冀 偉， 劉世忠， 藺鵬臻， 李愛軍

(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院 蘭州，730070)

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波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋振動(dòng)頻率的參數(shù)分析

冀 偉， 劉世忠， 藺鵬臻， 李愛軍

(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院 蘭州，730070)

為準(zhǔn)確計(jì)算和分析波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋的彎曲振動(dòng)頻率，首先，運(yùn)用能量變分原理和Hamilton原理，推導(dǎo)出波形鋼腹板簡支箱梁橋彎曲振動(dòng)頻率的計(jì)算公式；然后，在簡支箱梁橋頻率計(jì)算公式的基礎(chǔ)上，根據(jù)連續(xù)梁自由振動(dòng)的三彎矩方程，得到任意等跨等截面波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋彎曲振動(dòng)頻率的計(jì)算公式，該公式的正確性得到已建實(shí)橋頻率實(shí)測值和Ansys三維有限元計(jì)算值的驗(yàn)證；最后，對波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋彎曲振動(dòng)頻率的影響參數(shù)進(jìn)行了分析。研究結(jié)果表明，波形鋼腹板剪切效應(yīng)對波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋彎曲振動(dòng)頻率的影響較大，而其余參數(shù)對該橋型彎曲振動(dòng)頻率的影響較小，在實(shí)際工程中為了計(jì)算的簡便性，可以忽略這些因素的影響。研究結(jié)論可為同類型橋梁的設(shè)計(jì)提供參考。

波形鋼腹板； 振動(dòng)頻率； 能量變分原理； 組合箱梁

引 言

波形鋼腹板組合箱梁橋作為一種新型的鋼-混凝土組合結(jié)構(gòu)橋梁，可以減輕梁體自重，并可充分發(fā)揮鋼材和混凝土各自的優(yōu)點(diǎn)，即波形鋼腹板的抗剪強(qiáng)度高，適于承擔(dān)剪切力，而混凝土翼板的縱向剛度較大，適于承擔(dān)縱向拉力和壓力。由于波形鋼腹板具有的特殊形狀可以提高腹板的穩(wěn)定性和抗裂性，還可以提高橋梁的預(yù)應(yīng)力施加效率，因此波形鋼腹板組合箱梁橋已在國內(nèi)外的橋梁建設(shè)中得到了大量應(yīng)用。

現(xiàn)有的文獻(xiàn)表明，國外學(xué)者主要對波形鋼腹板組合箱梁的抗扭性能[1]、波形鋼腹板I型鋼梁的抗彎性能[2-3]、波形鋼腹板的剪切屈曲性能[4]及疲勞性能[5]進(jìn)行了研究。國內(nèi)學(xué)者對波形鋼腹板PC簡支箱梁橋的研究較多。文獻(xiàn)[6]研究了波形鋼腹板PC簡支箱梁橋混凝土頂板在局部荷載作用下的橫向內(nèi)力及有效分布寬度。文獻(xiàn)[7]研究了波形鋼腹板簡支箱梁橋的撓度計(jì)算理論。文獻(xiàn)[8]研究了波形鋼腹板組合箱梁在純扭轉(zhuǎn)作用下的力學(xué)性能。國內(nèi)外文獻(xiàn)對波形鋼腹板、波形鋼腹板I型鋼梁及波形鋼腹板PC簡支箱梁橋的靜力學(xué)特性的研究較為全面，而對波形鋼腹板連續(xù)體系橋梁自振頻率的研究相對滯后，還未有給出該橋型自振頻率的計(jì)算方法。我國現(xiàn)行的《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》(JTG D60-2015)[9]中規(guī)定可根據(jù)橋梁結(jié)構(gòu)的基頻計(jì)算橋梁的沖擊系數(shù)，但規(guī)范中未給出針對波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋振動(dòng)頻率的計(jì)算公式，這不利于合理計(jì)算該類橋型的沖擊系數(shù)。

