馮良祥，田振強(qiáng)

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第三十九研究所,西安 710065）

某雷達(dá)天線座齒輪傳動(dòng)副動(dòng)力學(xué)研究

馮良祥，田振強(qiáng)

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第三十九研究所,西安 710065）

以某雷達(dá)天線為例，對(duì)其齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的技術(shù)與結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分析，在結(jié)合齒側(cè)間隙對(duì)天線座齒輪伺服系統(tǒng)影響的基礎(chǔ)上，建立了齒輪副間隙的非線性動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)其進(jìn)行數(shù)值求解，旨在為降低因齒側(cè)間隙引起的系統(tǒng)振動(dòng)和噪聲，為提高雷達(dá)伺服系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)。

雷達(dá)天線座；齒輪傳動(dòng)副；動(dòng)力學(xué)特性

【DOI】10.13616/j.cnki.gcjsysj.2016.09.034

1 引言

因齒側(cè)間隙的存在，雷達(dá)天線座齒輪在自身傳動(dòng)過程中會(huì)因內(nèi)部齒輪相互作用產(chǎn)生接觸—分離—接觸的嚙入嚙出沖擊，從而降低雷達(dá)伺服系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性，進(jìn)而降低其定位精度。在此背景下，應(yīng)進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)雷達(dá)天線座齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)技術(shù)、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的研究，并在掌握齒側(cè)間隙對(duì)伺服系統(tǒng)影響的基礎(chǔ)上，加強(qiáng)對(duì)雷達(dá)天線座齒輪傳動(dòng)副動(dòng)力學(xué)的研究，提高雷達(dá)的定位精度和工作的穩(wěn)定性。

2 某雷達(dá)天線座齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)特點(diǎn)

該雷達(dá)天線座傳動(dòng)系統(tǒng)由方位傳動(dòng)與俯仰傳動(dòng)系統(tǒng)組成，給出該雷達(dá)天線座齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的相關(guān)技術(shù)指標(biāo)（見表1），由表1可知，某雷達(dá)天線的方位運(yùn)動(dòng)范圍為：±180°，俯仰運(yùn)動(dòng)范圍為：-91～+91°；加速度：方位/俯仰30°/s2；運(yùn)動(dòng)速度：方位/俯仰40°/s；傳動(dòng)回差：方位/俯仰≤0.05°。方位齒輪傳動(dòng)與俯仰齒輪傳動(dòng)的傳動(dòng)鏈均由行星齒輪減速器以及電機(jī)和末級(jí)齒輪副共同構(gòu)成。

表1 某雷達(dá)天線的運(yùn)動(dòng)參數(shù)

在天線座齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行反向運(yùn)動(dòng)的過程中，受齒側(cè)間隙影響，主動(dòng)齒輪必須要運(yùn)行間隙大小的行程后方能夠進(jìn)一步帶動(dòng)從動(dòng)齒輪進(jìn)行反向運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致二者的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生延時(shí)，從而形成如圖1所示的齒輪環(huán)狀間隙，其中，x1和x2分別表示主動(dòng)齒輪與從動(dòng)齒輪的環(huán)形長(zhǎng)度，即周長(zhǎng)；b為主動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)過的間隙大小的空程。由此，齒輪副傳動(dòng)的嚙入與嚙出過程便呈現(xiàn)出非單值的非線性關(guān)系[2]。

圖1 環(huán)狀間隙特性

圖2 雷達(dá)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)

圖2給出了該雷達(dá)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的示意圖，圖中，i1、Δ1為天線座傳動(dòng)系統(tǒng)輸入軸減速機(jī)與末級(jí)齒輪副的傳動(dòng)比與間隙；i2和Δ2分別為天線座傳動(dòng)系統(tǒng)中輸出軸減速機(jī)與末級(jí)齒輪副的傳動(dòng)比及間隙。由此，末級(jí)齒輪副傳動(dòng)的總間隙Δθ可表示為：

