馬莉

(蘭州石化職業(yè)技術(shù)學院 電子電氣工程系,甘肅 蘭州 730060)

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Rossler系統(tǒng)的混沌控制

馬莉

(蘭州石化職業(yè)技術(shù)學院 電子電氣工程系,甘肅 蘭州 730060)

根據(jù)Rossler系統(tǒng)的動力學方程，數(shù)值仿真了系統(tǒng)隨自身參數(shù)變化的全局分岔圖，分析了參數(shù)變化引起系統(tǒng)動力學行為的變化。針對系統(tǒng)混沌狀態(tài)，分別用自適應(yīng)控制法和 控制法兩種方法對系統(tǒng)進行控制，仿真結(jié)果顯示：兩種控制法均能將系統(tǒng)控制在穩(wěn)定的周期軌道。對比了兩種控制法對系統(tǒng)控制的結(jié)果，在自適應(yīng)控制中，隨著控制參數(shù) 逐步減小，系統(tǒng)由單周期運動經(jīng)倍化分岔為雙周期運動，再經(jīng)倍化分岔序列最終通向混沌，動力學行為規(guī)則，對應(yīng)控制參數(shù)選擇區(qū)域連續(xù)；在 控制中，系統(tǒng)由混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槿芷谶\動，隨著控制參數(shù)逐步增大，周期運動發(fā)生倍化分岔，再經(jīng)倍化分岔序列通向混沌，系統(tǒng)動力學行為豐富，對應(yīng)控制參數(shù)選擇區(qū)域范圍明確。為Rossler系統(tǒng)的動力學行為研究和混沌控制提供了理論支持，為Rossler系統(tǒng)在工程領(lǐng)域的應(yīng)用及控制提供了參數(shù)選擇區(qū)域，為其它系統(tǒng)的混沌控制及動力學行為研究提供了經(jīng)驗和方法。

Rossler系統(tǒng)；動力學行為；周期運動；分岔；混沌；混沌控制

0 引 言

1 Rossler系統(tǒng)

1.1 系統(tǒng)動力學模型

Rossler系統(tǒng)的動力學方程為：

(1)

這是三變量非線性微分方程組，a，b,c為參數(shù)。

1.2 系統(tǒng)混沌狀態(tài)

圖1 系統(tǒng)隨參數(shù)變化的全局分岔圖

圖2 x-y混沌吸引子

圖3 y-z混沌吸引子

選取系統(tǒng)參數(shù)，當a=0.2，b=0.2，c=4.6時，系統(tǒng)有兩個平衡點S1=(0.003, -0.02, 0.02)，S2=(10.00, -66.65, 66.65)，其中S1是不穩(wěn)定的焦點，S2是不穩(wěn)定的中心點，此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。對系統(tǒng)用變步長Runge-Kutta法進行數(shù)值仿真，取平衡點(0, 0, 0)，選取系統(tǒng)的初始值(0.003, 0.02, 0.02)，可得系統(tǒng)隨自身參數(shù)變化的全局分岔圖，如圖1所示。在圖1中，隨著系統(tǒng)參數(shù)a的增大，系統(tǒng)發(fā)生倍化分岔，當系統(tǒng)參數(shù)a不斷增大時，系統(tǒng)發(fā)生倍化分岔序列，最終通向混沌狀態(tài)。圖2、圖3給出了系統(tǒng)處在混沌狀態(tài)的相圖。

2 混沌控制

2.1 自適應(yīng)控制

自適應(yīng)控制算法旨在設(shè)計一狀態(tài)反饋控制器u，使得所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。顯然，簡單的狀態(tài)反饋控制器應(yīng)該是控制器u僅僅是狀態(tài)X的線性函數(shù)，即u=-kX，其中k為反饋增益。另外，如果控制器u僅僅是狀態(tài)X中某一變量的函數(shù)，即u可表述為u=-kx1，或u=-kx2，或u=-kx3的形式，則控制器的結(jié)構(gòu)會更加簡單。為不失一般性，本文只對狀態(tài)X中的變量y施加控制作用，且控制器的結(jié)構(gòu)為u=-ky。首先構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)：

V=(x2+y2+z2)

(2)

對V求導，則:

(3)

若k>c，則P(k)正定，故:

(4)

其中λmin(P(k))為矩陣P(k)的最小特征值。又因為V=‖x‖2，則:

V≤-λmin(P(k))V

(5)

所以:

V(t)≤V(0)exp(-λmin(P(t)))

(6)

其中V(0)為Lyapunov函數(shù)的初始值。因V(0)是有界的，所以當反饋增益k>c時，狀態(tài)X指數(shù)趨于穩(wěn)定。選擇變量y施加控制作用，且控制器的結(jié)構(gòu)為u=-ky。于是受控的Rossler混沌系統(tǒng)可寫為：

(7)

