劉瑞娟,翁 振,段孝娟，陳建成

(廈門理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,福建 廈門 361024)

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不確定離散系統(tǒng)的保性能擾動(dòng)抑制方法

劉瑞娟,翁 振,段孝娟，陳建成

(廈門理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,福建 廈門 361024)

基于等價(jià)輸入干擾的思想，將離散系統(tǒng)的外界擾動(dòng)及模型不確定性均視為系統(tǒng)的擾動(dòng)，等價(jià)到系統(tǒng)的輸入端，提出一種不確定離散系統(tǒng)的保性能擾動(dòng)抑制方法.采用基于內(nèi)模及狀態(tài)反饋的結(jié)構(gòu)進(jìn)行擾動(dòng)抑制設(shè)計(jì)，利用李亞普諾夫方法得到控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件.并引入保性能優(yōu)化指標(biāo)，對控制器增益進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).仿真結(jié)果顯示,該方法能夠獲得良好的擾動(dòng)抑制效果.

離散系統(tǒng)；不確定性；保性能控制；擾動(dòng)抑制；等價(jià)輸入干擾

在工業(yè)過程控制中，控制系統(tǒng)都不可避免地存在建模誤差、參數(shù)攝動(dòng)等不確定因素，并受到外界干擾的影響，如電力系統(tǒng)、機(jī)械系統(tǒng)及化工系統(tǒng)等.這些不確定性不僅使得系統(tǒng)的控制性能變差，產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，而且還可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定.因此，擾動(dòng)抑制問題一直受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1].而當(dāng)實(shí)現(xiàn)各種控制策略時(shí)，計(jì)算機(jī)處理的只能是離散的數(shù)字信號(hào)，也就是通過離散化的方法將連續(xù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成離散系統(tǒng)來處理.如果直接針對離散系統(tǒng)進(jìn)行控制設(shè)計(jì)，更有利于分析和實(shí)現(xiàn).

目前，離散系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制研究已取得了一定的成果.例如：滑?？刂评靡粋€(gè)滑動(dòng)面消除參數(shù)不確定性及外界擾動(dòng)對系統(tǒng)的影響，知道擾動(dòng)的上下界便可設(shè)計(jì)出漸近穩(wěn)定的控制器[2]；基于干擾觀測器的方法主要利用對象的逆模型和低通濾波器來構(gòu)造擾動(dòng)觀測器，從而對擾動(dòng)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)[3]；自抗擾控制則把系統(tǒng)的未建模動(dòng)態(tài)和未知擾動(dòng)作用歸結(jié)為一種總擾動(dòng)，再利用擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器對這種擾動(dòng)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，進(jìn)而反向補(bǔ)償[4].

基于等價(jià)輸入干擾(equivalent input disturbance,EID)的方法主要思想在于根據(jù)擾動(dòng)對系統(tǒng)輸出的影響效果，定義一個(gè)與總擾動(dòng)等價(jià)的輸入端干擾，再通過控制器的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)對輸入端干擾的反向補(bǔ)償[5]380.基于等價(jià)輸入干擾的方法首先對線性系統(tǒng)進(jìn)行了擾動(dòng)抑制設(shè)計(jì)及電機(jī)裝置實(shí)驗(yàn)[5]380.文獻(xiàn)[6-7]將該方法分別應(yīng)用于不確定系統(tǒng)、狀態(tài)時(shí)滯系統(tǒng)等，獲得了良好的擾動(dòng)抑制性能.等價(jià)輸入干擾方法現(xiàn)已在汽車駕駛控制[8]、建筑物減震[9]和欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人[5]380等方面實(shí)現(xiàn)了成功的應(yīng)用.然而，這種方法對離散系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制問題尚未涉及.本文針對不確定離散線性系統(tǒng)，基于等價(jià)輸入干擾的思想，采用內(nèi)模及反饋控制進(jìn)行系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制設(shè)計(jì)，并結(jié)合保性能優(yōu)化控制方法，得到合適的控制器增益，使系統(tǒng)獲得了良好的跟蹤控制性能.

