機器人的抓取與放置動作。

Delta機器人；軌跡晶格；綜合動力靈巧度；完整彈性動力學模型；軌跡規(guī)劃

作為廣泛應用于食品包裝、制造加工、航空航天等領域的并聯(lián)機器人[1-6]，一經(jīng)問世就得到了國內外研究者的極大關注，并聯(lián)機器人的軌跡規(guī)劃是保障其精確穩(wěn)定運行的關鍵環(huán)節(jié)，不同于串聯(lián)機器人，并聯(lián)機器人運動速度快，桿件相對輕質化，制定軌跡規(guī)劃策略時需要考慮的因素相當多。劉涼等[7]對一種考慮關節(jié)摩擦的并聯(lián)機器人進行了基于時間最優(yōu)控制的平滑軌跡規(guī)劃，NATHANIEL等[8]對一種繩牽并聯(lián)機器人進行了點對點的軌跡規(guī)劃，CHEN等[9]基于多目標進化算法對一種并聯(lián)機器人進行了軌跡規(guī)劃，ERIC等[10]規(guī)劃了一種柔性并聯(lián)機器人基于時間最優(yōu)的軌跡策略。RIDHA等[11]對一種直線型Delta機器人進行了多目標軌跡規(guī)劃。經(jīng)查閱，有關并聯(lián)機器人的軌跡規(guī)劃主要集中在時間最優(yōu)，消耗能量最少等方面，對于綜合考慮末端執(zhí)行器位置精度與系統(tǒng)振動特性進行軌跡規(guī)劃的研究還相當匱乏[12]，但是隨著生產水平的提高，對于高速輕質化拾取類并聯(lián)機器人的位置精度與振動穩(wěn)定性提出了更高的要求[13-17]，所以在對該類機器人進行軌跡規(guī)劃時，有必要綜合考慮末端執(zhí)行器位置精度與系統(tǒng)的綜合動力學性能[18-26]。

基于以上認識，以Delta機器人為研究對象，提出一種基于軌跡晶格與綜合動力靈巧度的軌跡規(guī)劃方法。利用系統(tǒng)含關節(jié)間隙完整彈性動力學模型，以綜合動力靈巧度為主要依據(jù)，綜合考慮彈性動力學約束條件，運動學約束條件與固有頻率約束條件，在尋求的軌跡晶格中進行了基于修正梯形模式的軌跡規(guī)劃，并進行了驗證分析。

1 Delta機器人系統(tǒng)

圖1為Delta機器人結構簡化圖：由靜、動平臺A1A2A3、C1C2C3，主、從動臂AiBi、BiCi(i=1,2,3)組成。建立坐標系O-XYZ、p-xyz，設p點相對O-XYZ的坐標為(x,y,z)，θi為OAi、pCi與X軸的夾角，αi為AiBi輸入角。

圖1 Delta機器人的結構示意Fig.1 Schematic configuration of Delta robot

2 Delta機器人系統(tǒng)完整彈性動力學模型

根據(jù)文獻[27],得到含關節(jié)間隙的Delta機器人系統(tǒng)完整彈性動力學模型[28-34]：

(1)

3 基于綜合動力靈巧度與軌跡晶格的軌跡規(guī)劃

由于Delta機器人經(jīng)常運用在食品包裝生產線上，做高速往復拾取動作，如何在其工作空間規(guī)劃出運動學與動力學性能較好的軌跡空間，制定合適的軌跡運行策略，確保末端執(zhí)行器快速、穩(wěn)定、精確地工作是值得研究與探討的問題。本部分結合Delta完整彈性動力學模型與靈巧度，定義可以同時表征運動學與動力學性能的綜合動力靈巧度，在此基礎上，在Delta機器人工作空間中劃分軌跡晶格，制定軌跡規(guī)劃策略與約束條件。

3.1 綜合動力靈巧度

(2)

整理為:

(3)

則相對偏差為:

(4)

為分析方便，這里利用Frobenius范數(shù)定義Ck為:

(5)

