于 剛， 周以齊， 劉 磊， 米永振

(山東大學高效潔凈機械制造教育部重點實驗室 濟南，250061)

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基于欠定盲源分離的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別

于 剛， 周以齊， 劉 磊， 米永振

(山東大學高效潔凈機械制造教育部重點實驗室 濟南，250061)

針對欠定情況下傳統(tǒng)盲源分離(blind source separation, 簡稱BSS)算法無法有效識別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的問題，研究了一種不受傳感器數(shù)量限制的BSS算法。算法主要分為振型矩陣估計與單模態(tài)信號分離兩步。首先，利用各階模態(tài)響應(yīng)信號在時頻域中的聚類特性估計結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型；然后，在已知振型矩陣的基礎(chǔ)上，通過L1范數(shù)最小化算法分離出多個單模態(tài)信號；最后，利用單模態(tài)參數(shù)識別方法提取各階模態(tài)的頻率與阻尼比。經(jīng)仿真與實驗驗證，本研究方法可以準確識別出結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)參數(shù)，同時對測量噪聲不敏感，具有很好的噪聲魯棒性，在工程實踐中具有一定的應(yīng)用價值。

盲源分離； 模態(tài)參數(shù)識別； 欠定； 稀疏分量分析

引 言

僅通過測量信號提取源信號特征的盲源分離技術(shù)已成為振動信號分析的有力工具，在結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別中得到了廣泛關(guān)注。文獻[1]首次提出將單模態(tài)信號視為BSS算法中的信號源，利用獨立分量分析(independent component analysis, 簡稱ICA)提取出多個單模態(tài)響應(yīng)信號，同時得到了結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)振型。與傳統(tǒng)的時域識別方法相比，BSS算法具有非參數(shù)化、無需先驗信息以及計算簡單等優(yōu)點。一些文獻利用BSS算法均得到了理想的結(jié)果，例如：二階盲辨識方法(second order blind identification，簡稱SOBI)[2-4]、多源提取方法(algorithm for multiple unknown signals extraction，簡稱AMUSE)[5-6]、二階非問題源辨識方法(second order non-steady source，簡稱SONS)[7]、時域解相關(guān)源分離算法(temporal decorrelation source separation algorithm，簡稱TDSEP)[8]及時域預(yù)測盲分離方法(temporal predictability blind source separation，簡稱TPBSS)[9]等。

BSS算法在模態(tài)參數(shù)識別中的應(yīng)用主要分為兩步。首先，應(yīng)用BSS算法將實驗測量信號分解為各階的模態(tài)響應(yīng)，完成結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)從物理空間到模態(tài)空間的變換，同時確定各階模態(tài)的結(jié)構(gòu)振型；然后，利用單模態(tài)識別技術(shù)提取結(jié)構(gòu)各階的模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼比。模態(tài)響應(yīng)代表了結(jié)構(gòu)基本的振動形式，模態(tài)振型則反映了系統(tǒng)響應(yīng)中各個基本振動形式的參與量[10]。文獻[1-9]中的方法都需要滿足測量傳感器數(shù)目(設(shè)為m)大于或者等于結(jié)構(gòu)模態(tài)數(shù)目(設(shè)為n)，即BSS算法中的正定問題。當m

多個文獻研究了欠定BSS算法在模態(tài)參數(shù)識別中的應(yīng)用。文獻[11]利用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法將測量信號分解為具有不同特征尺度的時間序列，滿足正定BSS算法對通道數(shù)的要求，再利用互相關(guān)算法得到結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。文獻[12]引入欠定SOBI算法分析結(jié)構(gòu)模態(tài)數(shù)據(jù)。文獻[13-15]分別利用小波變換、傅里葉變換以及短時傅里葉變換將測量信號變換到稀疏域內(nèi)，利用主分量分析、L1范數(shù)最小化以及混合矩陣時頻比提取方法(time frequency ratio of mixtures，簡稱TIFROM)方法進行模態(tài)參數(shù)識別?？梢姡脺y量信號在變換域中的稀疏特性分離單模態(tài)信號是欠定情況下識別模態(tài)參數(shù)的熱點；但是文獻[13-15]采用的方法依然存在一定的不足。文獻[13]的方法需要人工設(shè)定閥值來去除干擾信號的影響，使其應(yīng)用受到一定限制。存在阻尼的振動響應(yīng)是一個衰減的非平穩(wěn)過程，而傅里葉變換是全局的變換，對于阻尼較大的振動系統(tǒng)，文獻[14]的方法無法準確恢復出各階模態(tài)的時域信號。文獻[15]所用的TIFROM方法只能得到欠定情況下的混合矩陣，無法恢復出各階單模態(tài)信號，需要一定的先驗知識，并借助其他處理方法對頻率與阻尼比參數(shù)進行估計，增加了參數(shù)識別的復雜性，一定程度上背離了BSS算法的初衷。

