何春華

巧用數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)一元一次方程

何春華

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是解決數(shù)學(xué)問題的金鑰匙.一元一次方程的知識(shí)中蘊(yùn)含了許多數(shù)學(xué)思想方法，大家在掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，還應(yīng)注意對(duì)數(shù)學(xué)思想的提煉、總結(jié)，從而提高解題的能力.下面，我們舉例分析一元一次方程內(nèi)容中的方法策略，供同學(xué)們參考.

一、三個(gè)基本思想+一個(gè)解題策略

1.整體思想

當(dāng)一個(gè)問題中未知數(shù)較多，逐個(gè)求解比較復(fù)雜，或不能求解時(shí)，可將其中滿足某一共同特性的式子看作一個(gè)整體求解.這樣既便于列方程，又便于解方程.

【分析】本題可以直接去括號(hào)求解，但似乎有點(diǎn)繁瑣，如果將（7x-5）看作一個(gè)整體，則求解時(shí)能更方便些.

【點(diǎn)評(píng)】有些方程，可以將一部分式子聯(lián)系起來，先看成一個(gè)整體，把方程看成這個(gè)整體的一元一次方程，從而減少了方程的項(xiàng)數(shù)，使求解簡(jiǎn)便.

例2有一個(gè)八位的電話號(hào)碼，前四位數(shù)字完全相同，從第四位到第八位是依次減小的連續(xù)自然數(shù)，全部數(shù)字之和恰好等于號(hào)碼的最后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)（兩位數(shù)字的前后順序不變），請(qǐng)寫出這個(gè)電話號(hào)碼.

【分析】本題前四位數(shù)字完全相同，且它們與后四位數(shù)字有聯(lián)系，不妨將前四位數(shù)字設(shè)出來，這樣便于列方程求解.

解：設(shè)前四位數(shù)字均為x，則后四位數(shù)字依次為x-1，x-2，x-3，x-4.

由題意得：4x+x-1+x-2+x-3+x-4=10（x-3）+x-4，解得x=8.

所以x-1=7，x-2=6，x-3=5，x-4=4，

答：這個(gè)電話號(hào)碼是88887654.

【點(diǎn)評(píng)】本題若逐個(gè)設(shè)出各位數(shù)字，則未知數(shù)過多，不易列出方程，但從整體考慮，視前四位數(shù)字為一個(gè)整體，則方便簡(jiǎn)捷.希望同學(xué)們能認(rèn)真體會(huì).

2.轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想就是將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，將生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將未知化為已知.解一元一次方程就是將方程的最終形式轉(zhuǎn)化為“x=a”.

【分析】本題分母中出現(xiàn)小數(shù)，給解方程帶來了麻煩，通過觀察發(fā)現(xiàn)，其分子也有小數(shù)，可利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將分子分母都乘10，化簡(jiǎn)方程求解.

去分母，得3（4x+9）=5（2x+3）+15.

去括號(hào)，得12x+27=10x+15+15.

移項(xiàng)，得12x-10x=15+15-27，

【點(diǎn)評(píng)】本章的轉(zhuǎn)化思想主要體現(xiàn)在將復(fù)雜的一元一次方程通過去分母、去括號(hào)等過程，轉(zhuǎn)化為一元一次方程的最簡(jiǎn)形式求解，以及將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為用一元一次方程求解.

3.分類討論思想

分類討論思想，是一種把問題中可能出現(xiàn)的多種情況分類討論進(jìn)而解決問題的策略，運(yùn)用這種策略可完整獲取問題的答案.

例4A、B兩地相距450千米，甲、乙兩車分別從兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行.若甲車的速度是120千米/時(shí)，乙車的速度是80千米/時(shí)，問經(jīng)過多長時(shí)間甲、乙兩車相距50千米？

【分析】題目中甲、乙兩車相距50千米，有兩種可能：一種是兩車相遇前兩車相距50千米，另一種是兩車相遇后，再行駛一段時(shí)間，兩車還會(huì)相距50千米，所以本題應(yīng)分兩種情況討論.

解：設(shè)經(jīng)過x小時(shí)兩車相距50千米.

若兩車相遇前相距50千米，由題意得：120x+80x=450-50，解得x=2；

若兩車相遇后相距50千米，由題意得：120x+80x=450+50，解得x=2.5.

答：經(jīng)過2小時(shí)或2.5小時(shí)兩車相距50千米.

【點(diǎn)評(píng)】本章中的分類討論思想主要體現(xiàn)在解決實(shí)際應(yīng)用問題上，如行程類問題中對(duì)位置、距離的分類討論，公園售票時(shí)根據(jù)人數(shù)不同而售價(jià)不同時(shí)的分類討論，希望同學(xué)們能注意收集并整理涉及這類數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容.

4.挖掘隱含條件

例5在長方形ABCD中，放入六個(gè)形狀、大小相同的長方形，所標(biāo)尺寸如圖所示，求小長方形的長和寬.

【分析】觀察圖形可知有如下兩個(gè)數(shù)量關(guān)系：①小長方形的長+3個(gè)小長方形的寬= 14cm；②2個(gè)小長方形的寬+6cm=小長方形的長+1個(gè)小長方形的寬.我們借助①設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)②列出方程求解.

解：設(shè)小長方形的寬為xcm，則小長方形的長為（14-3x）cm，由題意可得：2x+6=（14-3x）+ x，解得x=2，所以14-3×2=8.

答：小長方形的寬為2cm，長為8cm.

【點(diǎn)評(píng)】本題通過觀察、分析，將隱含在圖形中的數(shù)量關(guān)系挖掘出來，即將圖形的有關(guān)信息轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而列出方程解決問題.