一般地，Ck可表征為誤差指標，將其定義為Delta機器人的運動靈巧度。

以上定義的靈巧度僅在運動學領域有意義，但是作為高速、輕質化的Delta機器人而言，系統(tǒng)的彈性動力學性能對其工作的精確度與穩(wěn)定性有著不可忽視的影響，所以應當給出兼顧運動學與動力學性能的綜合動力靈巧度作為軌跡規(guī)劃的依據(jù)條件。

基于Delta機器人完整彈性動力學模型，定義動力學靈巧度：

(6)

動力靈巧度Cd可表征Delta機器人在高速運動過程中系統(tǒng)的動力學特性，其中Jp是由Jc擴充為與Mc維數(shù)相同的偽雅克比矩陣。

全面考慮運動靈巧度與動力靈巧度，基于權重系數(shù)變換法，分別給予Ck、Cd賦予權重ωk、ωd，則這兩種靈巧度的線性加權和可表示為C=ωkCk+ωdCd，這里以C作為Delta機器人綜合動力靈巧度。

3.2 軌跡晶格中基于修正梯形模式的軌跡規(guī)劃

由于Delta機器人的實際工作空間是一個形狀不規(guī)則的空間三維體，為了便于軌跡規(guī)劃，在實際工作空間中尋求綜合動力靈巧度性能較好的立方體空間，再將其分解為若干個微小立方體，稱之為微小晶格，這些微小晶格組成的綜合靈巧度性能較好的立方體空間稱之為軌跡晶格，如圖2所示，為便于分析，這里的軌跡晶格是一個簡單示意圖，為滿足精度要求，實際的微小晶格劃分數(shù)遠大于此。

圖2 軌跡晶格Fig.2 Trajectory lattice

微小晶格中按照精度要求，分散著動平臺的軌跡點，微小晶格劃分的體積越小，包含的軌跡點越少，軌跡規(guī)劃效率越高，在系統(tǒng)運行過程中，對比當前晶格之前的兩個晶格的軌跡誤差，調整當前晶格中的軌跡點，這樣可以在線實時控制動平臺的位置精度，使之以盡量小的路徑軌跡誤差運行。將這些微小晶格按照路徑軌跡的運行方向連接，形成動平臺運行的最終路徑。

另外，Delta機器人如需順利地完成被操作對象的抓取放置動作，一方面需要控制動平臺到達抓取點和放置點的位置，另一方面需要控制物品搬運時的高度，以避開運動路徑上的障礙物。

圖2中，P0為運動起始點，P5為運動終止點。T1時段，動平臺由P0點沿鉛垂直線路徑運動到P1點，位

移為S1；T2時段，動平臺由P1點沿圓弧狀路徑運動到P2點，位移為S2；T3時段，動平臺由P2點沿水平直線路徑運動到P3點，位移為S3。T4時段，動平臺由P3點沿圓弧狀路徑運動到P4點，位移為S4；T5時段，動平臺由P4點沿鉛垂直線路徑運動到P5點，位移為S5。

對高速、輕質化Delta機器人而言，對其進行軌跡規(guī)劃，需遵循這樣的原則：運行過程平穩(wěn)，也就是說運動過程中要求位移、速度、加速度無突變。修正梯形模式的位移函數(shù)對時間三階導數(shù)連續(xù)，在相同的的位移與加速度條件下，比多項式、正弦運動模式用時更短，選擇修正梯形模式作為軌跡規(guī)劃的運動規(guī)律。令修正梯形模式加速度函數(shù)為:

(7)

式中:amax為Delta機器人運動最大加速度，Tk是運動周期。k=1,2,3,4,5。

對式(7)兩次積分，由當t=0時，s=0，及位移函數(shù)的連續(xù)性，計算得到位移函數(shù)為:

(8)

(9)

