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        環(huán)Z4上自對偶碼的構(gòu)造

        2016-12-09 06:35:04朱士信開曉山
        電子學(xué)報 2016年11期
        關(guān)鍵詞:歐幾里得碼字對偶

        袁 健,朱士信,開曉山

        (1.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽合肥 230009;2.東南大學(xué)移動通信國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇南京 210096)

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        環(huán)Z4上自對偶碼的構(gòu)造

        袁 健1,2,朱士信1,2,開曉山1,2

        (1.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽合肥 230009;2.東南大學(xué)移動通信國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇南京 210096)

        Gray映射;線性碼;自對偶碼

        1 引言

        2 環(huán)Z4+vZ4上的線性碼

        定理1[6]若C為Z4上長為n的類型Ⅱ碼,則dE(C)≤8?n/24」+8;若C為Z4上長為n的類型Ⅰ碼,則當(dāng)n≡23(mod24)時,dE(C)≤8?n/24」+12,否則dE(C)≤8?n/24」+8.

        稱達(dá)到定理1中上界的自對偶碼為Z4上的極優(yōu)碼.下面介紹有限環(huán)Z4+vZ4={a+bv|a,b∈Z4},其中v2=1.為簡便起見,用R表示環(huán)Z4+vZ4.環(huán)R是一個特征為4的含幺交換環(huán),并且R可以看作多項式剩余類環(huán)Z4[v]/〈v2-1〉.R的單位元素組成的集合為

        U={1,3,1+2v,3+2v,v,3v,2+v,2+3v},

        R的非單位元素組成的集合為

        N={0,2,2v,2+2v,1+v,3+v,1+3v,3+3v}.

        將R的非單位分為兩個集合:N1={0,2,2v,2+2v}和N2={1+v,3+v,1+3v,3+3v}.容易驗(yàn)證:

        環(huán)R有7個不同的理想,它們分別為:

        {0},Z4+vZ4,{0,2+2v},〈2〉={0,2,2v,2+2v},〈1+v〉={0,1+v,2+2v,3+3v},〈1+3v〉={0,1+3v,2+2v,3+v},〈2,1+v〉={0,2,2v,2+2v,1+v,3+v,1+3v,3+3v}.

        因此,R是一個最大理想為〈2,1+v〉的局部環(huán),剩余域?yàn)镕2.因?yàn)椤?,1+v〉在R中的零化理想Ann(〈2,1+v〉)={0,2+2v}在F2上的維數(shù)為1,所以R是一個局部Frobenius環(huán)[10,11].

        其中ci=ai+biv,i=0,1,…,n-1.顯然,φ是一個雙射.根據(jù)歐幾里得重量定義,容易得到下面結(jié)論:

        在Rn上引入內(nèi)積.對于任意x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)∈Rn,定義x·y=x1y1+x2y2+…+xnyn.R上的長為n的線性碼C的對偶碼定義為C⊥={x∈Rn|x·c=0,?c∈C}.易證C⊥也是R上的長為n的線性碼.因?yàn)镽是一個Frobenius環(huán),所以有|C||C⊥|=16n(參見[10]).

        3 R上自對偶碼及其Gray像

        設(shè)C是R上的線性碼, 若C?C⊥,則稱C為R上自正交碼;若C=C⊥,則稱C為R上自對偶碼.R中由元素2生成的理想〈2〉可以看作R上長為1的自對偶碼,利用直積的方法[11],容易看到環(huán)R上存在任意長度的自對偶碼.任取c=(c1,c2,…,cn-1)∈C,用nU(c)表示c的屬于U的分量數(shù)目,nN2(c)表示c的屬于N2的分量數(shù)目.為了構(gòu)造Z4上自對偶碼,首先給出R上自對偶碼的性質(zhì).

        定理3 設(shè)C為R上長為n的線性碼,則下面結(jié)論成立:

        (1) 若C是自正交碼,則對于任一碼字c∈C,nN2(c)≡0(mod2)且nU(c)≡0(mod4).因此,R上自正交碼的每個碼字的歐幾里得重量都是4的倍數(shù).

        (2)若C是自對偶碼,則C包含全2向量和全(2+2v)向量.