齒側(cè)間隙對(duì)雷達(dá)伺服系統(tǒng)影響主要包括：（1）齒側(cè)間隙本身的不確定性導(dǎo)致伺服系統(tǒng)的定位精度大幅下降，從而增加傳動(dòng)系統(tǒng)靜態(tài)誤差；（2）齒側(cè)間隙導(dǎo)致主動(dòng)與從動(dòng)齒輪運(yùn)動(dòng)的不同步，使系統(tǒng)產(chǎn)生滯后效應(yīng)，從而降低了伺服傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，引發(fā)系統(tǒng)震蕩，降低其穩(wěn)定性[3]。

3 面向齒側(cè)間隙的齒輪副動(dòng)力學(xué)建模

3.1 非線性動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)建

利用集中質(zhì)量法來對(duì)其齒輪副傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型予以構(gòu)建，構(gòu)建該雷達(dá)天線座齒輪副傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，如圖3所示[1]。

圖3 某雷達(dá)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

rb1與rb2分別表示主動(dòng)與從動(dòng)齒輪的基圓半徑；I1與I2分別為主動(dòng)與從動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；T1和T2分別為作用于主動(dòng)與從動(dòng)齒輪的扭矩；θ1和θ2則為兩齒輪的扭轉(zhuǎn)角位移；Cg和k（τ）則表示兩齒輪嚙合的阻尼系數(shù)與剛度。齒輪嚙合的綜合誤差以e（τ）表示。

3.2 非線性運(yùn)動(dòng)微分方程的構(gòu)建與分析

由牛頓第三定律可知，相互作用的2個(gè)物體之間的作用力和反作用力大小相等方向相反，而該雷達(dá)天線座齒輪傳動(dòng)副的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與扭矩則恰好滿足牛頓第三定律中的闡述?；诖?，建立齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性運(yùn)動(dòng)微分方程，具體形式如式（2）所示：

f（x）為齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中出現(xiàn)齒側(cè)間隙時(shí)，齒輪嚙合力所對(duì)應(yīng)的非線性函數(shù)，假定某雷達(dá)天線座齒輪的齒側(cè)間隙為2b，則f（x）具有顯著的分段特征，對(duì)應(yīng)的齒側(cè)間隙的非線性函數(shù)可表示為式（3）所示形式，相應(yīng)的函數(shù)形式如圖4所示。

圖4 齒側(cè)間隙非線性函數(shù)

設(shè)該雷達(dá)天線座齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中的主動(dòng)與從動(dòng)齒輪在嚙合線處發(fā)生的位移分別為x1與x2，則有，x1=rb1θ1；x2=rb2θ2，令式（3）第一式的兩端同時(shí)除以rb1，第二式的兩端同時(shí)除以rb2，進(jìn)而得到齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性運(yùn)動(dòng)微分方程的等效方程，并對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)代換，進(jìn)而得到：

式中，m1為系統(tǒng)中齒輪的當(dāng)量質(zhì)量，表示為m1=I1/rb1；Fi為作用在齒輪i（i=1,2）的嚙合力，表示為Fi=Ti/rbi,c為嚙合阻尼，m2為齒輪的實(shí)際質(zhì)量。為進(jìn)一步獲得齒輪間隙所發(fā)生變化的動(dòng)態(tài)相應(yīng)情況，對(duì)傳動(dòng)誤差值進(jìn)行分析可知，其通常以該齒輪在嚙合線上所發(fā)生的直線位移進(jìn)行度量。假定當(dāng)該雷達(dá)天線座齒輪副中的從動(dòng)齒輪的理論位置要比實(shí)際位置有所提前時(shí)，傳動(dòng)誤差為正，當(dāng)其實(shí)際位置比其理論位置提前時(shí)，相應(yīng)的傳動(dòng)誤差為負(fù)。設(shè)傳動(dòng)誤差為δ，則其計(jì)算方法為：

由此，式（4）可進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為齒側(cè)間隙的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)等效微分方程，即：

式中，m表示齒輪副的等效質(zhì)量，其值為m=m1m2/m1+m2；F（τ）則表示為：

式中，F(xiàn)u（τ）與Fv（τ）分別表示齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的外部激勵(lì)與內(nèi)部激勵(lì)，通常情況下，內(nèi)外部激勵(lì)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)類型均為時(shí)間的周期函數(shù)，可以傅里葉級(jí)數(shù)的形式對(duì)二者進(jìn)行表示，具體形式如下：

