周國(guó)全

（武漢大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430072）

教學(xué)討論

旋轉(zhuǎn)帶電體磁矩的推廣的平行軸定理

周國(guó)全

（武漢大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430072）

首先推導(dǎo)出二階標(biāo)量電矩在任意兩個(gè)平行軸之間的移軸定理（平行軸定理）的最一般的表達(dá)形式；再通過(guò)旋轉(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩與其二階標(biāo)量電矩的簡(jiǎn)單比例關(guān)系，推導(dǎo)出定軸旋轉(zhuǎn)帶電體的磁矩在任意兩個(gè)平行軸之間的移軸定理的推廣形式； 再具體討論了過(guò)電荷中心的軸與其平行軸之間的移軸定理，并特別給出了旋轉(zhuǎn)帶電體的磁矩的平行軸定理在如下三種特定情形的具體形式：1）總電荷為零，2）電偶極矩為零，3）總電荷與電偶極矩均為零.最后澄清了若干文獻(xiàn)中有關(guān)平行軸定理的含糊不清之處，并更正其錯(cuò)訛之處.

旋轉(zhuǎn)帶電體；磁矩；平行軸定理；電荷中心；磁偶極矩

旋轉(zhuǎn)帶電體磁矩的計(jì)算及其規(guī)律的研究，是電磁場(chǎng)理論及其應(yīng)用研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容.從電磁場(chǎng)理論、空間技術(shù)及天體物理的角度出發(fā)，深入研究旋轉(zhuǎn)帶電體的電磁特性及其在外場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有特殊而重要的意義［1，2］.文獻(xiàn) ［2-4］通過(guò)引入諸如電矩張量、標(biāo)量電矩、磁矩橢球、主軸及主軸標(biāo)量電矩等一系列有用的概念，推導(dǎo)出任意帶電體繞定點(diǎn)或定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的磁矩的若干規(guī)律.文獻(xiàn)［4］明確給出了任意給定電荷分布的旋轉(zhuǎn)帶電體的零磁矩條件.文獻(xiàn) ［5-7］基于旋轉(zhuǎn)帶電體磁矩和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間嚴(yán)格而精致的類比關(guān)系，成功地導(dǎo)出了諸如正交軸定理及其推廣、平行軸定理及其推論、中心軸定理等若干重要的計(jì)算法則及其算例.文獻(xiàn)［8，9］基于旋轉(zhuǎn)帶電體的磁矩的張量表達(dá)，利用經(jīng)典力學(xué)中轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的歐拉方程，導(dǎo)出了勻強(qiáng)磁場(chǎng)中定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)帶電剛體的拉格朗日動(dòng)力學(xué)理論和歐拉方程；嚴(yán)格地解決了兩種簡(jiǎn)單對(duì)稱情形.文獻(xiàn)［10］則討論了在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的帶電絕緣體轉(zhuǎn)動(dòng)的穩(wěn)定性問(wèn)題.

本文專注于旋轉(zhuǎn)帶電體定軸磁矩的一條重要法則---平行軸定理；該定理的推導(dǎo)及其應(yīng)用，已然見諸于若干文獻(xiàn)［5-7］.它們的合理與正確性基于一種力電類比關(guān)系，即當(dāng)電荷元dq繞定軸作角速為 ω、轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為 r⊥的勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，則其磁矩大小為這與質(zhì)量為dm的質(zhì)點(diǎn)繞定軸作半徑為r⊥的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dJ=r2⊥dm具有如下類比關(guān)系：

基于數(shù)學(xué)表達(dá)的簡(jiǎn)潔性的要求，不妨取 ω=ωCe（在物理上ω、ωCe本來(lái)相互獨(dú)立），文獻(xiàn)［3，4］給出了如下形式的平行軸定理：

這就是旋轉(zhuǎn)帶電體的磁矩的平行軸定理，鑒于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理的普適性，上述定理式

（1或1′）似乎對(duì)任意形狀，任意電荷分布 （體分布、面分布或離散點(diǎn)分布）的旋轉(zhuǎn)帶電體都成立.

仔細(xì)推敲，定理式（1或1′）暗含一個(gè)重要而直接的推論：“當(dāng)旋轉(zhuǎn)帶電體之電荷總和 Q=0時(shí)，Pm=PmCe，與兩軸間距d及移軸方向無(wú)關(guān).即若帶電體各處電荷面密度或體密度不為零但總電荷為零，則其繞空間任一軸的磁矩恒等于同一角速下繞過(guò)電心的平行軸的磁矩，與兩軸間距及移軸方向無(wú)關(guān)，或者說(shuō)與轉(zhuǎn)軸位置無(wú)關(guān)，僅與轉(zhuǎn)軸方向有關(guān)”.但作者深入研究的結(jié)果表明，定理式（1或1′）在特定條件下的推論具有局限性甚至謬誤，它被掩蓋在不嚴(yán)格的一般性條件的描述之中.最典型一個(gè)錯(cuò)訛之處，在于運(yùn)用類比法推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)帶電體定軸磁矩的平行軸定理時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的質(zhì)心是正定和必然存在的，而電荷系統(tǒng)的中心卻不是正定的，在總電荷 Q（即零階電矩）為零時(shí)，由所定義的電荷中心Ce甚至根本不存在，此時(shí)文獻(xiàn)［1，2］中的平行軸定理就失效而不成立，因而“在總電荷為零時(shí)，旋轉(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩與位置無(wú)關(guān)，僅與方向有關(guān)”的結(jié)論顯然也是站不住腳的.

