☉浙江省杭州市余杭高級(jí)中學(xué)　馬富強(qiáng)　曹鳳山

解構(gòu)高考試題優(yōu)化教與學(xué)——以浙江高考數(shù)學(xué)圓錐曲線與方程為例

☉浙江省杭州市余杭高級(jí)中學(xué)馬富強(qiáng)曹鳳山

附表1：浙江省高考數(shù)學(xué)2010～2015圓錐曲線與方程部分客觀題解構(gòu)

解構(gòu)視角一、題材與設(shè)問(wèn)模式

根據(jù)附表1統(tǒng)計(jì)，11道客觀題中，題材中雙曲線、拋物線、橢圓、直線、圓出現(xiàn)的次數(shù)分別是6次，4次，3次，3次，2次.

從題材選擇顯示，理科客觀題對(duì)雙曲線格外“偏愛(ài)”，每年必選；解答題的題材，橢圓與直線綜合的五次（2013年中還含有圓），拋物線與直線、圓綜合一次.在每年的試卷中，橢圓、雙曲線、拋物線都會(huì)出現(xiàn)，客觀題側(cè)重雙曲線、拋物線，解答題中主要是橢圓與直線，客觀題中的直線大多是“靜態(tài)的”，涉及定點(diǎn)、中點(diǎn)、垂直等特殊情況，解答題中的直線則是動(dòng)態(tài)的.

從設(shè)問(wèn)角度看，由附表1，10道題中求雙曲線離心率3道，求雙曲線漸近線2道，另外還有求直線的斜率、求點(diǎn)的坐標(biāo)、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等；由附表2，解答題的設(shè)問(wèn)一律采用一題兩問(wèn)的模式，第一問(wèn)相對(duì)簡(jiǎn)單，內(nèi)容如求橢圓方程、點(diǎn)到直線距離、切點(diǎn)坐標(biāo)、參數(shù)范圍等，第二問(wèn)主要是求特殊位置下（如三角形面積最大、與中點(diǎn)相關(guān)等）直線的方程以及某些量的取值范圍等，特別關(guān)注臨界狀態(tài).

【實(shí)例1】（2010年第8題）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn).若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足|PF2|=|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的漸近線方程為（）.

A．3x±4y=0B.3x±5y=0C.4x±3y=0D.5x±4y=0

(1)不同施肥處理對(duì)2個(gè)玉米品種先玉335、金穗4號(hào)根際4種土壤酶活性均有不同程度影響，差異顯著(P<0.05)。在各生育期，土壤酶活性總體表現(xiàn)為：處理B(菌肥+85%化肥)>處理C(菌肥+70%化肥)>處理A(全量化肥)>處理D(全量菌肥)>處理E(對(duì)照)，其中在抽雄期和灌漿期達(dá)到峰值。

【解析】本題的題材選取雙曲線，設(shè)問(wèn)為求雙曲線的漸近線方程.《考試說(shuō)明》中沒(méi)有直線與雙曲線位置關(guān)系方面的要求，所以雙曲線不適合在解答題中出現(xiàn)，重在定義、圖形、方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，是客觀題理想的題材之一.求解雙曲線的漸近線是其最典型、最個(gè)性的問(wèn)題之一.本題根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，利用勾股定理建立方程即可得解.

【對(duì)教學(xué)的啟示】《考試說(shuō)明》中的知識(shí)點(diǎn)都可能作為高考命題的題材，不偏廢，又有所側(cè)重；每一部分都有其“個(gè)性”問(wèn)題.如圓錐曲線體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要方法：由形到數(shù)，再通過(guò)數(shù)研究形的性質(zhì)，這一過(guò)程中，概念、性質(zhì)、思想方法等發(fā)揮著重要作用，個(gè)性突出，這些個(gè)性就是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容.落實(shí)個(gè)性問(wèn)題涉及的知識(shí)、技能以及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法與能力，就是這部分教與學(xué)的重要目標(biāo).