1 預(yù)備知識(shí)

本文考慮如下不確定離散線性系統(tǒng)：

(1)

其中：x(k)為狀態(tài)變量；u(k)為控制輸入；y(k)為輸出信號(hào)；A,B,C為維數(shù)合適的系數(shù)矩陣.該對象的不確定為時(shí)變的，并具有一般形式：[ΔA(k)ΔB(k)]=ME(k)[N0N1].這里M、N0、N1為已知適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，E(k)∈Rn×n為具有勒貝格可測元素的矩陣函數(shù)，滿足

(2)

考慮到控制系統(tǒng)的一般性，對被控對象做如下假設(shè)：1)系統(tǒng)(1)是能觀測的且是能控的；系統(tǒng)(2)在虛軸上是沒有零點(diǎn)的.

首先利用等價(jià)輸入干擾的思想，將不確定性及外界干擾一起等價(jià)到系統(tǒng)的輸入端，再對該等價(jià)干擾進(jìn)行抑制.

等價(jià)輸入干擾的概念及存在性敘述見圖1、圖2.

定義1[5]令控制輸入u(t)為0.如果對于所有的t≥0，圖1和圖2中系統(tǒng)的輸出恒相等，那么，擾動(dòng)de(t)就叫作擾動(dòng)信號(hào)d(t)的等價(jià)輸入干擾.

根據(jù)穩(wěn)定逆的概念[10]，有如下引理1.

引理1[5]令Θ={pi(t)sin(ωit+φi)},i=0,1,…,n.其中：ωi(ωi≥0)和φi為常數(shù)；pi(t)是關(guān)于時(shí)間t的任意多項(xiàng)式.那么，若被控對象是能控的和能觀測的，且在虛軸上沒有零點(diǎn)，則在控制輸入端必存在一個(gè)等價(jià)輸入干擾de(t)∈Θ，并且其產(chǎn)生的輸出也包含于集合Θ.

根據(jù)定義1和引理1，將對象(1)寫為

(3)

為了更方便分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，先給出引理2、引理3.

引理3[12]設(shè)f1(x)、f2(x)為定義在Rn上的二次型函數(shù)，若f2(x)≤0，?x∈Rn-{0}，則f1(x)<0的充要條件是：存在ε≥0，使得f1(x)-ε·f2(x)<0成立.

假設(shè)輸出矩陣C的奇異值分解為：

(4)

這里S為半正定矩陣，U和V為酉矩陣.

2 基于內(nèi)部模型的系統(tǒng)擾動(dòng)抑制優(yōu)化設(shè)計(jì)

內(nèi)部模型是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中一種常用的方法，其核心部分就是一個(gè)積分器，根據(jù)參考輸入的不同，設(shè)計(jì)也需要做相應(yīng)的改變.內(nèi)部模型的主要作用就是用來精確跟蹤參考輸入，消除穩(wěn)態(tài)誤差，達(dá)到良好的控制效果.

本文的不確定離散線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示.所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)包括被控對象、內(nèi)部模型和狀態(tài)反饋控制器3部分，其中內(nèi)部模型為：

(5)

其主要作用是精確地追蹤輸入信號(hào)r(k).由此，對于精確已知的輸入信號(hào)r(k)，參數(shù)AR、BR就能容易確定.同時(shí)狀態(tài)反饋控制律設(shè)計(jì)為：

(6)

由于外部信號(hào)不會(huì)影響到系統(tǒng)內(nèi)部的穩(wěn)定性，所以令外部輸入為0，即

(7)

同時(shí)定義φ(k)=[xR(k)x(k)]T.由式(1)及式(6)可以得到：

(8)

結(jié)合(1)、式(7)，內(nèi)模(5)化為：

(9)

由式(8)和式(9)可得控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：

(10)

(11)

以下定理1給出了不確定離散線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性充分條件以及控制器參數(shù).

定理1 離散系統(tǒng)(1)在控制律(6)作用下是漸近穩(wěn)定的，若存在對稱正定矩陣X1、X2以及合適維數(shù)的矩陣W1和W2，使得如下LMI可行

(12)

(13)

證明 選取合適的Lyapunov函數(shù)

(14)

(15)

(16)

(17)

對式(17)左乘右乘對角矩陣Π=diag{P1-1,P2-1,I,I}=diag{X1,X2,I,I}，得

(18)

注意到式(18)不是LMI，為解此矩陣不等式，對相應(yīng)系數(shù)進(jìn)行以下替換：

KRX1=W1，KYX2=W2，

(19)

將式(19)代入式(18)，即得式(12)LMI.