筆者針對國內(nèi)外研究文獻(xiàn)和我國現(xiàn)行規(guī)范中尚無波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋彎曲振動(dòng)頻率的解析解這一問題展開研究。首先，運(yùn)用能量變分原理和Hamilton原理，推導(dǎo)出波形鋼腹板簡支箱梁橋彎曲振動(dòng)頻率的計(jì)算公式；然后，在簡支箱梁橋彎曲振動(dòng)頻率計(jì)算公式的基礎(chǔ)上，根據(jù)連續(xù)梁自由振動(dòng)的三彎矩方程，得到了任意等跨等截面波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋彎曲振動(dòng)頻率的計(jì)算公式，該公式的正確性得到了已建實(shí)橋頻率實(shí)測值和Ansys三維有限元計(jì)算值的驗(yàn)證；最后, 對波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋彎曲振動(dòng)頻率的影響參數(shù)進(jìn)行了分析。本研究結(jié)論可為我國實(shí)際工程中波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋彎曲振動(dòng)頻率的計(jì)算提供參考。

1 波形鋼腹板構(gòu)造對其剪切模量影響

如圖1所示，波形鋼腹板的幾何形狀會(huì)對其剪切模量產(chǎn)生一定程度的影響。圖中：width為波形鋼腹板的波高；a1為波形鋼腹板斜板段在水平面的投影長度；a2與a3分別為平板段及斜板段的長度。波形鋼腹板考慮幾何形狀影響的剪切模量Gg的計(jì)算公式[10]為

(1)

其中：α=(a1+a2)/(a2+a3)為波形鋼腹板剪切模量的修正因子；Eg為鋼材的彈性模量；vg為鋼材的泊松比。

圖1 單位波長的波形鋼腹板尺寸示意圖Fig.1 Dimension of corrugated steel web with one wavelength

2 波形鋼腹板簡支箱梁橋的振動(dòng)方程

2.1 基本假定

1) 由于波形鋼腹板具有手風(fēng)琴效應(yīng)，可忽略其在橋梁縱向抵抗彎矩的能力。

2) 波形鋼腹板組合箱梁橋在發(fā)生彎曲變形時(shí)，其混凝土上、下翼板的縱向應(yīng)變計(jì)算服從“擬平截面假定”[11]。

3) 圖2所示的波形鋼腹板組合箱梁，當(dāng)計(jì)算其翼板的應(yīng)變能時(shí)，忽略翼板的豎向應(yīng)變、橫向應(yīng)變及板平面外的剪應(yīng)變，僅考慮翼板的縱向應(yīng)變和面內(nèi)的剪應(yīng)變。

4) 混凝土翼板與波形鋼腹板在彈性范圍內(nèi)共同工作，兩者連接緊密且無相對滑移。

圖2 波形鋼腹板組合箱梁的截面示意圖Fig.2 Cross section of the box girder with corrugated steel webs

如圖3所示，當(dāng)波形鋼腹板組合箱梁橋在外荷載p(x,t)的作用下產(chǎn)生彎曲變形時(shí)會(huì)產(chǎn)生剪滯效應(yīng)(如圖2所示)，這時(shí)需要引入兩個(gè)動(dòng)位移函數(shù)描述其位移模式，即梁的豎向動(dòng)位移函數(shù)W與縱向動(dòng)位移函數(shù)U[12]，其表達(dá)式分別為

(2)

(3)

其中：ζ(x,t)為波形鋼腹板組合箱梁橋發(fā)生彎曲振動(dòng)時(shí)混凝土上、下翼板的最大縱向位移差函數(shù)；φ(x,t)為波形鋼腹板組合箱梁橋的橫截面由于彎曲振動(dòng)變形引起的角位移。

(4)

圖3 波形鋼腹板組合箱梁橋的彎曲變形Fig.3 Bending deformation of the box girder bridge with corrugated steel webs

2.2 控制微分方程與自然邊界條件

(5)

其中：I為忽略波形鋼腹板抗彎作用的箱梁截面慣性矩；Ec與Gc分別為混凝土的彈性模量和剪切模量；Ag為波形鋼腹板橫截面的剪切面積。

波形鋼腹板組合箱梁橋發(fā)生豎向彎曲振動(dòng)時(shí)的動(dòng)能T為

(6)

根據(jù)Hamilton原理

(7)

得到波形鋼腹板組合箱梁橋發(fā)生自由彎曲振動(dòng)時(shí)的控制微分方程，如式(8)～(10)所示。與控制方程相對應(yīng)的自然邊界條件如式(11)～(13)所示。

φ(x,t)]=0

(8)

GgAg[W″(x,t)-φ′(x,t)]-(ρcAc+

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

2.3 自由彎曲振動(dòng)方程的解

設(shè)波形鋼腹板簡支箱梁橋自由振動(dòng)的位移函數(shù)、最大縱向位移差函數(shù)及截面角位移函數(shù)分別為

(14)