解構(gòu)視角二、考查的主要知識(shí)點(diǎn)

由附表1，客觀題中雙曲線、橢圓、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程分別出現(xiàn)5次、3次、4次，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)也是每題一定考查的內(nèi)容.中點(diǎn)出現(xiàn)的頻數(shù)也很高，為4次，直線垂直3次，圓、向量、直線等也偶有出現(xiàn).雙曲線主要是涉及漸近線、離心率、焦點(diǎn)、焦距、實(shí)軸、虛軸等，橢圓則涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、長(zhǎng)軸與短軸等，拋物線是焦點(diǎn)、準(zhǔn)線.由附表2，解答題中，每題都涉及到一至兩種圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，問(wèn)題的核心情境都是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，其中涉及三角形的面積、圓的切線、直線垂直等.

【實(shí)例2】（2011年第17題）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若則點(diǎn)A的坐標(biāo)是_______.

【解析】本題本質(zhì)上是常見(jiàn)的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，源于教材又高于教材，情境新，通過(guò)向量適度綜合，形式優(yōu)美，方法多樣，層次明顯.方法一，用兩條直線方程求解；方法二，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，轉(zhuǎn)化為一條過(guò)焦點(diǎn)的直線與橢圓交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)圖形，通過(guò)三角形相似，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)縱坐標(biāo)關(guān)系，充分體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想方法的重要作用；第三種方法——猜想驗(yàn)證，猜想點(diǎn)A可能位于比較特殊的位置，畫出簡(jiǎn)圖，猜想特殊點(diǎn)，然后檢驗(yàn)滿足條件即可.

【對(duì)教學(xué)的啟示】從以上解構(gòu)來(lái)看，高考考查知識(shí)點(diǎn)不偏不怪：①重點(diǎn)考基礎(chǔ)，突出考查中學(xué)數(shù)學(xué)的主干知識(shí)；②在綜合運(yùn)用中考查能力，不斷尋求知識(shí)間新的綜合形式，圓錐曲線知識(shí)內(nèi)部綜合，與直線、三角形、圓等平面幾何對(duì)象綜合，與向量、不等式、數(shù)列等綜合；③在新穎情境下考查.高考規(guī)避題型，力爭(zhēng)在“個(gè)性化”的情境中考查.教與學(xué)重點(diǎn)在基礎(chǔ)，對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，要舍得花時(shí)間下力氣，力避灌輸、記憶型的方式，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展的過(guò)程，學(xué)會(huì)鮮活的知識(shí)，自己可以建立知識(shí)間的有機(jī)聯(lián)系，不斷在新的情境下運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題，從而適應(yīng)高考以及素質(zhì)教育的需要.

解構(gòu)視角三、求解過(guò)程涉及的主要知識(shí)、方法

這里所說(shuō)的方法以通性通法為主，知識(shí)則是通性通法中的必需，是解題者根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)調(diào)用的.由附表1，客觀題求解中，利用到雙曲線（橢圓）定義4次，涉及中點(diǎn)坐標(biāo)公式5次，勾股定理2次，三角形相似2次，兩點(diǎn)間距離公式2次等；在技能上，解方程（組）是每題必考；解答題相對(duì)于客觀題特色更加明顯.由附表2，求解涉及知識(shí)點(diǎn)更多、應(yīng)用更靈活，直線方程相關(guān)知識(shí)是每道題的必選項(xiàng)，五道題中涉及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)5次，點(diǎn)到直線的距離公式4次，兩點(diǎn)間距離公式4次，韋達(dá)定理3次，還有中點(diǎn)坐標(biāo)公式、三角形面積公式、勾股定理、基本不等式等；方法上，代數(shù)法研究幾何性質(zhì)更是解析幾何的根本大法，待定系數(shù)法突出，處理方程（組）的方法每題必需.當(dāng)然，解答題的求解中數(shù)學(xué)思想方法的重要性更加明顯，數(shù)學(xué)能力對(duì)解題質(zhì)量的影響更加明顯.

【實(shí)例3】（2013年第9題）如圖1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：+y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率為（）.

圖1

【解析】設(shè)問(wèn)是求離心率，是雙曲線的經(jīng)典問(wèn)題.根據(jù)題意，點(diǎn)A有“雙重身份”：既在橢圓上又在雙曲線上，根據(jù)定義有

|AF2|+|AF1|=4，①

|AF2|-|AF1|=2a.②

①+②，得|AF2|=2+a；①-②，得|AF1|=2-a.

根據(jù)定義解題自然而簡(jiǎn)捷，體現(xiàn)了高考重點(diǎn)考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、突出通性通法的導(dǎo)向.