式中，F(xiàn)u0與Fv0分別為齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中外部激勵(lì)與內(nèi)部激勵(lì)的靜態(tài)分量，n為傅里葉級(jí)數(shù)中的諧波數(shù)，ωu與ωv分別為齒輪副的內(nèi)部激勵(lì)頻率與外部激勵(lì)頻率，F(xiàn)u2i-1、Fv2i-1分別為外部激勵(lì)及內(nèi)部激勵(lì)的交變分量中頻率為（2i-1）倍激頻的激勵(lì)幅值；Fu2i、Fv2i分別為外部激勵(lì)及內(nèi)部激勵(lì)的交變分量中頻率為2i倍激頻的激勵(lì)幅值。該雷達(dá)天線座齒輪副傳動(dòng)系統(tǒng)中齒輪在嚙合時(shí)，單齒與雙齒嚙合的運(yùn)行是交替進(jìn)行的，故在此過程中，齒輪嚙合的剛度也會(huì)發(fā)生交替變化，加之對(duì)于不同的嚙合位置而言，其所對(duì)應(yīng)的嚙合剛度也具有較大差異，這便導(dǎo)致了齒輪傳動(dòng)時(shí)，其嚙合的剛度k（τ）受時(shí)間的影響較大，即呈現(xiàn)出顯著的周期性，仍可利用傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)齒輪嚙合剛度k（τ）予以表示，具體形式為：

式中，k（τ）為齒輪的齒輪嚙合剛度；k0為齒輪的平均嚙合剛度，k2i-1、k2i為相應(yīng)激勵(lì)下交變分量中頻率為（2i-1）倍和2i時(shí)齒輪的嚙合剛度，ω為齒輪副的嚙合頻率，ω=2πzini/60，式中，ni和zi（i=1,2）分別為天線座齒輪副中相互嚙合齒輪的轉(zhuǎn)速以及齒輪數(shù)量，需要說明的是，對(duì)于同一個(gè)齒輪副而言，其嚙合頻率與內(nèi)部激勵(lì)頻率相同，即ω=ωv。為進(jìn)一步提高對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程求解的便利性，對(duì)其進(jìn)行無量綱化處理，可得：

式中，ζ為阻尼比，ψ（t）為齒輪副的平均嚙合剛度，f（x）仍然以式（6）所示為標(biāo)準(zhǔn)，在無量綱化方程中，P（t）包括的激勵(lì)作用主要表現(xiàn)為2方面：（1）外扭矩載荷引起的振蕩激勵(lì)；（2）齒輪副中相互嚙合的齒輪在嚙合過程中產(chǎn)生的誤差激勵(lì)。對(duì)于整個(gè)天線座齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)而言，基于靜態(tài)傳動(dòng)誤差的內(nèi)部激勵(lì)頻率，即齒輪副中嚙合齒輪的嚙合頻率，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出外載荷扭矩本身的變化頻率，故內(nèi)部激勵(lì)是導(dǎo)致該雷達(dá)天線座齒輪副傳動(dòng)產(chǎn)生噪聲與振動(dòng)的主要原因[4]。

3.3 非線性動(dòng)力學(xué)模型的數(shù)值求解

3.3.1 系統(tǒng)初值的確定

為了進(jìn)一步探究齒側(cè)間隙的非線性對(duì)整個(gè)雷達(dá)天線座齒輪副傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，做出以下假設(shè)：該雷達(dá)天線座齒輪副傳動(dòng)系統(tǒng)中，齒輪激勵(lì)只有單頻交變分量和平均分量構(gòu)成，且對(duì)齒輪嚙合剛度本身的時(shí)變性予以忽略，也就是將齒輪嚙合剛度以齒輪副嚙合剛度的均值予以取代，即ψ（t）=ψ（0）=1。假定齒輪本身的靜態(tài)嚙合力為Fm，相應(yīng)的齒輪綜合誤差e為eacos（ωT+φe），由此，嚙合剛度F（τ）則為：