動平臺沿軌跡段P0P1、P1P2、P2P3、P3P4、P4P5運行時均采用修正梯形軌跡模式。

3.3 軌跡規(guī)劃中的約束條件

因為Delta機器人屬于高速輕質化機器人，在以綜合動力靈巧度為軌跡規(guī)劃的主要依據(jù)的條件下，還應考慮其他可能影響其工作性能的約束條件。

3.3.1 彈性動力學約束條件

由式(1)可以看出，Delta機器人系統(tǒng)完整彈性動力學模型是一個多變量具有強耦合特性的方程組，為方便約束條件的計算，引入路徑參數(shù)w，將多變量約束問題轉換成二變量約束問題。這里，函數(shù)w是隨時間變化的，且w∈[0,1]，設其運動終止時刻時間為Tw，則w(0)=0、w(Tw)=1。將彈性位移用w(t)表示為Uc(w(t))，所以，相應的彈性速度與彈性加速度分別為:

(10)

(11)

將式(10)、式(11)分別代入式(1)得：

(12)

式中:Mcw(w)=Mc·U′c(w)；

Ccw(w)=Mc·U″c(w)+U′c(w)T·Cc·U′c(w)；

彈性動力學方程必須滿足所受廣義力的約束條件：

3.3.2 運動學約束條件

運動學約束條件是機器人桿件和驅動構件所能承受的最大廣義速度、最大廣義加速度與最大廣義Jerk速度。經(jīng)分析，Delta機器人的約束條件可表示為:

3.3.3 固有頻率約束條件

由于運動中的柔性機器人的固有頻率不僅與機構參數(shù)有關，還與其運動參數(shù)有著密不可分的關系。由此在機械結構不變的情況下可通過優(yōu)化運動、動力參數(shù)來提高系統(tǒng)的固有頻率。這里，由式(1)可以得到Delta機器人系統(tǒng)的特征方程：

(13)

fmin≤f1≤fmax

3.4 Delta機器人軌跡規(guī)劃綜合描述

綜上，在彈性動力學、運動學與固有頻率約束性能條件下，Delta機器人軌跡規(guī)劃的問題可描述為利用修正梯形運動規(guī)律尋求系統(tǒng)綜合動力靈巧度最小的立方體軌跡晶格工作空間，即：

其中,V為得到軌跡晶格工作空間。并且約束條件為：

4 實驗與仿真分析

主、從動臂是鋁合金材料，密度ρ=2 700 kg/m3，拉壓、剪切彈性模量分別為E=7.0×1010N/m2、G=2.65×1010N/m2；主、從動臂桿長是la=0.2 m、lb=0.5 m，靜、動平臺外接圓半徑為R=0.15 m，r=0.085 m，主動臂寬、高為b=h=0.025 m，從動臂外、內徑是D=0.016 m、d=0.014 m；動平臺質量mp=1.087 kg；運動靈巧度與動力靈巧度權重ωk=ωd=0.5。表1給出關節(jié)最大間隙。

表1 Delta機器人的最大關節(jié)間隙Tab.1 The maximum joint clearance of Delta robot

由已知參數(shù)，加工裝配出Delta機器人物理樣機，并利用FARO激光跟蹤儀作為測量動平臺位置坐標點的測量設備，如圖3所示，這里設定amax=100 m/s2，S1=S5=50 mm，S3=200 mm，S2與S4段為半徑是25 mm的1/4圓弧。T1=T5=0.049 s,T2=T4=0.035 s,T3=0.14 s，其中給定P0、P1、P2、P3、P4、P5點的位置坐標分別為：[0 -125 -450]，[0 -125 -400]，[0 -100 -375]，[0 100 -375]，[0 125-400]，[0 125 -450]，其中位置坐標單位為mm，參考坐標系是前文所建的全局坐標系O-XYZ。

圖3 FARO激光跟蹤儀測量物理樣機動平臺運動軌跡Fig.3 FARO laser tracker measuring moving platform trajectory of the physical prototype

圖3中，標號1為FARO激光跟蹤儀；標號2為Delta機器人物理樣機的動平臺；標號3為激光跟蹤儀的靶球與靶球接受到的激光束；標號4、5、6分別為從動臂、主動臂與靜平臺。為了減小隨機誤差，動平臺按照運行策略運行10次，取各個測量點的平均值，測得動平臺中心點在P0、P1、P2、P3、P4、P5點的平均位置誤差分別為：ε0=0.057 mm，ε1=0.078 mm，ε2=0.083 mm，ε3=0.104 mm，ε4=0.071 mm，ε5=0.063 mm。