        證明 (1) 設(shè)C是R上的自正交碼,則對任一c∈C,c·c=0.但在R中,

        c·c=nN2(c)(2+2v)+nU(c)

        =2nN2(c)+nU(c)+(2nN2(c))v.

        因此,

        nN2(c)≡0(mod2)且nU(c)≡0(mod4).

        注意到N2中的元素的歐幾里得重量都是2,N1中的元素的歐幾里得重量為0或4或8,即是4的倍數(shù),而U中元素的歐幾里得重量模4余1.由此可得,R上自正交碼的每個碼字的歐幾里得重量都是4的倍數(shù).

        (2) 在環(huán)R中,容易驗(yàn)證:當(dāng)r∈U時,r·(2+2v)=2+2v;當(dāng)r∈N時,r·(2+2v)=0.

        設(shè)C是R上的自對偶碼,對任一c∈C,(2+2v,2+2v,…,2+2v)·c=nU(c)(2+2v).由(1)知,nU(c)是4的倍數(shù),從而(2+2v,2+2v,…,2+2v)∈C⊥=C,即C中包含全2+2v向量.同理,C也包含全2向量.

        由定理3(1),R上自對偶碼的每個碼字的歐幾里得重量都是4的倍數(shù).同時,由于R中2+2v的歐幾里得重量為8,根據(jù)定理3(2),R上自對偶碼中一定存在歐幾里得重量是8的倍數(shù)的碼字.由此,我們引入下面定義:

        定義1 設(shè)C是R上的自對偶碼,若它的每個碼字的歐幾里得重量都是8的倍數(shù),則稱C為類型Ⅱ碼,否則稱C為類型Ⅰ碼.

        為了構(gòu)造Z4上自對偶碼,下面考慮R上自對偶碼的Gray像.

        定理4 設(shè)C為R上長為n的線性碼,則φ(C⊥)=φ(C)⊥.而且,若C是R上長為n自對偶碼,則φ(C)為Z4上長為2n的自對偶碼.若C是R上長為n的類型 Ⅱ碼,則φ(C)為Z4上長為2n的類型Ⅱ碼.

        證明 因?yàn)棣帐且粋€雙射保距映射,并且

        |φ(C⊥)|=|C⊥|=16n/|C|=42n/|φ(C)|=|φ(C)⊥|,

        所以

        于是

        從而φ(C⊥)=φ(C)⊥.

        注意到R上由2生成的長為1的自對偶碼是類型Ⅰ碼,利用直積方法[11]可知,R上任意長的類型Ⅰ碼都存在,而對于R上類型Ⅱ碼有下面的結(jié)果:

        定理5 環(huán)R上長為n的類型Ⅱ碼存在當(dāng)且僅當(dāng)n是4的倍數(shù).

        證明 由文獻(xiàn)[6]可知,對于Z4上長為N的自對偶碼,僅當(dāng)N是8的倍數(shù)時,存在Z4上長為N的類型Ⅱ碼.因?yàn)棣帐潜>嘤成?,所以若R上長為n的類型Ⅱ碼存在,則n是4的倍數(shù).反過來,設(shè)n是4的倍數(shù),令C=〈(v,1,1,1),(3,v,1,3),(3,3,v,1),(3,1,3,v)〉,則C是R上長為4的類型Ⅱ碼.C的歐幾里得重量計數(shù)器為WC(z)=1+128z8+126z16+z32.因此,C是一個參數(shù)為(4,44,8)的類型Ⅱ碼.根據(jù)文獻(xiàn)[11,Lemma 3.2],C×C,C×C×C,C×C×C×C,……分別為R上長為8,12,16,……的類型Ⅱ碼.所以,當(dāng)n是4的倍數(shù)時,R上長為n的類型Ⅱ碼存在.

        下面給出類型Ⅰ碼和類型Ⅱ碼的歐幾里得重量的上界.

        定理6 設(shè)dE是R上長為n的類型Ⅰ碼或類型Ⅱ碼的歐幾里得重量,則dE≤8?n/12」+8.

        證明 由定理4,如果C是R上長為n的類型Ⅱ碼或類型Ⅰ碼,那么φ(C)為Z4上長為2n的類型Ⅱ碼或類型Ⅰ碼.因?yàn)棣帐潜>嘤成?,根?jù)定理1立即可以得到結(jié)論.因?yàn)?n≠23(mod24),所以dE的上界不變.