(15)

(16)

其中：ω與φ分別為波形鋼腹板簡支箱梁橋自由彎曲振動(dòng)的圓頻率和初始相位角。

將式(14)～(16)代入式(8)～(10)，得到波形鋼腹板簡支箱梁橋的動(dòng)位移函數(shù)。由于sin(ωt+φ)不總為零，在動(dòng)位移函數(shù)中消去該項(xiàng)可得

(17)

(18)

(19)

其中：aω為波形鋼腹板組合箱梁橋考慮箱梁剪力滯效應(yīng)(分母中第3項(xiàng)和分子中的第2項(xiàng))、波形鋼腹板剪切效應(yīng)(分母中的第2項(xiàng))及兩者耦合效應(yīng)影響下(分母中的第4項(xiàng))的頻率修正系數(shù)。

3 連續(xù)箱梁橋自由彎曲振動(dòng)頻率求解

波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋的振動(dòng)計(jì)算可建立在簡支箱梁橋的振動(dòng)計(jì)算基礎(chǔ)之上。對于跨度相等、截面相同的波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋，由文獻(xiàn)[14]可知其三彎矩方程的矩陣形式，將其展開得到等跨徑、等截面連續(xù)梁橋的頻率方程為

(20)

其中：H=(cothλL-cotλL)/2；G=1/sinλL-1/sinhλL；λ為特征值；Mn(n=1, 2, …, ∞)為中支座處的彎矩。

如圖4為兩等跨等截面波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋。將式(20)展開得到連續(xù)梁的頻率方程為

4HM1=0

(21)

頻率方程有兩組可能的解。

1)M1=0，表示中支座處的彎矩值為零，為一個(gè)反彎點(diǎn)，說明振型是反對稱的，此時(shí)連續(xù)梁的振動(dòng)同簡支梁一樣，其特征值的解可按簡支梁求出

(22)

其中：n=1,2,…,∞。

2) 4H=0，對應(yīng)于兩跨連續(xù)梁的正對稱振型，此時(shí)連續(xù)梁的振動(dòng)與一端固定一端鉸支的簡支梁的振動(dòng)是一致的，其頻率方程為

(23)

解此頻率方程得到其特征值的解為

(24)

其中：n=1,2,…,∞。

將兩組特征值代入簡支梁的彎曲振動(dòng)頻率計(jì)算公式，求得兩跨波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋彎曲振動(dòng)頻率的計(jì)算公式。將兩組頻率進(jìn)行比較可知，第1組頻率(反對稱彎曲振動(dòng))構(gòu)成第1、第3、第5……個(gè)奇數(shù)階頻率；而第2組頻率(正對稱彎曲振動(dòng))構(gòu)成第2、第4、第6……個(gè)偶數(shù)階頻率。同理可求得三跨及四跨等截面波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋彎曲振動(dòng)頻率的計(jì)算公式，如表1所示。

圖4 兩跨波形鋼腹板連續(xù)箱梁示意圖Fig.4 A continuous box girder with corrugated steel webs

Tab.1 Formulas of bending vibration frequencies for the continuous girder bridge with corrugated steel webs

跨數(shù)彎曲振動(dòng)頻率計(jì)算公式2ω=aωL2(π2,3.9272,4π2,7.0692…)EcIm3ω=aωL2(π2,3.5492,4.3042,4π2…)EcIm4ω=aωL2(π2,3.3932,3.9272,4.4612…)EcIm

4 算例驗(yàn)證

算例選取我國河南省光山縣已修建的潑河大橋，該橋?yàn)槲覈谝蛔酚貌ㄐ武摳拱錚C連續(xù)箱梁橋。潑河大橋的跨徑為120 m，采用4×30 m先簡支后連續(xù)裝配式等截面波形鋼腹板組合箱梁，橫截面為四箱組合箱梁截面。圖5為其單片箱梁截面示意圖。潑河大橋上、下翼板的混凝土材料為C50，混凝土的彈性模量為3.5×104MPa，泊松比取值0.2，密度為2.5×103kg/m3。波形鋼腹板采用Q355C級鋼板彎折成型，厚度為8 mm，鋼板的彈性模量為2.1×105MPa，泊松比為0.3，密度為7.8×103kg/m3。波形鋼腹板的波高取值為150 mm，斜板段在水平面的投影長度a1取值200 mm、平板段長度a2和斜板段長度a3均取值250 mm。