二、設(shè)元的三個(gè)方法

1.直接設(shè)未知數(shù)

當(dāng)題目中的數(shù)量關(guān)系能用所求的未知量表示時(shí)，不妨直接設(shè)未知數(shù)，即求什么設(shè)什么，這是設(shè)未知數(shù)常用的方法.

例6某學(xué)校組織學(xué)生去秋游，從學(xué)校出發(fā)去風(fēng)景點(diǎn)A參觀游覽，在A風(fēng)景點(diǎn)停留1小時(shí)后，又繞道去風(fēng)景點(diǎn)B，再停留半小時(shí)后返回學(xué)校，去時(shí)的速度是5千米/時(shí)，回來的速度是4千米/時(shí)，來回（包括停留時(shí)間在內(nèi)）共用去6小時(shí)30分鐘.回來時(shí)因?yàn)槔@道關(guān)系，路程比去時(shí)多2千米，求去時(shí)的路程.

【分析】本題看起來比較麻煩，分析后發(fā)現(xiàn)，題目里要求的只有一個(gè)未知量，就是去時(shí)的路程.題目的等量關(guān)系是：去時(shí)的時(shí)間+回來的時(shí)間+停留時(shí)間=共用的時(shí)間，以上“量”都可以用去時(shí)的路程表示.

解：設(shè)去時(shí)的路程為x千米，那么回來時(shí)的路程為（x+2）千米，去時(shí)路上所需時(shí)間為小時(shí)，回來時(shí)路上所需時(shí)間為小時(shí).

解得x=10.

答：去時(shí)的路程為10千米.

【點(diǎn)評(píng)】本題抓住了“去時(shí)的路程”與“各個(gè)時(shí)間”的關(guān)系，直接設(shè)出未知數(shù)，問題順利得解，看來，分析題目中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.間接設(shè)元

即所設(shè)的不是所求的，適當(dāng)選擇與所求的未知數(shù)有關(guān)的某個(gè)量為未知數(shù)，則易找出符合題意的數(shù)量關(guān)系，從而得到方程.

例7李偉從家里騎摩托車到火車站，如果每小時(shí)行30千米，那么比火車開車時(shí)間早到15分鐘；若每小時(shí)行18千米，則比火車開車時(shí)間遲到15分鐘.現(xiàn)在李偉打算在火車開車前10分鐘到達(dá)火車站，求李偉此時(shí)騎摩托車的速度應(yīng)該是多少？

【分析】本題中所求值，不容易直接從中尋找關(guān)系，但注意從家到火車站的路程和距火車開車的時(shí)間為定值，這時(shí)可以用“退一步”的方式先求出某定量，則其他關(guān)系就會(huì)迎刃而解.

解：設(shè)李偉家到火車站的路程為x千米，則由火車開車時(shí)間固定這一等量關(guān)系，可簡(jiǎn)便得

答：李偉此時(shí)騎摩托車的速度為27千米/時(shí).

【點(diǎn)評(píng)】本題利用火車“規(guī)定”的時(shí)間為相等關(guān)系建立方程求解，屬于間接設(shè)未知數(shù)的方法，希望同學(xué)們認(rèn)真體會(huì)這種解題思想.

3.輔助設(shè)元

在一些較復(fù)雜的實(shí)際問題中，當(dāng)出現(xiàn)的未知量較多，并且有時(shí)看起來似乎缺少條件時(shí)，可考慮設(shè)輔助未知數(shù)，在已知條件和所求解的問題之間“牽線搭橋”，從而能順利找出等量關(guān)系并列出方程.一般來說，輔助未知數(shù)設(shè)而不求，在解題過程中會(huì)自行消去.

例8某公司生產(chǎn)普通汽車和新能源汽車，該公司在去年的汽車產(chǎn)量中，新能源汽車占總產(chǎn)量的10%，今年由于國家能源政策的導(dǎo)向和油價(jià)上漲的影響，計(jì)劃將普通汽車的產(chǎn)量減少10%，為保持總產(chǎn)量與去年相等，求今年新能源汽車的產(chǎn)量應(yīng)增加的百分?jǐn)?shù).

【分析】在求解今年新能源汽車的產(chǎn)量應(yīng)增加的百分?jǐn)?shù)時(shí)，需要的是去年的汽車生產(chǎn)總量.因此設(shè)今年新能源汽車的產(chǎn)量應(yīng)增加的百分?jǐn)?shù)為x的同時(shí)，還應(yīng)設(shè)去年的汽車生產(chǎn)總量為a，根據(jù)“今年總產(chǎn)量與去年相等”列出方程求解.

解：設(shè)去年的總產(chǎn)量為a，今年新能源汽車的產(chǎn)量應(yīng)增加的百分?jǐn)?shù)為x，則去年普通汽車和新能源汽車的產(chǎn)量分別為90%a和10%a，今年的普通汽車和新能源汽車的產(chǎn)量分別為90%a（1-10%）和10%a（1+x），根據(jù)題意列方程，得90%a（1-10%）+10%a（1+x）=a，解得x= 0.9=90%，所以今年新能源汽車的產(chǎn)量應(yīng)增加的百分?jǐn)?shù)為90%。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于一些較復(fù)雜的問題，往往條件隱含關(guān)系交錯(cuò).這時(shí)不妨引入輔助未知數(shù)，在已知量和未知量之間架起一座“橋梁”，方便理順各個(gè)量之間的關(guān)系，列出方程.而所設(shè)輔助未知數(shù)在解題過程中會(huì)被消去，即滿足輔助未知數(shù)“設(shè)而不求”的特點(diǎn).

（作者單位：江蘇省海門市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）