結(jié)合式(2)和式(11)得：ΓT(k)Γ(k)≤φT(k)ΨTΨφ(k).對式(16)應(yīng)用引理2，取ε=1.由于系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)V(k+1)<0，因此式(12)保證了不確定系統(tǒng)(8)漸近穩(wěn)定.由式(19)可得控制器增益式(13).

(20)

由于矩陣不等式(20)不是線性的，而且不易轉(zhuǎn)化為線性，因此，利用定理1求出一組可行解，再代入式(20)驗(yàn)證是否滿足優(yōu)化條件.若條件不滿足則可將式(14)中的待定矩陣P1替換為αP1，通過調(diào)節(jié)其中的參數(shù)α來間接調(diào)節(jié)矩陣，直到式(20)負(fù)定為止.

3 數(shù)值仿真

(21)

綜上可知，定理1可以很好地處理不確定性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.但是，當(dāng)系統(tǒng)被控對象受未知干擾影響時(shí)，則定理1的效果就顯得不太理想.為了檢驗(yàn)這個(gè)問題，在5s時(shí)將如下未知擾動(dòng)加于系統(tǒng)(1)的輸出端：

du(t)=0.1 tanht-0.5 tanh(0.5t)+0.8 sin(0.5πt) .

(22)

在不匹配擾動(dòng)式(22)干擾的情況下，原受干擾系統(tǒng)和本文的控制系統(tǒng)的輸出響應(yīng)對比曲線見圖4.在[5s,25s]區(qū)間，滑?？刂葡到y(tǒng)輸出的峰值為0.08，而應(yīng)用本文方法后，峰值即降到了0.03以下.由圖4可以看出，定理1的方法在處理系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題是可行的，同時(shí)也會(huì)受到系統(tǒng)干擾的影響.

4 結(jié)論

本文將基于等價(jià)輸入干擾的思想應(yīng)用于不確定離散系統(tǒng)，提出了一種基于內(nèi)模的保性能擾動(dòng)抑制方法.采用內(nèi)模及狀態(tài)反饋進(jìn)行系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制設(shè)計(jì)，利用李亞普諾夫方法得到控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件及控制器增益，再應(yīng)用保性能優(yōu)化指標(biāo)進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化設(shè)計(jì).通過數(shù)值算例仿真可以看出，所提出的方法具有較好的擾動(dòng)抑制控制性能.

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(責(zé)任編輯 李 寧 雨 松)

Guaranteed Cost Disturbance Rejection Methodfor Uncertain Discrete Systems

LIU Ruijuan，WENG Zhen，DUAN Xiaojuan，CHEN Jiancheng

(SchoolofAppliedMathematics，XiamenUniversityofTechnology，Xiamen361024，China)

Basedontheideaoftheequivalent-input-disturbance，boththeexternaldisturbancesandmodeluncertaintiesweretreatedasthewholedisturbanceimposedontheinputchannelofthediscretesystem.Thispaperpresentedadisturbancerejectionmethodforuncertaindiscretesystemsusingguaranteedcostcontrol.Thenthesystemwasconstructedusingtheinternalmodelandstatefeedbackfordisturbancerejection.ThestabilityconditionofthesystemwasobtainedbyusingtheLyapunovmethod.Thecontrollergainwasoptimizedbyintroducingtheguaranteedcostindex.Simulationresultsshowthatthismethodobtainsgooddisturbancerejectionperformance.

discretesystem;uncertainty；guaranteedcostcontrol；disturbancerejection;equivalent-input-disturbance

2016-05-23

2016-07-21

福建省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2016J05165,2013J01027)；廈門理工學(xué)院高層次人才項(xiàng)目(YKJ14030R)[作者簡介]劉瑞娟(1982-)，女，講師，博士，研究方向?yàn)轸敯艨刂?E-mail：liuruijuan@xmut.edu.cn

TP13

A

1673-4432(2016)05-0019-06