圖5 潑河大橋單片梁的橫截面示意圖(單位：mm)Fig.5 A single girder cross section of the Pohe bridge (unit: mm)

采用Ansys 14.0有限元軟件建立了潑河大橋的空間有限元模型?；炷恋纳?、下翼板及橫隔板采用Solid 45實(shí)體單元建立，波形鋼腹板采用Shell 63 殼單元建立，建立完成的全橋有限元模型如圖6所示。

圖6 潑河大橋的有限元模型Fig.6 Finite element model of the Pohe bridge

采用筆者推導(dǎo)的四跨等截面波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋的計(jì)算公式求得潑河大橋的前5階彎曲振動(dòng)頻率。將其與Ansys空間有限元計(jì)算值及文獻(xiàn)[15]中潑河大橋的實(shí)測頻率值進(jìn)行對比，如表2所示?？梢钥闯?，筆者計(jì)算方法所得的潑河大橋彎曲振動(dòng)頻率值、實(shí)橋?qū)崪y頻率值及Ansys三維仿真模型計(jì)算值三者吻合較好，驗(yàn)證了筆者推導(dǎo)的波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋彎曲振動(dòng)頻率計(jì)算公式的正確性。

表2 潑河大橋彎曲振動(dòng)頻率值對比

Tab.2 Comparison the results of bending vibration frequencies of the Pohe bridge

Hz

5 影響參數(shù)分析

5.1 波形鋼腹板構(gòu)造對振動(dòng)頻率的影響

采用筆者推導(dǎo)的計(jì)算公式分別計(jì)算了潑河大橋是否對波形鋼腹板剪切模量進(jìn)行修正情況下的彎曲振動(dòng)頻率，如表3所示?？梢钥闯?，未考慮波形鋼腹板剪切模量修正所得的頻率值略大于考慮修正的情況，但兩者差值較小，在計(jì)算時(shí)可忽略不計(jì)。

表3 是否考慮剪切模量修正所得彎曲振動(dòng)頻率值對比

Tab.3 Comparison the results obtained by considering shear modulus of elasticity correction or not

頻率階數(shù)未考慮剪切模量修正/Hz考慮剪切模量修正/Hz兩者差值百分比/%13.4713.4530.5224.0103.9860.6135.2575.2170.7746.6256.5630.95511.98811.8041.56

5.2 波形鋼腹板剪切變形對振動(dòng)頻率的影響

采用筆者推導(dǎo)的計(jì)算公式分別計(jì)算了潑河大橋是否考慮波形鋼腹板剪切變形效應(yīng)時(shí)的彎曲振動(dòng)頻率，如表4所示?？梢钥闯?，未考慮波形鋼腹板剪切變形效應(yīng)所得頻率值大于考慮剪切變形的情況，兩者的差值較大，尤其在計(jì)算其高階頻率的情況下兩者差值急劇增大。因此，在計(jì)算波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋彎曲振動(dòng)頻率時(shí)，需要考慮波形鋼腹板剪切變形效應(yīng)的影響。

表4 是否考慮波形鋼腹板剪切變形所得彎曲振動(dòng)頻率值對比

Tab.4 Comparison the results obtained by considering shear deformation of corrugated steel webs or not

頻率階數(shù)未考慮剪切變形/Hz考慮剪切變形/Hz兩者差值百分比/%13.6273.4535.0324.2183.9865.8335.6145.2177.6147.1916.5639.57513.81711.80417.05

5.3 剪力滯及耦合效應(yīng)對振動(dòng)頻率的影響

采用筆者推導(dǎo)的計(jì)算公式分別計(jì)算了潑河大橋是否考慮箱梁剪力滯及耦合效應(yīng)影響下的彎曲振動(dòng)頻率，如表5所示?？梢钥闯?，未考慮箱梁剪力滯及耦合效應(yīng)所得頻率值大于考慮箱梁剪力滯及耦合效應(yīng)的情況，兩者的差值在求解低階頻率時(shí)較小，在求解高階頻率時(shí)差值逐漸增大。

表5 是否考慮剪力滯及耦合效應(yīng)所得彎曲振動(dòng)頻率對比

Tab.5 Comparison the results obtained by considering shear lag and coupling effects or not

頻率階數(shù)未考慮剪力滯及耦合效應(yīng)/Hz考慮剪力滯及耦合效應(yīng)/Hz兩者差值百分比/%13.5053.4531.5024.0553.9861.7435.3335.2172.2246.7436.5632.74512.33911.8044.54