筆者結(jié)合文獻[14-15]方法，提出了一種有效的解決方案。首先，通過短時傅里葉變換將測量信號變換到時頻域中，利用模態(tài)信號在時頻域中的聚類特性提出了一種新的振型矩陣估計方法；然后，利用L1范數(shù)最小化恢復出各階單模態(tài)信號；最后，利用單模態(tài)參數(shù)識別方法提取模態(tài)頻率與阻尼比參數(shù)。

1 盲源分離的基本概念

盲源分離是指在源信號與混合通道參數(shù)均未知的條件下，僅通過傳感器測量信號估計出各源信號的一種信號處理方法。BSS的數(shù)學模型表示為

(1)

其中：N個未知信號源Si(t)，i=1,2,…,n, 構(gòu)成列向量S(t)=[s1(t),s2(t),…,sn(t)]T；t為離散時間；A為一個m×n矩陣，稱為混合矩陣；N(t)為m維觀測高斯噪聲信號；X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T為通過傳感器測量到的m維向量。

分離模型可以表示為

(2)

對于正定BSS，假設(shè)m=n。盲源分離的任務(wù)就是找到混合矩陣及其逆矩陣W=A-1，W稱為分離矩陣。源矢量可以從觀測信號X(t)中得到，即

(3)

2 模態(tài)參數(shù)識別基本概念

模態(tài)參數(shù)識別包括提取結(jié)構(gòu)一系列的模態(tài)頻率、模態(tài)阻尼和模態(tài)振型。根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學理論，一個n自由度線性系統(tǒng)的自由振動方程為

(4)

其中：M,C,K分別表示系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

對于比例阻尼或小阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的位移解為

(5)

其中：εi,ωi,φi分別為模態(tài)阻尼比、模態(tài)頻率和相位角；φi,ai為常數(shù)。

式(5)的矩陣形式為

(6)

其中：Φ為自由振動向量φi組成的振型矩陣；Q(t)為模態(tài)響應(yīng)aiexp(-εit)cos(ωtt+φi)組成的向量。

模態(tài)參數(shù)識別就是從結(jié)構(gòu)的響應(yīng)輸出x(t)中提取振型矩陣Φ和包含在模態(tài)響應(yīng)中的模態(tài)頻率ωi及模態(tài)阻尼εi。

對比式(2)與式(6)，時域的模態(tài)分析與盲源分離之間存在著一些相似之處。兩者都是從混合信號中估計潛在的組成分量，都是僅利用結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的輸出信息。模態(tài)響應(yīng)Q(t)相當于源信號S的一種特例，混合矩陣A中包含著振型矩陣的信息，即Φ=A。因此，應(yīng)用BSS算法提取系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)是可行的[1-3]。對于欠定情況，由于傳感器數(shù)目小于源數(shù)目，此時的混合矩陣A沒有逆矩陣，因此無法利用傳統(tǒng)BSS算法求解逆矩陣的思路得到源信號。

3 欠定盲源分離

3.1 基本原理

以兩通道測量信號為例說明本算法原理，假設(shè)有n個源存在，則可表示為

(7)

其中：x1(t)，x2(t)為兩觀測信號；a1i，a2i為第i個源信號到達兩通道的衰減系數(shù)；si(t)為第i個源信號。

利用時頻變換方法將式(7)變換到時頻域中

(8)

根據(jù)模態(tài)理論可知，各階模態(tài)坐標之間相互正交，即結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)在頻域或時頻域是不可通約的，則在某個時頻點僅有可能出現(xiàn)一個源信號。假設(shè)在時頻點(tk,fk)，只有源sj(tk,fk)取值非零(其他源幅值較小或為零)，則式(8)可表示為

(9)

3.2 混合矩陣(振型矩陣)估計

源分離過程分為兩步，第1步是估計源信號的混合矩陣，主要有勢函數(shù)法和聚類法。勢函數(shù)法是將聚類直線的角度展開到極坐標軸中，通過計算峰值點確定聚類直線與坐標軸夾角，以此來估計混合矩陣的各列向量[17]，但只能用于兩通道混合信號，具有一定的局限性。聚類方法主要有模糊C均值和K均值等，通過估計聚類直線的中心確定混合矩陣，不受通道數(shù)目限制，所以應(yīng)用較廣[18]。但實際的測量信號受到多個源影響，使其在散點圖中聚類方向較多。當參與聚類的點數(shù)目較多時，增加計算時間的同時也會影響聚類精度，導致無法得到精確的混合矩陣。