        若R上自對偶碼滿足定理6中的上界dE=8?n/12」+8,則稱C為環(huán)R上的極優(yōu)碼.

        4 Z4上自對偶碼

        本節(jié),利用前面的結(jié)論,再結(jié)合計算機(jī)程序搜索R上類型Ⅰ碼和類型Ⅱ碼,由此構(gòu)造Z4上的自對偶碼.

        例1 考慮R上長為1的自對偶碼.取C1=〈2〉,則C1是R上的參數(shù)為(1,4,4)的類型Ⅰ最優(yōu)碼,其歐幾里得重量計數(shù)器為WC1(z)=1+2z4+z8.因此,φ(C1)是Z4上參數(shù)為(2,4022,4) 的類型Ⅰ碼.

        例2 考慮R上長為2的自對偶碼.取C2=〈(1+v,1-v),(2,2)〉,則C2是R上參數(shù)為(2,16,4)的類型Ⅰ最優(yōu)碼,其歐幾里得重量計數(shù)器為WC2(z)=1+8z4+6z8+z16.因此,φ(C2)是Z4上參數(shù)為(4,4122,4) 類型Ⅰ碼.

        例3 考慮R上長為3的自對偶碼.取C3=〈(0,1+v,1-v),(1+v,0,1-v),(2,2,2)〉,則C3是R上參數(shù)為(3,64,4)的極優(yōu)類型Ⅰ碼,其歐幾里得重量計數(shù)器為WC3(z)=1+12z4+27z8+20z12+3z16+z24.因此,φ(C3)是Z4上參數(shù)為(6,4222,4) 的類型Ⅰ碼.

        例4 考慮R上長為4的自對偶碼.在定理6的證明中,已經(jīng)給出一個R上的長為4的(4,44,8)的極優(yōu)類型Ⅱ碼.該碼的Gray象是四元OCTA碼[1].若C4是R上的長為4,且由下面5個向量生成的線性碼:(1,3,1,1+2v),(0,2+2v,0,2+2v),(2+v,2+v,1,3+2v),(0,2,3+v,1+v)和(0,0,2,2),則C4是R上參數(shù)為(4,256,8)的極優(yōu)類型Ⅱ碼,其歐幾里得重量計數(shù)器為WC4(z)=1+132z8+118z16+4z24+z32.因此,φ(C4)是Z4上參數(shù)為(8,4322,8)的極優(yōu)類型Ⅱ碼.

        例5 考慮R上長為6的自對偶碼.設(shè)C6是R上的長為6,且由下列向量生成線性碼:(1-v,1-v,1-v,1-v,1-v,1-v),(0,2v,0,0,0,2),(0,0,2v,0,0,2),(0,0,0,2v,0,2),(0,0,0,0,2v,2),(0,0,0,0,0,2+2v),(2,0,0,0,0,2),(0,2,0,0,0,2),(0,0,2,0,0,2),(0,0,0,2,0,2),(0,0,0,0,2,2),則C6是R上參數(shù)為(6,46,8)的極優(yōu)類型Ⅰ碼,其歐幾里得重量計數(shù)器為

        WC6(z)=1+66z8+2048z12+495z16+924z24

        +495z32+66z40+z48.

        因此,φ(C6)是Z4上參數(shù)為(12,41210,8)的極優(yōu)類型Ⅰ碼.

        例6 考慮R上長為8的自對偶碼.

        +15382z32+764z40+244z48+4z56+z64.

        +17088z24+13056z28+6932z32+2560z36+608z40+128z44+28z48+z64.

        (1,0,0,0,2+2v,3v,3v,3v),

        (0,1,0,0,3v,2+2v,2+3v,2+v),

        (0,0,1,0,3v,2+v,2+2v,2+3v),

        (0,0,0,1,3v,2+3v,2+v,2+2v).

        5 總結(jié)

        [1]Hammons A R Jr,Kumar P V,Calderbank A R,Sloane N J A,Solé P. TheZ4-linearity of Kerdock,Preparata,Goethals and related codes [J]. IEEE Transactions on Information Theory,1994,40(2): 301-319.

