☉安徽省壽縣第一中學(xué)　梁昌金

2015年高考北京文科卷第20題的探究及推廣

☉安徽省壽縣第一中學(xué)梁昌金

題目（2015年高考北京卷文科第20題）已知橢圓C：x2+3y2=3，過(guò)點(diǎn)D（1，0）且不過(guò)點(diǎn)E（2，1）的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，直線AE與直線x=3交于點(diǎn)M．

（Ⅰ）求橢圓C的離心率；

（Ⅱ）若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；

（Ⅲ）試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

這是一道解析幾何綜合題，主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線的斜率、兩直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.入手并不難，但對(duì)運(yùn)算和變形的能力要求較高.本文主要對(duì)試題第（Ⅲ）問(wèn)的解法進(jìn)行探究，并做適當(dāng)?shù)耐卣?

一、對(duì)解法的探究

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，易證得BM∥DE.下面探究直線AB的斜率存在時(shí)的解法.

思路1：轉(zhuǎn)化為證明向量共線.

方法1：設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠1）.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則由韋達(dá)定理得x1+x2=

于是

而

思路2：轉(zhuǎn)化為證明對(duì)應(yīng)線段成比例.

方法2：不妨設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1>x2）.

圖1

由方法1知，2（x1+x2）-x1x2-3=0.

圖2

思路3：轉(zhuǎn)化為證明直線平行線.

方法3：如圖2所示，過(guò)B點(diǎn)作x軸的平行線交直線x=3于點(diǎn)B′，連接AB′交x軸于點(diǎn)F，連接EF.

設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠1），并設(shè)A（x1，y1），B（x2，y

2），則B′（3，y2）.

由方法1知，2（x1+x2）-x1x2-3=0.

所以x-2=0，即x=2，所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0）.

又點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1），所以EF⊥x軸，故EF∥MB′，得

方法4：如圖2所示，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為F，連接AF交直線x=3于點(diǎn)B′，連接BB′，則F（2，0），

設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠1），并設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則直線AF的方程為，令x=3，得點(diǎn)

由方法1知，2（x1+x2）-x1x2-3=0，所以kBB′=0.

二、對(duì)結(jié)論的推廣探究

結(jié)合求解試題的過(guò)程可以知道，試題的第（Ⅲ）問(wèn)可以推廣到一般的情況，筆者經(jīng)過(guò)探究，得到一般性命題.

圖3

證明：如圖3所示，設(shè)直線AB與直線l交于C點(diǎn).b2（m2-a2）=0（i=1，2）.

則λi（i=1，2）是方程（b2x2+a2y2-a2b2）λ2+2b2（mx-a2）λ+ b2（m2-a2）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

又點(diǎn)C在直線l上，有mx-a2=0.

于是由韋達(dá)定理得λ1+λ2=即λ1= -λ2，從而得|λ1|=|λ2|，即

再過(guò)A、B兩點(diǎn)作直線l的垂線，垂足分別為A′、B′，連接AB′，BA′交于點(diǎn)F.

所以EF∥B′C，所以所以故 BM∥DE.

三、命題的再推廣

在命題1的證明過(guò)程中，AA′⊥l，BB′⊥l沒(méi)有使用，與點(diǎn)D在x軸上也無(wú)關(guān).從證明過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，E點(diǎn)的本質(zhì)是“過(guò)線段DD′中點(diǎn)且與l平行的直線上的點(diǎn)”.因此可以將命題1中的D點(diǎn)推廣為任意一點(diǎn)，且DD′不必與l垂直，只需滿足E點(diǎn)（不在直線AB上）為過(guò)線段DD′中點(diǎn)且與l平行的直線上的任意一點(diǎn)即可，結(jié)合命題1可推廣得出更一般的命題.

圖4

證明：如圖4所示，設(shè)直線AB與直線l交于C點(diǎn)，則同命題1可證

在直線l上分別取點(diǎn)A′，B′，使得AA′∥DD′∥BB′，連接AB′，交DD′于F點(diǎn)，則同命題1可證F點(diǎn)是線段DD′的中點(diǎn).

四、命題的再拓展

最后要說(shuō)明的，以上所探究得出的命題1、命題2都可在雙曲線、拋物線中得到相應(yīng)的表述.

命題4：已知拋物線Γ：y2=2px（p>0），過(guò)點(diǎn)D（m，0）（m>0）作直線與拋物線Γ交于A、B兩點(diǎn)，直線l：x=-m與x軸交于點(diǎn)D′，點(diǎn)E（不在直線AB上）是線段DD′垂直平分線上任意一點(diǎn)，直線AE與直線l交于點(diǎn)M．則直線BM與直線DE平行.

命題6：已知拋物線Γ：y2=2px（p>0），D（m，n）是拋物線Γ內(nèi)部且不為拋物線Γ中心的任意一點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作直線與拋物線Γ交于A、B兩點(diǎn)，D′在直線l：ny=p（x+m）上，E點(diǎn)（不在直線AB上）為過(guò)線段DD′中點(diǎn)且與l平行的直線上的任意一點(diǎn)，直線AE與直線l交于點(diǎn)M，則直線BM與直線DE平行.

命題3～命題6的證明仿命題1、命題2可證，此處不再贅述．

1.田化瀾.簡(jiǎn)化聯(lián)想溯源——兼談“伴侶點(diǎn)線”［J］.數(shù)學(xué)通訊（下），2009（10）.

2.徐明.2012年高考北京卷理科第19題的探究［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2013（1-2）.