本文首先推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩在兩個(gè)任意平行軸之間的移軸定理的最一般的形式，分析了定軸磁矩與移軸無(wú)關(guān)的充分條件，再討論了在1）總電荷（零階矩）為零，2）電偶極矩（一階矩）為零，以及3）零階矩與一階矩均為零的特定條件下，旋轉(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩的平行軸定理的特殊的具體形式，進(jìn)而理清文獻(xiàn) ［5-7］中的平行軸定理的模糊與錯(cuò)訛之處.

1 旋轉(zhuǎn)帶電體定軸磁矩的推廣的平行軸定理

由于旋轉(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩與電荷沿軸向的分布無(wú)關(guān)，因此假設(shè)兩平行的定軸方向垂直于紙面并分別與紙面相交于O與O′處，分別選定為z軸（以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）與 z′軸（以 O′點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)），則任一點(diǎn)電荷qi（i=1，2，…，N），（一般并不一定在紙面），在兩個(gè)坐標(biāo)系中的位矢與坐標(biāo)分別為ri（xi，yi，zi）與 r′i（x′i，y′i，z′i），但具有相同的 z坐標(biāo)，即zi=z′i.根據(jù)文獻(xiàn)［1-3］，電荷元dq繞定軸（O，l）作角速為ω（大小為ω）、轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為r⊥的勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其定軸磁矩大小為［2-7］

再對(duì)指標(biāo)i（i=1，2，…，N）求和，可得帶電體繞兩軸的總磁矩分別為：

在此基礎(chǔ)上，我們來(lái)討論旋轉(zhuǎn)帶電體磁矩的平行軸定理（移軸定理）.我們首先討論旋轉(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩在兩個(gè)任意平行軸之間最一般的移軸定理.

如圖1所示，在此平面上，我們不妨假設(shè)電量為qi的第i個(gè)點(diǎn)電荷相對(duì)于點(diǎn) O的位置矢量為 ri；其相對(duì)于點(diǎn)O′的位置矢量為r′i；兩軸之間的相對(duì)位置向量并滿足如下關(guān)系式

圖1. 在兩個(gè)任意平行軸之間的移軸定理

將以上方程兩邊的矢量與自己相點(diǎn)乘，可得

兩邊同乘以第i個(gè)點(diǎn)電荷的電量qi，并移項(xiàng)可得

將式（8）代入式（7）左邊，再對(duì)式（7）中的指標(biāo)i（i=1，2，…，N）求和，可得其中稱為該電荷系統(tǒng)的零階電矩，即總電荷稱為該電荷系統(tǒng)的關(guān)于定點(diǎn) O

的一階電矩，即電偶極矩，而統(tǒng)相對(duì)于 O處的定軸的二階電矩，記為 T（O，l），稱為該電荷系稱為該電荷系統(tǒng)相對(duì)于O′處的平行定軸的二階電矩，記為T（O′，l），于是可得二階電矩平行軸定理

將式（10）兩側(cè)同乘以角速矢量之半 ω／2，運(yùn)用式（2），或式（3′）、（4′），亦即旋轉(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩公式［2-4］可得定軸磁矩在任意平行軸之間的移軸定理

這是旋轉(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩的移軸定理的最一般的形式.以下基于式（10）與式（11）就若干特例情形進(jìn)行進(jìn)一步的討論.

2 若干特例情形的討論

不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)零階電矩Q=0的同時(shí)，一階電矩Pe（O）=0，或 Pe⊥d，定軸磁矩在兩個(gè)任意平行軸之間滿足移軸不變性，即

當(dāng)零階電矩Q≠0，但一階電矩Pe（O）=0，或軸的橫向平移方向 d⊥Pe（O）時(shí)，定軸磁矩在任意兩平行軸之間滿足如下移軸定理：

當(dāng)零階（標(biāo)量）電矩（即總電荷）Q=0，但一階（矢量）電矩（即電偶極矩）Pe≠0時(shí)，定軸磁矩在任意兩平行軸之間滿足如下移軸定理：

其次我們?cè)儆懻撔D(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩從過(guò)電荷中心的軸向其他平行軸的移軸定理.當(dāng)Q≠0時(shí)，有