以上數(shù)據(jù)可以看出，抓取點P0與放置點P5的位置誤差比軌跡中間點P1、P2、P3、P4的位置誤差小，由于主要關心的是Delta機器人抓取與放置點的位置精度，對軌跡中間點的位置精度要求不是很嚴格，主要使其能避開運動路徑上的障礙物即可，運用上述軌跡規(guī)劃策略較好地滿足了Delta機器人抓取、放置點的位置精度要求。

由于Delta機器人做高速、往復運動，桿件的柔性化與關節(jié)間隙的碰撞作用對其系統(tǒng)的振動特性有著不可忽視的影響，為保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需對其運行過程中的低階固有頻率進行辨識，分析上述軌跡規(guī)劃策略對系統(tǒng)振動的抑制能力。這里利用PCB脈沖力錘、加速度傳感器與LMS動態(tài)信號采集儀作為測量設備，為了便于黏接與測量，PCB加速度傳感器分布在主動臂與從動臂的連接接頭與動平臺的中心點處，共七個測量點。

這里首先采用脈沖錘擊法測量，當Delta機器人處于某一固定位置(動平臺中心點坐標為[0 0 -400]時系統(tǒng)的前兩階固有頻率，以便與運行過程中系統(tǒng)的基頻對比分析。隨后，在從動臂與動平臺連接接頭上用脈沖力錘敲擊，共六個激勵點，一般地，需保證能夠在較大的頻率范圍內激勵出各階模態(tài)，收集到七個測量點的加速度信號，為減少干擾、噪音，在每個激勵點敲擊五次，并計算平均值，由采集到的實驗數(shù)據(jù)，得到七組頻響數(shù)據(jù)，并可由此繪制出頻響幅值疊加圖，確定系統(tǒng)兩階固有頻率的大致范圍，即頻響幅值疊加圖的峰值對應的頻率值就是系統(tǒng)的固有頻率。

此外，為分析Delta機器人前兩階固有頻率的模態(tài)振型，將Delta機器人三維模型導入Workbench中，合理地劃分網(wǎng)格，添加約束條件，對其進行模態(tài)仿真，由仿真結果可以看出，從動臂的柔性變形構成了前兩階非零模態(tài)振型的主要部分，主要原因是：從動臂是長徑比大的細長桿，柔性大，系統(tǒng)工作時振動變形明顯。由此可知，著重改善從動臂的動態(tài)特性，對減小Delta機器人系統(tǒng)的振動變形，提高運動穩(wěn)定性大有裨益。

隨后，得到Delta機器人按照制定的軌跡規(guī)劃策略運行時系統(tǒng)基頻隨時間的變化曲線如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)基頻隨時間的變化曲線Fig.4 Curve of fundamental frequency that change over time

由圖4可知，系統(tǒng)基頻隨著機器人運動狀態(tài)的改變明顯地分為五部分，并且抓取段P0P1與放置段P4P5的基頻值相對其他軌跡段較大，說明按照之前的軌跡規(guī)劃策略，Delta機器人能夠在抓取與放置階段有更好的振動穩(wěn)定性，另外發(fā)現(xiàn)放置段P4P5的系統(tǒng)基頻明顯小于抓取段P0P1的基頻，這主要是因為在抓取段，系統(tǒng)剛開始運行，由桿件彈性與關節(jié)間隙碰撞導致的系統(tǒng)振動還不明顯，當運行到放置段，桿件彈性與關節(jié)間隙碰撞產生較大的殘余振動，從而引起系統(tǒng)基頻的下降。另外，中間路徑段基頻較小，原因是當三個主動臂處于水平位置時，即動平臺的中心點坐標為[0 0 -400]，Delta機器人處于動力奇異位形，此處的系統(tǒng)基頻將急劇下降為零，為避免該情況發(fā)生，在軌跡晶格中，使動平臺中心點偏離該處若干個微小晶格，但是，即便如此中間路徑段還是在奇異位形附近，導致系統(tǒng)的基頻小于其他軌跡段。另外發(fā)現(xiàn)，在運行過程中，系統(tǒng)基頻總是低于系統(tǒng)靜止時的基頻，這說明了高速運行的柔性機器人，會對系統(tǒng)固有頻率產生相當大的影響。