針對傳統(tǒng)聚類方法的局限性，筆者提出了一種頻率能量峰值點的方法估計混合矩陣。對于模態(tài)響應(yīng)信號，能量集中在某些頻率點處，而局部能量最大頻點處的聚類方向則代表源信號的聚類方向，僅通過計算這些頻率點處的聚類方向即可估計混合矩陣。具體過程為：在時頻域中先計算單個通道在頻域的能量分布，然后將多個通道能量在相同頻點相加，即

(10)

其中：E(f)為i個傳感器接收到的信號在各頻率點上的能量和;R(xi(t,f))與I(xi(t,f))為第i個傳感器信號在時頻變換后的實部與虛部；m為通道數(shù)目。

利用峰值檢測方法提取各峰值頻率點。通過估計這幾個峰值頻點處的散點聚類方向，可估計出混合矩陣，同時聚類算法的時間與精度得到明顯改善，可用于估計任意通道數(shù)目。

3.3 源信號恢復

源分離過程的第2步為源信號恢復。由于未知源個數(shù)大于方程式個數(shù)，方程沒有唯一確定解，引入限制條件，要求解的L1范數(shù)最小，則源恢復轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題。對稀疏域中所有的點

(11)

其中：s(t,f)為源信號的最優(yōu)估計。

以二維觀測信號為例說明算法原理。如圖1所示，a1，a2，a3為混合矩陣A的3個列向量。點Z為觀測信號的任意一點。此時的混合矩陣A沒有逆矩陣，L1范數(shù)最小的解就是滿足點Z到原點距離最短的解。將矩陣A進行降維，生成3個2*2的子矩陣(即混合矩陣A列向量的3個組合)。點Z在向量a1, a2之間，則a1, a2組成的子矩陣即為最優(yōu)解矩陣，OA，OB即為點Z在a1, a2方向上的最優(yōu)解。子矩陣的逆與觀測點相乘得到源信號的估計。L1范數(shù)最小化算法的具體步驟如下：

4) 重復步驟1～3，求出稀疏域中所有點的最優(yōu)解；

5) 對得到的源信號進行逆稀疏變換，得到源信號的時域估計。

圖1 二維L1范數(shù)最小化示意圖Fig.1 L1-norm minimization for two-dimension

4 仿真驗證

考慮三自由度線性振動系統(tǒng)，系統(tǒng)模型如下

其中：M,K,C分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣。

圖2 觀測信號x1, x2, x3Fig.2 Measuring signals x1, x2, x3

采用模態(tài)置信準則 (modal assurance criterion，簡稱MAC)度量振型識別的準確性。模態(tài)置信系數(shù)為

(12)

為了說明本研究方法在欠定情況下的模態(tài)參數(shù)估計能力，取x2,x3作為兩通道的觀測信號。利用短時傅里葉變換將x2,x3變換到時頻域中，窗函數(shù)選擇矩形窗，長度為1 000，幀信號之間的混疊為998，即每次移動2個數(shù)據(jù)點截斷信號。圖3為觀測信號x2,x3的實部散點圖?？梢钥闯?，有3條明顯的聚類直線，說明存在有3階模態(tài)。

圖3 觀測信號x2, x3實部散點圖Fig.3 The scatter plot of measuring signals x2, x3

圖4 頻域能量峰值圖Fig.4 The peak plot in frequency domain

圖5 3個峰值對應(yīng)的散點圖Fig.5 The scatter plot corresponding to three peak frequency bins

圖6為利用L1范數(shù)最小化方法得到的3個源信號，每個分離源都為單頻衰減信號，說明各階模態(tài)信號均實現(xiàn)了有效分離。盲源分離方法存在分離源信號排列次序不確定的問題。本研究方法通過檢測峰值得到的各點頻率是按照從低到高的順序，使最終估計出的振型矩陣與各階模態(tài)響應(yīng)都是按照從低階到高階的順序排列，有效解決了分離信號的重排問題。

圖6 3個分離信號時頻域圖Fig.6 Three separating signals in time/frequency domain

利用單模態(tài)參數(shù)識別方法得到的模態(tài)頻率、阻尼比以及振型與理論值對比如表1所示?？梢钥闯?，本研究方法對于無噪聲信號具有很高的識別精度。在振動響應(yīng)中加入不同信噪比的高斯白噪聲，各階振型的模態(tài)置信系數(shù)如表2所示。在混入信噪比較低的噪聲時，各階MAC均受到一定影響，最小值依然大于0.99。隨著信噪比的增加，各階MAC趨近于1，說明筆者提出的振型矩陣估計方法對白噪聲不敏感，具有很好的噪聲魯棒性。

表1 模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果

Tab.1 The estimated results of modal parameters

模態(tài)本研究方法理論值本研究方法理論值f/Hz阻尼比/%本研究方法MAC1階0.64950.65870.610.641.00002階0.86260.88450.790.791.00003階1.10121.14760.610.631.0000