分別令：φ0=φe+π；Pm=Fm/(b0k0)；Pa=ea/b0ω2；ω=ω/ωn，式中，k0為齒輪的平均嚙合剛度；b0為假定的位移度量標(biāo)準(zhǔn)。由此，P（t）也可以齒輪嚙合過程中的交變分量與平均分量相結(jié)合的形式予以表示，對(duì)其進(jìn)行無量綱化處理可得：

式中，Pm和Pa分別表示齒輪副傳動(dòng)系統(tǒng)的平均激勵(lì)和交變激勵(lì)所對(duì)應(yīng)的幅值，ω和φ0分別表示系統(tǒng)的激勵(lì)頻率與相對(duì)相位角，由此，可將某雷達(dá)天線座齒輪副傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性運(yùn)動(dòng)微分方程的無量綱化形式即式（12）進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

式（14）便是該雷達(dá)天線座齒輪傳動(dòng)副動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)最終的齒側(cè)間隙非線性動(dòng)力學(xué)微分方程，其初值分別為x（t0）和. x（t0）。

3.3.2 力學(xué)模型的數(shù)值求解

構(gòu)建齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)行的微分方程：

本文利用數(shù)值方法中的Runge-Kutta法對(duì)所購(gòu)建的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)微分方程進(jìn)行數(shù)值求解。給出已知條件微分方程：

式中，R為方程最大穩(wěn)定域，對(duì)于給定的中止時(shí)刻，即tmax，引入足夠大的數(shù)值N（N∈Z），對(duì)時(shí)間段[t0，tmax]進(jìn)行離散，離散形式為：

在較短的單位時(shí)間間隔內(nèi)，對(duì)式（16）進(jìn)行積分，由積分中值定理可得，勢(shì)必會(huì)存在一個(gè)sk∈[tk，tk+1]使得：

由此，雷達(dá)天線座齒輪副的動(dòng)力學(xué)求解問題的關(guān)鍵便轉(zhuǎn)移到求出上式中的sk上來，將傳動(dòng)系統(tǒng)微分方程轉(zhuǎn)化為如下形式：

式中，x1則為齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)間隙量綱化后的位移數(shù)值，x2表示齒輪量綱化后的速度，當(dāng)雷達(dá)伺服系統(tǒng)運(yùn)行過程中，相關(guān)操作人員給定x1與x2數(shù)值時(shí)，則能夠根據(jù)式（19）準(zhǔn)確確定出系統(tǒng)狀態(tài)。

3.4 某雷達(dá)天線座齒輪副傳動(dòng)齒側(cè)間隙的非線性模型的仿真分析

利用Matlab的Simulink仿真軟件構(gòu)建如圖5所示的某雷達(dá)天線座齒輪副傳動(dòng)齒側(cè)間隙的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)仿真模型，以阻尼比的變化為例對(duì)模型的響應(yīng)情況進(jìn)行分析。

圖5 齒輪間隙非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)仿真模型

設(shè)定固定激勵(lì)頻率為ω，齒側(cè)間隙為b，激勵(lì)的幅值為Pm和Pa，令阻尼ζ比介于0～0.2的范圍內(nèi)變化，并觀察其對(duì)所建立的系統(tǒng)響應(yīng)特征的影響。取ω=1，Pm=0.1，Pa=0.2，b=1.0，當(dāng)ζ= 0.1時(shí)，某雷達(dá)天線座齒輪傳動(dòng)副系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域波形圖以及相平面圖和功率譜分別如圖6～圖8所示。由圖6～圖8可知，系統(tǒng)在進(jìn)行2周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)波形不僅包括了同激振力相同的諧波，而且還包括了頻率為ω/2的亞諧波回應(yīng)。由相平面圖可知，在天線座齒輪的嚙合過程中，只存在齒面的嚙合，且在此過程中會(huì)發(fā)生周期性的脫嚙情況，但在齒背處卻并不會(huì)相互嚙合，說明系統(tǒng)從初始收斂狀態(tài)開始到穩(wěn)態(tài)的響應(yīng)速度相對(duì)較快。