其中rCe是電荷中心的位置矢量，其定義為

若將點(diǎn)O取成電荷中心 Ce，此時(shí) rCe=0，因而電偶極矩

則電矩平行軸定理式（10）變?yōu)?/p>

形式上完全類似于質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理.將式（18）兩側(cè)同乘以角速矢量之半同樣運(yùn)用旋轉(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩與標(biāo)量二階電矩的比例關(guān)系式（2），立即可得磁矩與電荷中心 Ce有關(guān)的平行軸之間的移軸定理式（1）或（1′）.這種情形下，我們?cè)俨荒苡懻撌剑?8）在Q=0時(shí)的推論，這是因?yàn)镼=0時(shí)不存在電荷中心Ce，式（18）已不再成立.

3 結(jié)論

旋轉(zhuǎn)帶電體的磁矩計(jì)算的平行軸定理的最一般的推廣形式（11），適用于任意兩個(gè)平行的定軸之間和一切具有確定電荷分布的情形.定理式（11）及其特殊情形的諸推論式（13）、（14），以及Q≠0時(shí)關(guān)于電荷中心的定理式（1）或（1′），為我們精確計(jì)算各種形狀的旋轉(zhuǎn)帶電體沿任意軸的磁矩提供了強(qiáng)有力的理論工具，因而對(duì)完善電磁場(chǎng)理論的研究與推進(jìn)其技術(shù)的應(yīng)用發(fā)展尤為必需和重要.研究結(jié)果表明：1）當(dāng)帶電體的零階電矩（即總電荷）為零時(shí)，電荷中心不存在，文獻(xiàn)［5-7］的平行軸定理不再成立，而是本文的式（11）成立；2）當(dāng)帶電體的零階電矩（即總電荷）為零，且其一階電矩（即總電偶極矩）亦為零，或電偶極矩垂直于移軸方向（d的方向）時(shí)，其定軸磁矩才與軸的位置無(wú)關(guān)，僅與軸的方向有關(guān).至此文獻(xiàn) ［5-7］在帶電體總電荷為零時(shí)的含糊與錯(cuò)訛之處得以澄清.

［1］ 虞國(guó)寅，周國(guó)全.電動(dòng)力學(xué)［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2008：11，87-88.

［2］ 周國(guó)全.一個(gè)新的電矩張量及其在電磁場(chǎng)中的應(yīng)用［M］.金瑯學(xué)術(shù)出版社（Golden Light Academic Publishing），（德國(guó)）薩爾布呂肯市：OmniScriptum GmbH＆Co.KG.2015：11-25.

［3］ 周國(guó)全.電矩張量與旋轉(zhuǎn)帶電體的磁矩［J］.大學(xué)物

理，2007，26（4）：7-11.

［4］ Guo-Quan Zhou，et al.The Magnetic-Moment Quadric and Conditions of Vanishing Magnetic Moment for a Rotational Charged Body［J］.Progress in Electromagnetics Research，2007，70：211-223.（Cambridge：The Electromagnetics Academy）.

［5］ 徐定藩，呂正山.帶電體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的磁矩計(jì)算［J］.大學(xué)物理，1997，16（4）：3-4.

［6］ 周國(guó)全.旋轉(zhuǎn)帶電體磁矩計(jì)算的若干法則與算例［J］.物理與工程，2004，14（2）：16-19.

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［9］ 周國(guó)全，張斯磊，肖霄.帶電電介質(zhì)剛體在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），武漢：武漢大學(xué)出版社，2009，55（2）：187-190.

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The generalized parallel-axes theorem for the magnetic moment of a rotational charged body

ZHOU Guo-quan
（Department of Physics，Wuhan University，Wuhan，Hubei 430072，China）

The most general expression of the axis-translation theorem（parallel-axis theorem）for the 2-order scalar charge moment of a charge system around any two parallel axes is deduced.The generalized axis-translation theorem of the magnetic moment of a rotational charged body around any two parallel axes is derived through the simple proportionate relation between the fixed-axis magnetic moment and the 2-order scalar charge moment for the same charge system.The specific conclusions of axis-translation theorem are demonstrated and discussed under three cases：1）the total charge（0-order charge moment）is zero；2）the electric dipole moment（1-order charge moment）is zero；3）both the total charge and electric dipole moment are zero.The ambiguities are clarified and the mistakes in some

are corrected.

rotational charged body；magnetic moment；parallel-axis theorem；charge center；magnetic dipole moment

O 572，O 442

A

1000-0712（2016）11-0009-04

2016-01-18；

2016-05-09

國(guó)家級(jí)教學(xué)團(tuán)隊(duì)基金資助項(xiàng)目（202276003）

周國(guó)全，（1965-）男，湖北漢川人，博士，武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院副教授，主要從事普物與理論物理教學(xué)，及場(chǎng)論與非線性可積方程研究工作.