表2 不同信噪比下的MAC識別結(jié)果

Tab.2 MAC value under SNR cases

SNRMAC1MAC2MAC351.00000.99390.9926100.99990.99520.9956150.99990.99530.9979200.99970.99880.9968251.00001.00000.9974300.99990.99990.9996351.00001.00001.0000401.00001.00001.0000

5 實 驗

5.1 實測數(shù)據(jù)分析

實測數(shù)據(jù)來自文獻[15]中的懸臂梁錘擊測試方案，梁上布置有3個測點。采樣頻率為2 560 Hz，取0.5 s的數(shù)據(jù)。圖7為測點1，2，3信號的時域與頻域分布。圖8(a)為三通道測量信號x1,x2,x3經(jīng)短時傅里葉變換后的實部散點圖?？梢钥闯鲇忻黠@的5條聚類直線，說明有5階模態(tài)被激發(fā)出來。根據(jù)式(10)得到三通道在頻域上的能量分布，如圖8(b)所示。利用聚類方法得到5個歸一化的聚類中心，即為各階模態(tài)響應(yīng)在3個測點的振型向量利用L1范數(shù)最小化方法恢復出各階模態(tài)響應(yīng)信號，如圖9所示?？梢钥闯?，各階信號都為單頻衰減信號，利用單模態(tài)參數(shù)識別方法得到各階模態(tài)響應(yīng)的頻率與阻尼參數(shù)。文獻[15]中的方法僅識別出了4階模態(tài)，第3階模態(tài)由于幅值較小而被忽略。表3為本研究方法所得參數(shù)與文獻[15]方法的對比。可以看出，本研究方法能夠準確識別出各階模態(tài)參數(shù)，同時對小幅值振動也有較好的識別效果。

圖7 3個測量信號時域與頻域分布Fig.7 Three measuring signals in time and frequency domain

圖8 實測信號處理結(jié)果Fig.8 The processing result of measurement signal

5.2 算法對比分析

對于正定BSS算法，測量通道的減少會直接影響到分離結(jié)果的準確性，從而無法對結(jié)構(gòu)模態(tài)進行有效辨識。圖10為分別利用SOBI與ICA算法對三通道數(shù)據(jù)進行處理后的結(jié)果?？梢钥闯?，各分離信號中均包含了多個模態(tài)頻率，說明這兩種算法都沒有正確地分離出單模態(tài)信號。

圖9 5個單模態(tài)分離信號Fig.9 Five separating signals

模態(tài)本研究方法文獻[15]方法f/Hz誤差/%本研究方法文獻[15]方法阻尼比/%誤差/%MAC1階30.7131.281.812.35332.3610.320.99972階216.6216.50.040.50940.5110.311.00003階452.3——0.1119———4階585.9586.80.150.6030.6010.331.00005階1115111500.23370.2423.420.9999

為了說明本研究方法不受測量通道數(shù)目的影響，僅利用測量數(shù)據(jù)x1,x2進行分析，對應(yīng)的散點圖及分離結(jié)果如圖11所示。從圖11(a)可以看出，散點圖中有4條明顯的聚類直線，第3階模態(tài)對應(yīng)的聚類直線因為幅值較小而未被顯示出來。從圖11(b)可以看出，5階單模態(tài)信號均得到了有效分離，說明本研究方法在測量通道數(shù)目明顯少于源信號的情況下，也可以準確分離出源信號。

圖10 其他方法分離結(jié)果Fig.10 The separated results by other BSS methods

圖11 兩通道測試信號處理結(jié)果Fig.11 The separated results using two-dimensional channel

6 結(jié)束語

對于模態(tài)階數(shù)大于傳感器數(shù)目的情況，傳統(tǒng)的盲分離方法無法得到有效的單模態(tài)信號，從而無法正確識別模態(tài)參數(shù)。筆者將測量信號變換到時頻域，利用能量峰值頻點處的散點集估計各階模態(tài)振型，通過L1范數(shù)最小化方法分離出多個單模態(tài)響應(yīng)信號。最后，利用單模態(tài)參數(shù)識別方法提取出模態(tài)頻率與阻尼比。仿真與實驗結(jié)果可以看出，本研究方法都能得到精確的結(jié)果，同時對噪聲不敏感，具有較好的噪聲魯棒性，為欠定情況下的模態(tài)參數(shù)識別問題提供了一種新的思路。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.04.017

國家科技支撐計劃資助項目(2015BAF07B04)；國家自然科學基金資助項目(51475277)

2014-09-27；

2014-11-05

TB123； TH17

于剛，男，1987年12月生，博士生。主要研究方向為信號處理、模態(tài)分析及振動噪聲控制。

E-mail: yugang2010@163.com