圖6 ζ=0.1時(shí)時(shí)域波形圖

圖7 ζ=0.1時(shí)相平面圖

圖8 ζ=0.1時(shí)功率譜

同理，阻尼比=0.2時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)情況分別如圖9～圖11所示，由圖9～圖11可知，當(dāng)阻尼比ζ由小變大的過程中，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期則逐漸減小，當(dāng)阻尼比大于某一值時(shí)，亞諧波振動(dòng)消失。此外，當(dāng)阻尼比較大時(shí)，齒輪嚙合過程中只存在齒面沖擊，而無齒背沖擊，即齒背沖擊隨著阻尼比的增加而逐漸出現(xiàn)，當(dāng)ζ=0.2時(shí)，齒背沖擊最為嚴(yán)重。從系統(tǒng)的收斂至運(yùn)動(dòng)周期的時(shí)間層面分析，當(dāng)ζ較大時(shí)，系統(tǒng)收斂值運(yùn)動(dòng)周期的時(shí)間最小，即系統(tǒng)收斂時(shí)間隨著阻尼比的增加而減少[4]，由此可見，通過對(duì)阻尼比大小的合理調(diào)控能夠較好地實(shí)現(xiàn)對(duì)某雷達(dá)齒輪系統(tǒng)碰撞行為的有效控制。

圖9 ζ=0.2時(shí)時(shí)域波形圖

圖10 ζ=0.2時(shí)時(shí)相平面圖

圖11 ζ=0.2時(shí)功率譜

4 結(jié)論

通過對(duì)某雷達(dá)天線座齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分析，進(jìn)而對(duì)齒側(cè)間隙對(duì)伺服系統(tǒng)的影響做出了系統(tǒng)探究，在此基礎(chǔ)上，建立了面向齒側(cè)間隙的齒輪副動(dòng)力學(xué)模型，并利用Runge-Kutta數(shù)值方法對(duì)模型進(jìn)行求解。研究結(jié)果表明，齒側(cè)間隙對(duì)雷達(dá)天線座傳動(dòng)副系統(tǒng)的運(yùn)行精度與運(yùn)行的穩(wěn)定性具有嚴(yán)重影響。將來還需進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)雷達(dá)天線座傳動(dòng)副動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的研究力度，為提高雷達(dá)伺服系統(tǒng)的定位精度和運(yùn)行的穩(wěn)定性提供可靠保障。

【1】顧吉豐，段勇軍，平麗浩，等.雷達(dá)天線座傳動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速波動(dòng)影響因素分析[J].現(xiàn)代雷達(dá)，2013(2)：76-79.

【2】魏忠良，陳玉振，岳振興.傳動(dòng)齒輪疲勞壽命的仿真分析[J].電子機(jī)械工程，2013(6)：56-58.

【3】胡長(zhǎng)明，王長(zhǎng)武，王賢宙.天線座多柔體動(dòng)力學(xué)建模與仿真分析[J].電子機(jī)械工程，2015(5)：52-57.

【4】陳進(jìn)，何成善，彭學(xué)文，等.模態(tài)參數(shù)改進(jìn)為目標(biāo)的前視天線座結(jié)構(gòu)研究[J].噪聲與振動(dòng)控制，2013,6(13)∶39-42.

Study on the Gear Transmission Dynamics of a Radar Antenna Pedestal

FENG Liang-xiang,TIAN Zhen-qiang
(No.39 Institute of China Electronic Technology Group,Xi'an 710065,China)

Taking a radar antenna as an example,this paper analyzes the technology and structure characteristics of its gear transmission system.In combination with the influence of tooth side gap on gear servo system of the antenna pedestal,the nonlinear dynamic model of gear pair clearance is established,and the numerical solutionis made,in order to reduce vibration and noise from the backlash,and provide a kinetic basis for improving the stability of radar servo system.

radar antenna pedestal;gear transmission pair;dynamic characteristics

TH132.41

A

1007-9467（2016）09-0078-05

2016-08-05

馮良祥（1979～），男，河南新鄉(xiāng)人，工程師，從事雷達(dá)傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)研究。