圖4 系統(tǒng)關(guān)于控制參數(shù)k的全局分岔圖

通過數(shù)值仿真，得到系統(tǒng)在受控后隨控制參數(shù)k變化的全局分岔圖如圖4所示。在圖4中，隨著控制參數(shù)k的減小，系統(tǒng)由單周期運動經(jīng)倍化分岔為雙周期運動，隨著控制參數(shù)k的進一步減小，系統(tǒng)再次發(fā)生倍化分岔，最終由倍化分岔序列通向混沌。當控制參數(shù)k=0.08，系統(tǒng)處于單周期運動軌道，圖5、圖6為系統(tǒng)處在單周期狀態(tài)時的相圖，圖7為系統(tǒng)在單周期時的時間歷程圖；減小控制參數(shù)，當k=0.04時，系統(tǒng)處于周期二運動軌道，圖8、圖9為系統(tǒng)處在周期二運動狀態(tài)時的相圖，圖10為系統(tǒng)在周期二時的時間歷程圖；進一步減小控制參數(shù)，當k=0.025時，系統(tǒng)處于周期四運動軌道，圖11、圖12為系統(tǒng)在周期四運動狀態(tài)時的相圖，圖13為系統(tǒng)在周期四時的時間歷程圖。由此可見，自適應(yīng)控制算法能將系統(tǒng)控制在單周期、多周期運動軌道上。

圖5 單周期x-y相圖 圖6 單周期y-z相圖 圖7 單周期時間歷程圖

圖8 周期二x-y相圖 圖9 周期二y-z相圖 圖10 周期二軌道時間歷程圖

圖11 周期四x-y相圖 圖12 周期四y-z相圖 圖13 周期四軌道時間歷程圖

考慮如下定義的n維非線性混沌系統(tǒng)

y=cx

(8)

其中F為非線性光滑向量函數(shù),X為系統(tǒng)的狀態(tài)X=[x1,x2, …,xn]T,y為系統(tǒng)的輸出,c為1×n的常數(shù)矩陣。設(shè)系統(tǒng)的非線性反饋控制器為:

(9)

其中K為反饋增益矩陣。將該非線性反饋控制器負反饋加到混沌動力系統(tǒng)中，則受控系統(tǒng)為

(10)

這樣形成的非線性控制器簡單且只需要稍微改變參數(shù)，相對小的反饋增益，就能夠?qū)⒒煦邕\動控制到各種規(guī)則的運動。

在式(1)中加入負反饋變量，就可以得到受控的方程如下：

(11)

圖14 全局分岔圖 圖15 周期三x-y相圖 圖16 周期三軌道時間歷程圖

3 結(jié)束語

[1] 馬明,鄭永愛,胡馮儀,等．Rossler系統(tǒng)的最小時間同步[J]．動力學與控制學報, 2008,6(3):249-253.

[2] 吳先用,萬鈞力.Rossler系統(tǒng)與統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步[J]．系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2008，30(4):715-718.

[3] 李佳．Rossler混沌系統(tǒng)間的非線性耦合同步[J]．哈爾濱師范大學自然科學學報, 2013, 29(5)：22-24.

[4] 鄧玥,王光義,袁方.一種新的Rossler 混沌序列圖像加密算法[J]．杭州電子科技大學學報,2011, 31(5)：9-12.

[5] 陳彭年，秦化淑．ROSSLER系統(tǒng)平衡點集的鎮(zhèn)定[J]．系統(tǒng)科學與數(shù)學,2010,30(6):869-876.

[6] FABIO SCALCO DIAS,LUIS FERNANDO MELLO,JIANGANG ZHANG.Nonlinear analysis in a Lorenz-like system[J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications,2010,(11):3491-3500.

[7] 尤曉玲. Chen 式系統(tǒng)的動力學行為研究及混沌抑制[J]．電氣自動化, 2014, 36(1)：21-23.

Chaos Control of Rossler System

Ma Li

(Lanzhou Petrochemical College of Vocational Technology，Lanzhou Gansu 730060，China)

According to the dynamic equation of Rossler system, the global bifurcation diagram of the system that changes with its parameters is simulated while the change of the system dynamic behavior is analyzed. In view of the chaotic state of the system, adaptive control method and control method are used respectively to control the system. The simulation results show that both control methods can control the system in a stable periodic orbit. The results of two control methods are compared. In adaptive control, along with gradually reduced control parameter , the system is initiated from a single periodic motion to double periodic motion through double bifurcation and then leads to chaotic & dynamic behavior rule via the sequence of doubling bifurcation, corresponding to continuous control parameter selection region. In control method, the system is transformed from chaotic state to 3-periodic motion. Along with gradually increased control parameter , the periodic motion generates double bifurcation and then leads to chaos via the sequence of doubling bifurcation with very rich system dynamic behavior corresponding to clear range for control parameter selection. This paper provides theoretical support for further study of the dynamical behavior and the chaos control of the Rossler system, parameter selection region for application and control of Rossler system in the engineering field and the experience and methods for the study of chaos control and dynamic behavior in other systems.

Rossler system; dynamic behavior; periodic motion; bifurcation; chaos; chaos control

蘭州石化職業(yè)技術(shù)學院教育教學研究課題項目(JY2014-26);蘭州石化職業(yè)技術(shù)學院科技教研項目(KJ2015-12)

10.3969/j.issn.1000-3886.2016.04.009

O322

A

1000-3886(2016)04-0027-03

馬莉(1982-)，女，甘肅永昌人，講師，碩士，2008年畢業(yè)于蘭州交通大學，獲碩士學位，主要從事非線性系統(tǒng)動力學行為分析與控制及過程自動化相關(guān)領(lǐng)域的科研及教學工作。

定稿日期: 2016-01-14