5.4 波形形狀對振動(dòng)頻率的影響

假定潑河大橋的橫截面尺寸不變，采用筆者推導(dǎo)的計(jì)算公式分別計(jì)算了不同波形鋼腹板型號下(國內(nèi)外常用的1600，1200和1000型，如圖7所示)的潑河大橋的彎曲振動(dòng)頻率，如表6所示。可以看出，采用不同的波形鋼腹板型號計(jì)算所得的彎曲振動(dòng)頻率值較為接近，說明其彎曲振動(dòng)頻率受波形鋼腹板型號選擇的影響較弱。

圖7 波形鋼腹板的型號(單位：mm)Fig.7 Type of corrugated steel web (unit: mm)

Tab.6 Bending vibration frequencies of different type of corrugated steel webs for the Pohe bridge Hz

頻率階數(shù)1600型頻率值1200型頻率值1000型頻率值13.4603.4563.41923.9963.9913.94235.2335.2255.14446.5886.5756.450511.87711.84011.479

5.5 與《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》計(jì)算值對比

《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》(JTG D60-2015)中給出了連續(xù)梁橋豎向基頻的估算公式為

(25)

(26)

規(guī)范規(guī)定：f11用于計(jì)算連續(xù)梁的沖擊力引起的正彎矩效應(yīng)和剪力效應(yīng)；f12用于計(jì)算連續(xù)梁的沖擊力引起的負(fù)彎矩效應(yīng)。采用規(guī)范中的計(jì)算公式求得潑河大橋的豎向基頻，并與筆者的計(jì)算值進(jìn)行對比，如表7所示。可以看出，采用筆者推導(dǎo)的計(jì)算公式求得的豎向基頻與規(guī)范計(jì)算值有較大差別，因此波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋豎向基頻的計(jì)算不宜采用現(xiàn)行15橋梁規(guī)范中給出的連續(xù)梁橋豎向基頻的計(jì)算公式。

表7 潑河大橋豎向基頻的計(jì)算值與規(guī)范值對比

Tab.7 Comparison the fundamental vibration frequencies between calculated value and code values Hz

頻率階數(shù)筆者計(jì)算值f11f1213.4534.9508.599

6 結(jié) 論

1) 采用能量法、Hamilton原理及連續(xù)梁的三彎矩方程，推導(dǎo)獲得了等跨等截面波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋豎向彎曲振動(dòng)頻率的計(jì)算公式，計(jì)算公式的正確性得到Ansys空間有限元計(jì)算值和實(shí)橋?qū)崪y頻率值的驗(yàn)證，可以用于實(shí)際工程的分析計(jì)算。

2) 在計(jì)算波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋的彎曲振動(dòng)頻率時(shí)，是否考慮波形鋼腹板剪切模量修正、箱梁剪力滯及耦合效應(yīng)及波形鋼腹板型號等影響參數(shù)均不會(huì)對計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較大影響，因此在實(shí)際工程計(jì)算中，為了計(jì)算的簡便性可忽略上述影響參數(shù)。

3) 波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋的彎曲振動(dòng)頻率受波形鋼腹板剪切變形效應(yīng)的影響較大，尤其是在計(jì)算其高階彎曲振動(dòng)頻率時(shí)，因此必須考慮波形鋼腹板剪切變形效應(yīng)對其彎曲振動(dòng)頻率的影響。

4) 現(xiàn)行的15橋規(guī)中給出的連續(xù)梁橋豎向基頻的計(jì)算公式不宜用于計(jì)算波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋的豎向基頻。

參 考 文 獻(xiàn)

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.04.025

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51368032)；中國博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014M562103)；甘肅省高等學(xué)?？蒲许?xiàng)目(2015A-053);甘肅省基礎(chǔ)研究創(chuàng)新群體資助項(xiàng)目(1506RJIA029)

2015-03-20；

2015-06-16

U441+.3； TH113

冀偉，男，1982年6月生，副教授。主要研究方向?yàn)闃蛄汗こ碳皹蛄航Y(jié)構(gòu)動(dòng)力分析。曾發(fā)表《波形鋼腹板簡支箱梁豎向頻率的影響因素分析》(《振動(dòng)、測試與診斷》2013年第33卷第6期)等論文。

E-mail：jiwei1668@163.com