經(jīng)以上實驗與仿真分析可以看出，利用前述的軌跡規(guī)劃策略可使Delta機器人在拾取段與抓取段都非常接近系統(tǒng)靜止時的基頻，因而可保證其穩(wěn)定地實現(xiàn)抓取與放置動作。

5 結 論

本文以高速輕質化Delta機器人為研究對象，針對高速運行工況下，末端執(zhí)行器的位置精度與系統(tǒng)的振動特性等問題，利用系統(tǒng)完整彈性動力學模型。討論了基于軌跡晶格與綜合動力靈巧度的軌跡規(guī)劃策略，并通過實驗分析驗證了該軌跡規(guī)劃策略的有效性和正確性，得出以下結論：

(1)基于Delta機器人完整動力學模型，得到的動力靈巧度與靈巧度相結合可得出反應整機系統(tǒng)運動學與動力學特性的綜合動力靈巧度，將它作為軌跡規(guī)劃的主要依據(jù)，并結合彈性動力學約束條件、動力學約束條件、系統(tǒng)固有頻率約束條件，在整體工作空間選取的軌跡晶格中進行基于修正梯形模式的軌跡規(guī)劃，可保證末端執(zhí)行器精確穩(wěn)定地實現(xiàn)抓取放置動作。

(2)柔性并聯(lián)機器人的固有頻率不僅與自身的固有結構有關，還與運行過程中的動力參數(shù)有著密切的聯(lián)系，并且由于其具有對稱的物理結構，導致系統(tǒng)的某幾階固有頻率相當接近。

雖然本文提出的軌跡規(guī)劃策略能夠很好地實現(xiàn)Delta機器人的工作性能，但是仍存在不足之處，此規(guī)劃策略計算量大，因而編寫的控制程序相對復雜，由于硬件條件的限制，在實驗控制過程中偶爾會出現(xiàn)死機的情況，如何在保證軌跡規(guī)劃策略順利運行的前提下提高算法的穩(wěn)健性與運算效率是今后進一步研究的重點。另外，利用所建立的動力綜合靈巧度與各種約束條件對整機系統(tǒng)進行尺度綜合亦是關注的重點。

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Delta robot’s trajectory planning based on trajectory lattice and comprehensive dynamics dexterity

ZHENG Kunming1,2, ZHANG Qiuju1,2

(1. School of Mechanical Engineering, Jiangnan University, Wuxi 214122, China;2. Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment & Technology, Wuxi 214122, China)

Aiming at the accuracy and vibration stability of a high speed flexible Delta robot in its trajectory planning, a trajectory planning method based on the trajectory lattice and comprehensive dynamics dexterity was proposed. According to the previous research results, a complete elastic dynamic model of the Delta robot with joint clearance was established. Based on defining the comprehensive dynamics dexterity of Delta robot, the concept of the lattice and the trajectory lattice in the operation space was presented. Then, considering the conditions under various constraints, the trajectory planning based on the modified trapezoidal mode in the trajectory lattice was carried out. By using a laser tracker and corresponding dynamic signal acquisition device, the trajectory planning strategy was experimentally analysed. The results show that the trajectory planning strategy proposed can achieve the robot’s grasping and placing actions accurately and steadyly.

Delta robot; trajectory lattice; comprehensive dynamics dexterity; complete elastic dynamic model; trajectory planning

教育部中央高?；究蒲袠I(yè)務專項基金重點項目資助項目(JUSRP51316B)

2015-06-23 修改稿收到日期：2015-11-10

鄭坤明 男，碩士生，1989年生

張秋菊 女，博士，教授，博士生導師，1963年生 E-mail: ZhengKunming_111@163.com

TH113;TH115

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.22.005