【對(duì)教學(xué)的啟示】高考立意在能力，載體在知識(shí)，無(wú)知便無(wú)能.在解題過(guò)程中，除試題顯示、要充分利用的知識(shí)外，解題過(guò)程中要引入、調(diào)動(dòng)的知識(shí)都是最基本的、耳熟能詳?shù)亩ɡ?、公式、性質(zhì)等，能夠根據(jù)題設(shè)背景，在知識(shí)儲(chǔ)備中靈活引入需要的內(nèi)容，這不僅需要解題者具備這些知識(shí)，還要組織良好、有應(yīng)用意識(shí)；客觀題中概念、性質(zhì)的作用更明顯，“概念、性質(zhì)+簡(jiǎn)單計(jì)算”即可，要強(qiáng)化利用概念解題的意識(shí)，小題小做；解答題體現(xiàn)代數(shù)法這一研究幾何性質(zhì)的根本大法，應(yīng)用試題給出條件外的知識(shí)更多、更靈活.

解構(gòu)視角四、數(shù)學(xué)思想方法視角

由附表1，客觀題中主要考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，每道題都涉及數(shù)形結(jié)合思想與方程思想，10道題目中8道涉及轉(zhuǎn)化與方程思想；由附表2，解答題在對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查上，深度、廣度都比客觀題更加深入、廣泛，轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想是每題都有體現(xiàn)，函數(shù)與方程思想地位也很突出.

圖2

（Ⅱ）求△ABP的面積取最大值時(shí)直線l的方程．

解析幾何問(wèn)題中“形”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)（“數(shù)”）問(wèn)題，坐標(biāo)問(wèn)題進(jìn)而轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，在不斷轉(zhuǎn)化與化歸的過(guò)程中研究問(wèn)題、解決問(wèn)題.

（Ⅱ）求△ABP的面積最大值，需要轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，是函數(shù)思想的重要應(yīng)用，而問(wèn)題本身并沒(méi)有直接給出函數(shù)，考生需有化歸為函數(shù)問(wèn)題的意識(shí)，有產(chǎn)生函數(shù)的能力.進(jìn)一步，求△ABP的面積涉及到兩個(gè)量：底邊與高，就是轉(zhuǎn)化為求弦長(zhǎng)|AB|與點(diǎn)直線AB的距離.而求弦長(zhǎng)需要確定直線的斜率、截距，下面通過(guò)建立關(guān)于斜率、截距的方程求解.根據(jù)題意設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)為M，當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，直線AB的方程為x=0，與不過(guò)原點(diǎn)的條件不符，舍去.故可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m（m≠0），體現(xiàn)了分類討論思想.

【對(duì)教學(xué)的啟示】首先，要有全面的知識(shí)視野，把數(shù)學(xué)思想方法納入知識(shí)的范疇，不僅僅著眼于概念、法則、公式、定理等“是什么”的知識(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法這類“如何做”的程序性知識(shí)；其次，理解數(shù)學(xué)思想方法考查的特點(diǎn).高考對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查貫穿于全卷，不同題型、不同位置的試題在考查思想方法類型與層次上明顯有層次、有梯度，以基礎(chǔ)知識(shí)為依托、以能力為目的，與通性通法相結(jié)合.當(dāng)然，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想方法的特點(diǎn)，目的是講究教與學(xué)的策略，提升數(shù)學(xué)思想方法教與學(xué)的水平.只在高三復(fù)習(xí)中“貼標(biāo)簽”，學(xué)生對(duì)思想方法的理解運(yùn)用就不可能達(dá)到要求的層次.

解構(gòu)視角五、數(shù)學(xué)能力考查

由附表2，圓錐曲線試題最突出的是考查運(yùn)算能力，推理論證能力等.運(yùn)算能力每道試題都重點(diǎn)考查，是試題立意的重要內(nèi)容.這里運(yùn)算能力的考查既要會(huì)“根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和處理數(shù)據(jù)”，更重要的是考查“能根據(jù)問(wèn)題的條件，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑”.考生感覺(jué)解析幾何難度大的原因基本上是兩個(gè)方面：找不到途徑、算不出結(jié)果，其中，算不出是最頭疼的.