        [2]吳波,朱士信,李平. 環(huán)Fp+uFp上的Kerdock碼與Preparata碼[J]. 電子學(xué)報,2008,36(7): 1364-1367.

        Wo Bo,Zhu Shi-xin,Li Ping. Kerdock codes and Preparata codes over ringsFp+uFp[J]. Acta Electronica Sinica,2008,36(7): 1364-1367. (in Chinese)

        [3]朱士信,許和乾,施敏加. 環(huán)Z4上線性碼關(guān)于RT距離MacWalliams恒等式[J]. 電子學(xué)報,2009,37(5): 1115-1118.

        Zhu Shi-xin,Xu He-qian,Shi Min-jia. MacWalliams identities of linear codes over ringZ4with respect to the RT metric [J]. Acta Electronica Sinica,2009,37(5): 1115-1118. (in Chinese)

        [4]施敏加,楊善林. 非主理想環(huán)Fp+vFp上線性碼的MacWalliams恒等式[J]. 電子學(xué)報,2011,39(10): 2449-2453.

        Shi Min-jia,Yang Shan-lin. MacWilliams identities of linear codes over non-principal ideal ringFp+vFp[J]. Acta Electronica Sinica,2011,39(10): 2449-2453. (in Chinese)

        [5]Bachoc C. Applications of coding theory to the construction of modular lattices [J]. Journal of Combinatorial Theory Series A,1997,78(1): 92-119.

        [6]Bonnecaze A,Solé P,Bachoc C,Mourrain B. Type Ⅱ codes overZ4[J]. IEEE Transactions on Information Theory,1997,43(3): 969-976.

        [7]Dougherty S T,Gaborit P,Harada M,Solé P. Type Ⅱ codes overF2+uF2[J]. IEEE Transactions on Information Theory,1999,45(1): 32-45.

        [8]Yildiz B,Karadeniz S. Self-dual codes overF2+uF2+vF2+uvF2[J]. Journal of the Franklin Institute,2010,347(10):1888-1894.

        [9]Yildiz B,Karadeniz S. Linear codes overZ4+uZ4: MacWilliams identities,projections,and formally self-dual codes [J]. Finite Fields and Their Applications,2014,27: 24-40.

        [10]Wood J. Duality for modules over finite rings and applications to coding theory [J].The American Journal of Mathematics,1999,121(3): 555-575.

        [11]Doughterty S T,Kim J L,Kulosman H,Liu H W. Self-dual codes over commutative Frobenius rings [J]. Finite Fields and Their Applications,2010,16(1): 14-26.

        袁 健 男,1988年生,合肥工業(yè)大學(xué)博士生,研究方向?yàn)榇鷶?shù)編碼.

        E-mail: yuanjian@mail.hfut.edu.cn

        朱士信(通信作者) 男,1962年生,合肥工業(yè)大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師,國家級教學(xué)名師,國家“萬人計劃”第一批教學(xué)名師. 長期從事編碼理論、序列密碼與信息安全等研究.

        E-mail: zhushixin@hfut.edu.cn

        開曉山 男,1975年生,合肥工業(yè)大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師,主要從事編碼理論與信息安全研究.

        E-mail: kxs6@sina.com

        A Method for Construction Self-dual Codes over Z4

        YUAN Jian1,2,ZHU Shi-xin1,2,KAI Xiao-shan1,2

        (1.SchoolofMathematics,HefeiUniversityofTechnology,Hefei,Anhui230009,China; 2.NationalMobileCommunicationsResearchLaboratory,SoutheastUniversity,Nanjing,Jiangsu210096,China)

        Gray map; linear codes; self-dual codes

        2015-07-08;

        2016-01-04; 責(zé)任編輯:馬蘭英

        國家自然科學(xué)基金(No.61370089 );東南大學(xué)移動通信國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放研究基金(No.2014D04);安徽省自然科學(xué)基金(No.JZ2015AKZR0021,No.1508085SQA198)

        TN991.22

        A

        0372-2112 (2016)11-2807-05

        ??學(xué)報URL:http://www.ejournal.org.cn

        10.3969/j.issn.0372-2112.2016.11.034

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