圖3

【實(shí)例5】（2011年第21題）已知拋物線C1：x2＝y(tǒng)，圓C2：x2+（y-4）2=1的圓心為點(diǎn)M.

（Ⅰ）求點(diǎn)M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離；

（Ⅱ）已知點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點(diǎn)，若過(guò)M，P兩點(diǎn)的直線l垂直于AB，求直線的方程.

【解析】第一步考查基本知識(shí)，是送分的模式；第二問(wèn)則對(duì)運(yùn)算能力提出了較高的要求.首先是如何根據(jù)問(wèn)題的條件，“尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑”.求直線l的方程大致有如下一些“合理的途徑”：①因?yàn)辄c(diǎn)M的坐標(biāo)已知，設(shè)出直線l的斜率k，利用點(diǎn)斜式求直線的方程；②利用兩點(diǎn)式，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)然后求解；③確定直線AB的斜率，然后確定待求斜率等等.然后再看“簡(jiǎn)捷性”.按途徑①，解方程組求解點(diǎn)P的坐標(biāo)，接下來(lái)切線方程形式將會(huì)繁瑣無(wú)比，而求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)、過(guò)兩點(diǎn)的斜率計(jì)算量之大更是難以為繼；按途徑②，從點(diǎn)P坐標(biāo)出發(fā)，由于兩條切線的等價(jià)性，設(shè)出切線斜率即可，設(shè)P（x0，），A（x，），B（x，，由題意得x≠±1，x≠x.設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓C2的切線方程為y-x0=k（x-x0），即y-=k（x-x0），（*）則即（-1）k2+2x0（4-）k+（-4）2-1=0.

設(shè)PA，PB的斜率為k1，k2（k1≠k2），則k1，k2是上述方程的兩根，所以將（*）代入y=x2得x2-kx+kx0-=0，由于點(diǎn)P的坐標(biāo)是“已知”，一元二次方程已知一個(gè)根，另一個(gè)根可以表示出來(lái)，進(jìn)而，過(guò)AB的直線的斜率就可以確定，利用兩條直線的垂直關(guān)系，建立方程求解.x1=k1-x0，x2=k2-x0.所以=x1+x2=由MP⊥AB，得kAB·，解得故點(diǎn)P的坐標(biāo)為所以直線l的方程為x+4.途徑③表面上看起來(lái)有“路”走起來(lái)卻無(wú)運(yùn)算之“徑”，只能作罷.

【對(duì)教學(xué)的啟示】能力培養(yǎng)要目標(biāo)正確、步驟扎實(shí)、長(zhǎng)期堅(jiān)持，沒(méi)有捷徑可走，比如運(yùn)算求解能力，“根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和處理數(shù)據(jù)”需要的是公式熟練、計(jì)算準(zhǔn)確、代數(shù)變形合理簡(jiǎn)捷等，需要在合適題材的基礎(chǔ)上反復(fù)操作、比較、體驗(yàn)，要有一定量的基礎(chǔ)性、針對(duì)性的練習(xí)；“能根據(jù)問(wèn)題的條件，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑”則需要綜合問(wèn)題、新穎背景下嘗試“尋找與設(shè)計(jì)”；無(wú)解、錯(cuò)解、多解、優(yōu)解之后的反思優(yōu)化，在無(wú)解處體驗(yàn)“合理”，在優(yōu)解中體驗(yàn)“簡(jiǎn)捷”，熟練簡(jiǎn)化計(jì)算需要的常用手段，如設(shè)而不求、整體代換、同類可解等等.題不在多，理解則靈.學(xué)生只有熟練基本技能、充分體驗(yàn)尋求解題合理性、簡(jiǎn)捷性方案的基礎(chǔ)上，才能逐步提高解決綜合性問(wèn)題的能力.

1.教育部考試中心.高考數(shù)學(xué)測(cè)量理論與實(shí)踐［M］.北京：高等教育出版社，2005.

2.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

3.曹鳳山.從一道高考題看高考對(duì)運(yùn)算能力的考查［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2010（10）.

4.曹鳳山.落霞與孤鶩齊飛秋水共長(zhǎng)天一色——從數(shù)學(xué)思想方法考查的視角分析2012年浙江省高考數(shù)學(xué)試題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2012（11）.